Multiplicación compleja

Teoría de una clase de curvas elípticas.

En matemáticas , la multiplicación compleja ( CM ) es la teoría de las curvas elípticas E que tienen un anillo de endomorfismo mayor que los números enteros . ^[1] Dicho de otra manera, contiene la teoría de funciones elípticas con simetrías adicionales, como las que son visibles cuando la red del período es la red entera gaussiana o la red entera de Eisenstein .

Tiene un aspecto perteneciente a la teoría de funciones especiales , porque tales funciones elípticas, o funciones abelianas de varias variables complejas , son entonces funciones "muy especiales" que satisfacen identidades adicionales y toman valores especiales explícitamente calculables en puntos particulares. También ha resultado ser un tema central en la teoría algebraica de números , permitiendo que algunas características de la teoría de campos ciclotómicos se trasladen a áreas de aplicación más amplias. Se dice que David Hilbert observó que la teoría de la multiplicación compleja de curvas elípticas no sólo era la parte más hermosa de las matemáticas sino de toda la ciencia. ^[2]

También existe la teoría de la multiplicación compleja de dimensiones superiores de las variedades abelianas A que tienen suficientes endomorfismos en un cierto sentido preciso, aproximadamente que la acción sobre el espacio tangente en el elemento identidad de A es una suma directa de módulos unidimensionales .

Ejemplo de extensión de campo cuadrático imaginario

Se obtiene una curva elíptica sobre los números complejos como cociente del plano complejo mediante una red Λ, aquí atravesada por dos períodos fundamentales ω ₁ y ω ₂ . También se muestra la torsión de cuatro, correspondiente a la red 1/4 Λ que contiene Λ. El ejemplo de una curva elíptica correspondiente a los enteros gaussianos ocurre cuando ω ₂ = i ω ₁ .

Considere un campo cuadrático imaginario . Se dice que una función elíptica tiene multiplicación compleja si existe una relación algebraica entre y para todos en . ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(\lambda z)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle K}$

Por el contrario, Kronecker conjeturó – en lo que se conoció como el Kronecker Jugendtraum – que cada extensión abeliana de podría obtenerse mediante la (raíces de la) ecuación de una curva elíptica adecuada con multiplicación compleja. Hasta el día de hoy éste sigue siendo uno de los pocos casos del duodécimo problema de Hilbert que realmente ha sido resuelto. ${\displaystyle K}$

Un ejemplo de una curva elíptica con multiplicación compleja es

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

donde Z [ i ] es el anillo entero gaussiano y θ es cualquier número complejo distinto de cero. Cualquier toro complejo de este tipo tiene los números enteros gaussianos como anillo de endomorfismo. Se sabe que todas las curvas correspondientes se pueden escribir como

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

para algunos , que demostrablemente tiene dos automorfismos conjugados de orden 4 que envían ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

de acuerdo con la acción de i sobre las funciones elípticas de Weierstrass .

De manera más general, considere la red Λ, un grupo aditivo en el plano complejo, generado por . Luego definimos la función de Weierstrass de la variable de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},}$

y

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Sea la derivada de . Luego obtenemos un isomorfismo de grupos de Lie complejos: ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

desde el complejo grupo de toros hasta la curva elíptica proyectiva definida en coordenadas homogéneas por ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

y donde el punto en el infinito, el elemento cero de la ley de grupo de la curva elíptica, se considera por convención como . Si la red que define la curva elíptica en realidad se conserva bajo la multiplicación por (posiblemente un subanillo adecuado de) el anillo de números enteros de , entonces el anillo de automorfismos analíticos de resulta ser isomorfo a este (sub)anillo. ${\displaystyle (0:1:0)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$

Si reescribimos dónde y , entonces ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ ${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

Esto significa que el invariante j de es un número algebraico (que se encuentra dentro ) si tiene multiplicación compleja. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Teoría abstracta de los endomorfismos.

El anillo de endomorfismos de una curva elíptica puede tener una de tres formas: los números enteros Z ; un orden en un campo numérico cuadrático imaginario ; o un orden en un álgebra de cuaterniones definida sobre Q . ^[3]

Cuando el campo de definición es un campo finito , siempre hay endomorfismos no triviales de una curva elíptica, provenientes del mapa de Frobenius , por lo que cada curva tiene una multiplicación compleja (y la terminología no se aplica con frecuencia). Pero cuando el campo base es un campo numérico, la multiplicación compleja es la excepción. Se sabe que, en sentido general, el caso de la multiplicación compleja es el más difícil de resolver para la conjetura de Hodge .

Extensiones de kronecker y abelianas

Kronecker postuló por primera vez que los valores de las funciones elípticas en los puntos de torsión deberían ser suficientes para generar todas las extensiones abelianas para campos cuadráticos imaginarios, una idea que se remontaba a Eisenstein en algunos casos, e incluso a Gauss . Esto se conoció como Kronecker Jugendtraum ; y fue ciertamente lo que impulsó la observación anterior de Hilbert, ya que hace explícita la teoría de campos de clases de la misma manera que lo hacen las raíces de la unidad para las extensiones abelianas del campo de números racionales , a través de la ley de reciprocidad de Shimura .

De hecho, sea K un campo cuadrático imaginario con campo de clase H. Sea E una curva elíptica con multiplicación compleja por los números enteros de K , definida sobre H. Entonces , la extensión abeliana máxima de K se genera mediante las coordenadas x de los puntos de orden finito en algún modelo de Weierstrass para E sobre H. ^[4]

Se han buscado muchas generalizaciones de las ideas de Kronecker; Sin embargo, se encuentran de manera un tanto indirecta con respecto al impulso principal de la filosofía de Langlands , y actualmente no se conoce ninguna declaración definitiva.

Consecuencia de muestra

No es casualidad que

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

o equivalente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

está tan cerca de un número entero. Este hecho notable se explica por la teoría de la multiplicación compleja, junto con cierto conocimiento de las formas modulares , y el hecho de que

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

es un dominio de factorización único .

Aquí satisface α ² = α − 41 . En general, S [ α ] denota el conjunto de todas las expresiones polinómicas en α con coeficientes en S , que es el anillo más pequeño que contiene α y S. Debido a que α satisface esta ecuación cuadrática, los polinomios requeridos pueden limitarse al grado uno. ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$

Alternativamente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

una estructura interna debida a ciertas series de Eisenstein , y con expresiones simples similares para los otros números de Heegner .

Módulos singulares

Los puntos del semiplano superior τ que corresponden a las relaciones de períodos de las curvas elípticas sobre los números complejos con multiplicación compleja son precisamente los números cuadráticos imaginarios. ^{[5] Los} invariantes modulares correspondientes j ( τ ) son los módulos singulares , provenientes de una terminología más antigua en la que "singular" se refería a la propiedad de tener endomorfismos no triviales en lugar de referirse a una curva singular . ^[6]

La función modular j ( τ ) es algebraica en números cuadráticos imaginarios τ : ^[7] estos son los únicos números algebraicos en el semiplano superior para los cuales j es algebraico. ^[8]

Si Λ es una red con una relación de períodos τ, entonces escribimos j (Λ) para j ( τ ). Si además Λ es un ideal a en el anillo de números enteros O _K de un campo imaginario cuadrático K entonces escribimos j ( a ) para el módulo singular correspondiente. Los valores j ( a ) son entonces enteros algebraicos reales y generan el campo de clase Hilbert H de K : el grado de extensión del campo [ H : K ] = h es el número de clase de K y H / K es una extensión de Galois con Galois grupo isomorfo al grupo de clases ideal de K . El grupo de clases actúa sobre los valores j ( a ) por [ b ] : j ( a ) → j ( ab ).

En particular, si K tiene la clase número uno, entonces j ( a ) = j ( O ) es un entero racional: por ejemplo, j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

Ver también

• Carácter algebraico de Hecke
• punto heegner
• El duodécimo problema de Hilbert
• Grupo formal Lubin-Tate , campos locales
• Drinfeld shtuka , caso de campo de función global
• La demostración de Wiles del último teorema de Fermat

Citas

1. Silverman 2009, pag. 69, Observación 4.3.
2. Reid, Constance (1996), Hilbert, Springer, pág. 200, ISBN 978-0-387-94674-0
3. Silverman 1986, pag. 102.
4. Serre 1967, pag. 295.
5. Silverman 1986, pag. 339.
6. Silverman 1994, pag. 104.
7. Serre 1967, pag. 293.
8. Panadero, Alan (1975). Teoría de números trascendentales . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 56.ISBN​ 0-521-20461-5. Zbl  0297.10013.

Referencias

• Borel, A.; Chowla, S.; Herz, CS; Iwasawa, K.; Serre, J.-P. Seminario de multiplicación compleja . Seminario celebrado en el Instituto de Estudios Avanzados, Princeton, Nueva Jersey, 1957–58. Lecture Notes in Mathematics, n.° 21 Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1966
• Husemöller, Dale H. (1987). Curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 111. Con apéndice de Ruth Lawrence. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Zbl  0605.14032.
• Lang, Serge (1983). Multiplicación compleja . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 255. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90786-6. Zbl  0536.14029.
• Serre, J.-P. (1967). "XIII. Multiplicación compleja". En Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.). Teoría algebraica de números . Prensa académica. págs. 292-296.
• Shimura, Goro (1971). Introducción a la teoría aritmética de funciones automorfas . Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón. vol. 11. Tokio: Iwanami Shoten. Zbl  0221.10029.
• Shimura, Goro (1998). Variedades abelianas con multiplicación compleja y funciones modulares . Serie Matemática de Princeton. vol. 46. ​​Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-01656-9. Zbl  0908.11023.
• Silverman, José H. (1986). La aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 106. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96203-4. Zbl  0585.14026.
• Silverman, José H. (2009). La aritmética de las curvas elípticas. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 106 (2ª ed.). Ciencia Springer . doi :10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9.
• Silverman, José H. (1994). Temas avanzados en aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 151. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5. Zbl  0911.14015.

enlaces externos

• Multiplicación compleja de PlanetMath.org
• Ejemplos de curvas elípticas con multiplicación compleja de PlanetMath.org
• Ribet, Kenneth A. (octubre de 1995). "Representaciones de Galois y formas modulares". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 32 (4): 375–402. arXiv : matemáticas/9503219 . CiteSeerX  10.1.1.125.6114 . doi :10.1090/s0273-0979-1995-00616-6. S2CID  16786407.