Producto tensorial de campos

Anillo producido a partir de dos campos

En matemáticas , el producto tensorial de dos cuerpos es su producto tensorial como álgebras sobre un subcuerpo común . Si no se especifica ningún subcuerpo explícitamente, los dos cuerpos deben tener la misma característica y el subcuerpo común es su subcuerpo primo .

El producto tensorial de dos campos es a veces un campo, y a menudo un producto directo de campos; en algunos casos, puede contener elementos nilpotentes distintos de cero .

El producto tensorial de dos campos expresa en una única estructura la diferente manera de incrustar los dos campos en un campo de extensión común .

Compositum de campos

Primero, se define la noción de compositum de campos. Esta construcción ocurre frecuentemente en la teoría de campos . La idea detrás del compositum es hacer que el campo más pequeño contenga otros dos campos. Para definir formalmente el compositum, primero se debe especificar una torre de campos . Sea k un campo y L y K dos extensiones de k . El compositum, denotado KL , se define como donde el lado derecho denota la extensión generada por K y L. Esto supone algún campo que contiene tanto a K como a L. O bien se comienza en una situación donde un campo ambiental es fácil de identificar (por ejemplo, si K y L son ambos subcampos de los números complejos ), o se prueba un resultado que permite colocar tanto a K como a L (como copias isomorfas ) en algún campo lo suficientemente grande. ${\displaystyle K.L=k(K\cup L)}$

En muchos casos se puede identificar a K . L como un producto tensorial del espacio vectorial , tomado sobre el cuerpo N que es la intersección de K y L . Por ejemplo, si se añade √2 al cuerpo racional para obtener K , y √3 para obtener L , es cierto que el cuerpo M obtenido como K . L dentro de los números complejos es ( salvo isomorfismo) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

como un espacio vectorial sobre . (Este tipo de resultado se puede verificar, en general, utilizando la teoría de ramificación de la teoría algebraica de números ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Los subcampos K y L de M son linealmente disjuntos (sobre un subcampo N ) cuando de esta manera el mapa natural N -lineal de

${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

a K . L es inyectiva . ^[1] Naturalmente, este no es siempre el caso, por ejemplo cuando K = L . Cuando los grados son finitos, la inyectividad es equivalente aquí a la biyectividad . Por lo tanto, cuando K y L son campos de extensión de grado finito linealmente disjuntos sobre N , , como con las extensiones antes mencionadas de los racionales. ${\displaystyle K.L\cong K\otimes _{N}L}$

Un caso significativo en la teoría de campos ciclotómicos es que para las raíces n ésimas de la unidad , para n un número compuesto , los subcampos generados por las raíces p ^k  ésimas de la unidad para potencias primas que dividen a n son linealmente disjuntos para p distintos . ^[2]

El producto tensorial como anillo

Para obtener una teoría general, es necesario considerar una estructura de anillo en . Se puede definir el producto como (ver Producto tensorial de álgebras ). Esta fórmula es multilineal sobre N en cada variable; y por lo tanto define una estructura de anillo en el producto tensorial, convirtiéndose en un N -álgebra conmutativa , llamada producto tensorial de campos . ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$ ${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$ ${\displaystyle ac\otimes bd}$ ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

Análisis de la estructura del anillo

La estructura del anillo puede analizarse considerando todas las formas de incrustar tanto K como L en algún cuerpo de extensión de N. La construcción aquí supone el subcuerpo común N ; pero no supone a priori que K y L sean subcuerpos de algún cuerpo M (evitando así las advertencias sobre la construcción de un cuerpo compuesto). Siempre que se incrustan K y L en un cuerpo M , por ejemplo utilizando incrustaciones α de K y β de L , resulta un homomorfismo de anillo γ de en M definido por: ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

El núcleo de γ será un ideal primo del producto tensorial; y, a la inversa, cualquier ideal primo del producto tensorial dará un homomorfismo de N -álgebras a un dominio integral (dentro de un campo de fracciones ) y así proporciona incrustaciones de K y L en algún campo como extensiones de (una copia de) N.

De esta manera se puede analizar la estructura de : en principio puede haber un nilradical distinto de cero (intersección de todos los ideales primos) – y después de tomar el cociente por ello se puede hablar del producto de todas las incrustaciones de K y L en varios M , sobre N . ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

En el caso de que K y L sean extensiones finitas de N , la situación es particularmente simple ya que el producto tensorial es de dimensión finita como un N -álgebra (y por lo tanto un anillo artiniano ). Se puede decir entonces que si R es el radical, se tiene como producto directo de un número finito de campos. Cada uno de estos campos es un representante de una clase de equivalencia de incrustaciones de campos (esencialmente distintas) para K y L en alguna extensión M . ${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$

Ejemplos

Para dar un ejemplo explícito, considere los campos y . Claramente son campos isomorfos pero técnicamente desiguales, siendo su intersección (teórica de conjuntos) el campo primo . Su producto tensorial ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K}$ ${\displaystyle N=\mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L=K\otimes _{N}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

no es un cuerpo, sino un álgebra de cuatro dimensiones . Además, esta álgebra es isomorfa a una suma directa de cuerpos. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

a través del mapa inducido por . Moralmente se debería considerar el subcuerpo común más grande hasta el isomorfismo de K y L a través de los isomorfismos . Cuando se realiza el producto tensorial sobre este mejor candidato para el subcuerpo común más grande, en realidad obtenemos un cuerpo (bastante trivial) ${\displaystyle 1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L}$

${\displaystyle K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L}$.

Para otro ejemplo, si K se genera sobre la raíz cúbica de 2, entonces es la suma de (una copia de) K , y un cuerpo de división de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$

X ³ − 2,

de grado 6 sobre . Se puede demostrar esto calculando la dimensión del producto tensorial sobre como 9, y observando que el campo de división contiene dos (de hecho tres) copias de K , y es el compuesto de dos de ellas. Esto demuestra incidentalmente que R = {0} en este caso. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un ejemplo que conduce a un nilpotente distinto de cero: sea

P ( X ) = X ^p − T

con K el campo de funciones racionales en el indeterminado T sobre el campo finito con p elementos (ver Polinomio separable : el punto aquí es que P no es separable). Si L es la extensión del campo K ( T ^{1/ p} ) (el campo de desdoblamiento de P ) entonces L / K es un ejemplo de una extensión del campo puramente inseparable . En el elemento ${\displaystyle L\otimes _{K}L}$

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

es nilpotente: al tomar su potencia p se obtiene 0 utilizando K -linealidad.

Teoría clásica de incrustaciones reales y complejas

En la teoría algebraica de números , los productos tensoriales de cuerpos son (implícitamente, a menudo) una herramienta básica. Si K es una extensión de de grado finito n , es siempre un producto de cuerpos isomorfos a o . Los cuerpos de números totalmente reales son aquellos para los que solo ocurren cuerpos reales : en general, hay cuerpos reales r ₁ y cuerpos complejos r ₂ , con r ₁  + 2 r ₂ = n como se ve al contar las dimensiones. Los factores de cuerpo están en correspondencia 1–1 con las incrustaciones reales y pares de incrustaciones complejas conjugadas , descritas en la literatura clásica. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Esta idea se aplica también a donde _p es el cuerpo de números p -ádicos . Este es un producto de extensiones finitas de _p , en correspondencia 1–1 con las completitudes de K para extensiones de la métrica p -ádica en . ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Consecuencias para la teoría de Galois

Esto da una imagen general y, de hecho, una manera de desarrollar la teoría de Galois (en la línea de la teoría de Galois de Grothendieck ). Se puede demostrar que para extensiones separables el radical es siempre {0}; por lo tanto, el caso de la teoría de Galois es el semisimple , de productos de campos únicamente.

Véase también

• Extensión de escalares : producto tensorial de una extensión de campo y un espacio vectorial sobre ese campo

Notas

1. "Extensiones linealmente disjuntas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. "Campo ciclotómico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Referencias

• "Compositum", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kempf, George R. (2012) [1995]. "9.2 Descomposición de productos tensoriales de cuerpos". Estructuras algebraicas . Springer. págs. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1.
• Milne, JS (18 de marzo de 2017). Teoría algebraica de números (PDF) . pág. 17. 3.07.
• Stein, William (2004). "Una breve introducción a la teoría de números algebraicos clásica y adélica" (PDF) . pp. 140–2.
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1958]. Álgebra conmutativa I . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 28. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6.Sr. 0090581  .

Enlaces externos

• Hilo de MathOverflow sobre la definición de disyunción lineal