En matemáticas , el teorema de Mordell-Weil establece que para una variedad abeliana sobre un cuerpo numérico , el grupo de K -puntos racionales es un grupo abeliano generado finitamente , llamado grupo de Mordell-Weil . El caso de una curva elíptica y el cuerpo de los números racionales es el teorema de Mordell , que responde a una pregunta aparentemente planteada por Henri Poincaré alrededor de 1901; fue demostrado por Louis Mordell en 1922. Es un teorema fundamental de la geometría diofántica y la aritmética de variedades abelianas .
El proceso de la cuerda tangente (una forma de teorema de la suma en una curva cúbica ) se conocía ya en el siglo XVII. El proceso de descenso infinito de Fermat era bien conocido, pero Mordell logró establecer la finitud del grupo del cociente , lo que constituye un paso importante en la prueba. Ciertamente la finitud de este grupo es una condición necesaria para ser generado finitamente; y muestra que el rango es finito. Esta resulta ser la dificultad esencial. Puede demostrarse mediante análisis directo de la duplicación de un punto en E.
Algunos años más tarde, André Weil retomó el tema y produjo la generalización a los jacobianos de curvas de género superior sobre campos numéricos arbitrarios en su tesis doctoral [1] publicada en 1928. Se necesitaban métodos más abstractos para llevar a cabo una demostración con la misma estructura básica. . La segunda mitad de la prueba necesita algún tipo de función de altura , en términos de la cual limitar el "tamaño" de los puntos de . Alguna medida de las coordenadas será suficiente; Las alturas son logarítmicas, de modo que (a grandes rasgos) se trata de saber cuántos dígitos se necesitan para escribir un conjunto de coordenadas homogéneas . Sin embargo , para una variedad abeliana, no existe una representación preferida a priori como variedad proyectiva .
Ambas mitades de la prueba han sido mejoradas significativamente por avances técnicos posteriores: en la cohomología de Galois aplicada al descenso y en el estudio de las mejores funciones de altura (que son formas cuadráticas ).
El teorema deja una serie de preguntas aún sin respuesta:
