En matemáticas , se dice que una variedad abeliana A definida sobre un cuerpo K tiene tipo CM si tiene un subanillo conmutativo suficientemente grande en su anillo de endomorfismo End( A ). La terminología aquí proviene de la teoría de la multiplicación compleja , que se desarrolló para curvas elípticas en el siglo XIX. Uno de los principales logros en la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica del siglo XX fue encontrar las formulaciones correctas de la teoría correspondiente para variedades abelianas de dimensión d > 1. El problema está en un nivel más profundo de abstracción, porque es mucho más difícil manipular funciones analíticas de varias variables complejas .
La definición formal es que
el producto tensorial de End( A ) con el cuerpo de números racionales Q , debe contener un subanillo conmutativo de dimensión 2 d sobre Q . Cuando d = 1 este solo puede ser un cuerpo cuadrático , y se recuperan los casos donde End( A ) es un orden en un cuerpo cuadrático imaginario . Para d > 1 hay casos comparables para los cuerpos CM , las extensiones cuadráticas complejas de cuerpos totalmente reales . Hay otros casos que reflejan que A puede no ser una variedad abeliana simple (podría ser un producto cartesiano de curvas elípticas, por ejemplo). Otro nombre para las variedades abelianas de tipo CM es variedades abelianas con suficientes multiplicaciones complejas .
Se sabe que si K es el número complejo , entonces cualquier A tiene un cuerpo de definición que es de hecho un cuerpo de números . Los posibles tipos de anillo de endomorfismo se han clasificado como anillos con involución (la involución de Rosati ), lo que lleva a una clasificación de variedades abelianas de tipo CM. Para construir tales variedades en el mismo estilo que para las curvas elípticas, comenzando con un retículo Λ en C d , se deben tener en cuenta las relaciones de Riemann de la teoría de variedades abelianas.
El tipo CM es una descripción de la acción de un subanillo conmutativo (máximo) L de End Q ( A ) sobre el espacio tangente holomorfo de A en el elemento identidad . Se aplica la teoría espectral de un tipo simple para mostrar que L actúa a través de una base de vectores propios ; en otras palabras, L tiene una acción que es a través de matrices diagonales sobre los campos vectoriales holomorfos en A . En el caso simple, donde L es en sí mismo un campo numérico en lugar de un producto de algún número de campos, el tipo CM es entonces una lista de incrustaciones complejas de L . Hay 2 d de ellas, que ocurren en pares conjugados complejos ; el tipo CM es una elección de una de cada par. Se sabe que todos esos tipos CM posibles se pueden realizar.
Los resultados básicos de Goro Shimura y Yutaka Taniyama calculan la función L de Hasse–Weil de A , en términos del tipo CM y una función L de Hecke con carácter Hecke , que tiene un tipo infinito derivado de ella. Estos generalizan los resultados de Max Deuring para el caso de la curva elíptica.
