Involución de Rosati

Operación teórica de grupos

En matemáticas , una involución de Rosati , llamada así en honor a Carlo Rosati , es una involución del anillo de endomorfismo racional de una variedad abeliana inducida por una polarización .

Sea una variedad abeliana , sea la variedad abeliana dual , y para , sea la traducción por mapa, . Entonces cada divisor en define un mapa mediante . El mapa es una polarización si es amplio . La involución de Rosati de relativa a la polarización envía un mapa al mapa , donde es el mapa dual inducido por la acción de en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=\mathrm {Pic} ^{0}(A)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle T_{a}:A\to A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{D}:A\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \phi _{D}(a)=[T_{a}^{*}D-D]}$ ${\displaystyle \phi _{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \phi _{D}}$ ${\displaystyle \psi \in \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \psi '=\phi _{D}^{-1}\circ {\hat {\psi }}\circ \phi _{D}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}:{\hat {A}}\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \psi ^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Pic} (A)}$

Sea α el grupo de Néron-Severi de . La polarización también induce una inclusión a través de . La imagen de es igual a , es decir, el conjunto de endomorfismos fijados por la involución de Rosati. La operación da entonces la estructura de un álgebra de Jordan formalmente real . ${\displaystyle \mathrm {NS} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{D}}$ ${\displaystyle \Phi :\mathrm {NS} (A)\otimes \mathbb {Q} \to \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Phi _{E}=\phi _{D}^{-1}\circ \phi _{E}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \{\psi \in \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} :\psi '=\psi \}}$ ${\displaystyle E\star F={\frac {1}{2}}\Phi ^{-1}(\Phi _{E}\circ \Phi _{F}+\Phi _{F}\circ \Phi _{E})}$ ${\displaystyle \mathrm {NS} (A)\otimes \mathbb {Q} }$

Referencias

• Mumford, David (2008) [1970], Variedades abelianas , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 5, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-81-85931-86-9, MR  0282985, OCLC  138290
• Rosati, Carlo (1918), "Sulle corrispondenze algebriche fra i punti di due curve algebriche.", Annali di Matematica Pura ed Applicata (en italiano), 3 (28): 35–60, doi :10.1007/BF02419717, S2CID  121620469