Grupo Mordell-Weil

Grupo abeliano

En geometría aritmética , el grupo de Mordell–Weil es un grupo abeliano asociado a cualquier variedad abeliana definida sobre un cuerpo de números . Es un invariante aritmético de la variedad abeliana. Es simplemente el grupo de puntos de , por lo que es el grupo de Mordell–Weil ^{[1] [2] pág. 207.} El principal teorema de estructura sobre este grupo es el teorema de Mordell–Weil que muestra que este grupo es de hecho un grupo abeliano finitamente generado. Además, hay muchas conjeturas relacionadas con este grupo, como la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer que relaciona el rango de con el cero de la función L asociada en un punto especial. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(K)}$ ${\displaystyle A(K)}$

Ejemplos

Construir ^[3] ejemplos explícitos del grupo de Mordell–Weil de una variedad abeliana es un proceso no trivial cuyo éxito no siempre está garantizado, por lo que nos especializamos en el caso de una curva elíptica específica . Sea definida por la ecuación de Weierstrass ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-6)(x+6)}$

sobre los números racionales. Tiene discriminante (y este polinomio se puede utilizar para definir un modelo global ). Se puede encontrar ^[3] ${\displaystyle \Delta _{E}=2^{12}\cdot 3^{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}/\mathbb {Z} }$

${\displaystyle E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} }$

a través del siguiente procedimiento. Primero, encontramos algunos puntos de torsión obvios introduciendo algunos números, que son

${\displaystyle \infty ,(0,0),(6,0),(-6,0)}$

Además, después de probar algunos pares de números enteros más pequeños, encontramos que es un punto que no es obviamente torsión. Un resultado útil para encontrar la parte de torsión de es que la torsión de primo a , para tener una buena reducción a , denotada inyecta en , por lo que ${\displaystyle (-3,9)}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} ,p}}$ ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{p})}$

${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} ,p}\hookrightarrow E(\mathbb {F} _{p})}$

Comprobamos dos primos y calculamos la cardinalidad de los conjuntos ${\displaystyle p=5,7}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\#E(\mathbb {F} _{5})&=8=2^{3}\\\#E(\mathbb {F} _{7})&=12=2^{2}\cdot 3\end{aligned}}}$

Nótese que como ambos primos solo contienen un factor de , hemos encontrado todos los puntos de torsión. Además, sabemos que el punto tiene orden infinito porque de lo contrario habría un factor primo compartido por ambas cardinalidades, por lo que el rango es al menos . Ahora, calcular el rango es un proceso más arduo que consiste en calcular el grupo donde usando algunas secuencias exactas largas del álgebra homológica y el mapa de Kummer . ${\displaystyle 2^{2}}$ ${\displaystyle (-3,9)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /2)^{r+2}}$ ${\displaystyle r=\operatorname {rank} (E(\mathbb {Q} ))}$

Teoremas relativos a casos especiales

Hay muchos teoremas en la literatura sobre la estructura de los grupos de Mordell-Weil de variedades abelianas de dimensión específica, sobre campos específicos o que tienen alguna otra propiedad especial.

Variedades abelianas sobre el cuerpo de funciones racionalesa(a)

Para una curva hiperelíptica y una variedad abeliana definidas sobre un cuerpo fijo , denotamos el giro de (el retroceso de al cuerpo de funciones ) por un 1-cociclo ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{b}}$ ${\displaystyle A|_{k(t)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k(t)=k(\mathbb {P} ^{1})}$

${\displaystyle b\in Z^{1}(\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)),{\text{Aut}}(A))}$

para la cohomología de Galois de la extensión del campo asociada a la función de recubrimiento . Nótese que esto se deduce de que la función es hiperelíptica. Más explícitamente, este 1-cociclo se da como una función de grupos ${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)\cong \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle G\times G\to \operatorname {Aut} (A)}$

Lo cual, utilizando propiedades universales, es lo mismo que dar dos mapas , por lo tanto, podemos escribirlo como un mapa. ${\displaystyle G\to {\text{Aut}}(A)}$

${\displaystyle b=(b_{id},b_{\iota })}$

donde es el mapa de inclusión y se envía a negativo . Esto se puede utilizar para definir la variedad abeliana torcida definida sobre utilizando la teoría general de geometría algebraica ^{[4] pág. 5.} En particular, a partir de las propiedades universales de esta construcción, es una variedad abeliana sobre la cual es isomorfa a después del cambio de base a . ${\displaystyle b_{id}}$ ${\displaystyle b_{\iota }}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{A}}$ ${\displaystyle A_{b}}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle A_{b}}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle A|_{k(C)}}$ ${\displaystyle k(C)}$

Teorema

Para la configuración dada anteriormente, ^[5] existe un isomorfismo de grupos abelianos

${\displaystyle A_{b}(k(t))\cong \operatorname {Hom} _{k}(J(C),A)\oplus A_{2}(k)}$

donde es el jacobiano de la curva , y es el subgrupo de 2-torsiones de . ${\displaystyle J(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Teorema de Mordell-Weil

Referencias

1. Tate, John T. (1974-09-01). "La aritmética de las curvas elípticas". Inventiones Mathematicae . 23 (3): 179–206. Bibcode :1974InMat..23..179T. doi :10.1007/BF01389745. ISSN  1432-1297. S2CID  120008651.
2. Silverman, Joseph H., 1955– (2009). La aritmética de las curvas elípticas (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6.OCLC 405546184  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
3. Booher, Jeremy. "El teorema de Mordell-Weil para curvas elípticas" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 27 de enero de 2021.
4. Weil, André, 1906-1998. (1982). "1.3". Adeles y grupos algebraicos. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-1-4684-9156-2.OCLC 681203844  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
5. Hazama, Fumio (1992). "El grupo de Mordell–Weil de ciertas variedades abelianas definidas sobre el cuerpo de funciones racionales". Tohoku Mathematical Journal . 44 (3): 335–344. doi : 10.2748/tmj/1178227300 . ISSN  0040-8735.

Más ejemplos y casos

• El grupo de curvas de Mordell-Weil del género 2
• Determinación del grupo de Mordell-Weil de una curva elíptica universal
• La ascendencia de Galois y los giros de una variedad abeliana
• Sobre grupos de Mordell-Weil de jacobianos sobre cuerpos de funciones