Irreductibilidad absoluta

En matemáticas , un polinomio multivariado definido sobre los números racionales es absolutamente irreducible si es irreducible sobre el cuerpo complejo . ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, es absolutamente irreducible, pero mientras que es irreducible sobre los números enteros y reales, es reducible sobre los números complejos como y, por lo tanto, no es absolutamente irreducible. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),}$

De manera más general, un polinomio definido sobre un cuerpo K es absolutamente irreducible si es irreducible sobre cada extensión algebraica de K , ^[4] y un conjunto algebraico afín definido por ecuaciones con coeficientes en un cuerpo K es absolutamente irreducible si no es la unión de dos conjuntos algebraicos definidos por ecuaciones en una extensión algebraicamente cerrada de K . En otras palabras, un conjunto algebraico absolutamente irreducible es un sinónimo de una variedad algebraica , ^[5] lo que enfatiza que los coeficientes de las ecuaciones definitorias pueden no pertenecer a un cuerpo algebraicamente cerrado.

Absolutamente irreducible se aplica también, con el mismo significado, a las representaciones lineales de grupos algebraicos .

En todos los casos, ser absolutamente irreducible es lo mismo que ser irreducible sobre el cierre algebraico del cuerpo fundamental.

Ejemplos

• Un polinomio univariante de grado mayor o igual a 2 nunca es absolutamente irreducible, debido al teorema fundamental del álgebra .
• La representación bidimensional irreducible del grupo simétrico S ₃ de orden 6, originalmente definido sobre el cuerpo de los números racionales , es absolutamente irreducible.
• La representación del grupo de círculos mediante rotaciones en el plano es irreducible (sobre el campo de los números reales), pero no es absolutamente irreducible. Después de extender el campo a los números complejos, se divide en dos componentes irreducibles. Esto es de esperar, ya que el grupo de círculos es conmutativo y se sabe que todas las representaciones irreducibles de grupos conmutativos sobre un campo algebraicamente cerrado son unidimensionales.
• La variedad algebraica real definida por la ecuación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

es absolutamente irreducible. ^[3] Es el círculo ordinario sobre los reales y sigue siendo una sección cónica irreducible sobre el cuerpo de los números complejos. La irreducibilidad absoluta se cumple de manera más general sobre cualquier cuerpo que no sea de característica dos. En característica dos, la ecuación es equivalente a ( x  +  y  −1) ² = 0. Por lo tanto, define la línea doble x  +  y  = 1, que es un esquema no reducido .

• La variedad algebraica dada por la ecuación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$

no es absolutamente irreducible. De hecho, el lado izquierdo se puede factorizar como

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),}$donde es una raíz cuadrada de −1. ${\displaystyle i}$

Por lo tanto, esta variedad algebraica consiste en dos rectas que se cortan en el origen y no es absolutamente irreducible. Esto se cumple ya sea sobre el cuerpo base, si −1 es un cuadrado, o sobre la extensión cuadrática obtenida al unir i .

Referencias

1. Borevich, ZI; Shafarevich, IR (1986), Teoría de números, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 20, Academic Press, pág. 10, ISBN 9780080873329.
2. Grabmeier, Johannes; Kaltofen, Erich; Weispfenning, Volker (2003), Manual de álgebra informática: fundamentos, aplicaciones, sistemas, Springer, p. 26, ISBN 9783540654667.
3. Tucker, Allen B. (2004), Manual de informática (2.ª ed.), CRC Press, págs. 8-17 – 8-18, ISBN 9780203494455.
4. Stepanov, Serguei A. (1994), Aritmética de curvas algebraicas, Monografías en matemáticas contemporáneas, Springer, pág. 53, ISBN 9780306110368.
5. Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2009), Geometría algebraica en la teoría de codificación y criptografía, Princeton University Press, pág. 47, ISBN 9781400831302.