En matemáticas , la aritmética de variedades abelianas es el estudio de la teoría de números de una variedad abeliana o de una familia de variedades abelianas. Se remonta a los estudios de Pierre de Fermat sobre lo que ahora se reconoce como curvas elípticas ; y se ha convertido en un área muy importante de la geometría aritmética tanto en términos de resultados como de conjeturas. La mayoría de estas pueden plantearse para una variedad abeliana A sobre un cuerpo numérico K ; o de manera más general (para cuerpos globales o anillos o cuerpos finitamente generados más generales).
Existe aquí cierta tensión entre conceptos: el punto entero pertenece en cierto sentido a la geometría afín , mientras que la variedad abeliana está inherentemente definida en la geometría proyectiva . Los resultados básicos, como el teorema de Siegel sobre puntos integrales , provienen de la teoría de la aproximación diofántica .
El resultado básico, el teorema de Mordell-Weil en geometría diofántica , dice que A ( K ), el grupo de puntos de A sobre K , es un grupo abeliano finitamente generado . Se conoce una gran cantidad de información sobre sus posibles subgrupos de torsión , al menos cuando A es una curva elíptica. Se piensa que la cuestión del rango está ligada a las funciones L (ver más abajo).
La teoría del torsor conduce aquí al grupo Selmer y al grupo Tate-Shafarevich , siendo este último (conjeturalmente finito) difícil de estudiar.
La teoría de las alturas desempeña un papel destacado en la aritmética de las variedades abelianas. Por ejemplo, la altura canónica de Néron-Tate es una forma cuadrática con propiedades notables que aparecen en el enunciado de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .
La reducción de una variedad abeliana A módulo un ideal primo de (los enteros de) K —por ejemplo, un número primo p— para obtener una variedad abeliana A p sobre un cuerpo finito , es posible para casi todos los p . Se sabe que los primos "malos", para los cuales la reducción degenera al adquirir puntos singulares , revelan información muy interesante. Como sucede a menudo en la teoría de números, los primos "malos" desempeñan un papel bastante activo en la teoría.
En este caso, no siempre se puede obviar una teoría refinada de (en efecto) un adjunto derecho a la reducción mod p —el modelo de Néron— . En el caso de una curva elíptica, existe un algoritmo de John Tate que la describe.
Para variedades abelianas como A p , hay una definición de función zeta local disponible. Para obtener una función L para A mismo, se toma un producto de Euler adecuado de tales funciones locales; para entender el número finito de factores para los primos 'malos' uno tiene que referirse al módulo de Tate de A, que es (dual a) el grupo de cohomología étale H 1 (A), y la acción del grupo de Galois sobre él. De esta manera se obtiene una definición respetable de la función L de Hasse-Weil para A. En general, sus propiedades, como la ecuación funcional , siguen siendo conjeturales: la conjetura de Taniyama-Shimura (que se demostró en 2001) fue solo un caso especial, por lo que no es sorprendente.
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se plantea en función de esta función L. Se trata de un aspecto particularmente interesante de la teoría general sobre los valores de las funciones L L( s ) para valores enteros de s , y hay mucha evidencia empírica que la respalda.
Desde la época de Carl Friedrich Gauss (que conocía el caso de la función lemniscata ) se conoce el papel especial de aquellas variedades abelianas con automorfismos adicionales, y más generalmente endomorfismos. En términos del anillo , existe una definición de variedad abeliana de tipo CM que distingue a la clase más rica. Estas son especiales en su aritmética. Esto se ve en sus funciones L en términos bastante favorables: el análisis armónico requerido es todo del tipo de dualidad de Pontryagin , en lugar de necesitar representaciones automórficas más generales . Eso refleja una buena comprensión de sus módulos de Tate como módulos de Galois . También los hace más difíciles de tratar en términos de la geometría algebraica conjetural ( conjetura de Hodge y conjetura de Tate ). En esos problemas, la situación especial es más exigente que la general.
En el caso de las curvas elípticas, el programa que propuso Leopold Kronecker fue el Jugendtraum de Kronecker , que consistía en utilizar curvas elípticas de tipo CM para realizar teoría de cuerpos de clases explícitamente para cuerpos cuadráticos imaginarios , de la misma manera que las raíces de la unidad permiten hacerlo para el cuerpo de los números racionales. Esto es generalizable, pero en cierto sentido con pérdida de información explícita (como es típico de varias variables complejas ).
La conjetura de Manin-Mumford de Yuri Manin y David Mumford , demostrada por Michel Raynaud , [1] [2] establece que una curva C en su variedad jacobiana J solo puede contener un número finito de puntos que sean de orden finito (un punto de torsión ) en J , a menos que C = J. Existen otras versiones más generales, como la conjetura de Bogomolov que generaliza el enunciado a puntos que no sean de torsión.
