En matemáticas , un subespacio invariante de una aplicación lineal T : V → V , es decir, de algún espacio vectorial V a sí mismo, es un subespacio W de V que es preservado por T. De manera más general, un subespacio invariante para una colección de aplicaciones lineales es un subespacio preservado por cada aplicación individualmente.
Consideremos un espacio vectorial y una función lineal. Un subespacio se denomina subespacio invariante para , o equivalentemente, T -invariante, si T transforma cualquier vector nuevamente en W . En fórmulas, esto se puede escribir o [1]
En este caso, T se restringe a un endomorfismo de W : [2]
La existencia de un subespacio invariante también tiene una formulación matricial . Elija una base C para W y complétela para una base B de V. Con respecto a B , el operador T tiene la forma para algunos T 12 y T 22 , donde aquí denota la matriz de con respecto a la base C.
Cualquier mapa lineal admite los siguientes subespacios invariantes:
Estos son los subespacios invariantes impropios y triviales, respectivamente. Ciertos operadores lineales no tienen un subespacio invariante propio no trivial: por ejemplo, la rotación de un espacio vectorial real bidimensional . Sin embargo, el eje de una rotación en tres dimensiones es siempre un subespacio invariante.
Si U es un subespacio invariante unidimensional para el operador T con vector v ∈ U , entonces los vectores v y T v deben ser linealmente dependientes . Por lo tanto , de hecho, el escalar α no depende de v .
La ecuación anterior formula un problema de valor propio . Cualquier vector propio para T abarca un subespacio invariante unidimensional, y viceversa. En particular, un vector invariante distinto de cero (es decir, un punto fijo de T ) abarca un subespacio invariante de dimensión 1.
Como consecuencia del teorema fundamental del álgebra , todo operador lineal en un espacio vectorial complejo de dimensión finita distinto de cero tiene un vector propio. Por lo tanto, todo operador lineal de este tipo en al menos dos dimensiones tiene un subespacio invariante no trivial propio.
Determinar si un subespacio dado W es invariante en T es, en apariencia, un problema de naturaleza geométrica. La representación matricial permite plantear este problema de forma algebraica.
Escriba V como la suma directa W ⊕ W ′ ; siempre se puede elegir un W ′ adecuado extendiendo una base de W . El operador de proyección asociado P sobre W tiene representación matricial
Un cálculo sencillo muestra que W es T -invariante si y sólo si PTP = TP .
Si 1 es el operador identidad , entonces 1- P es una proyección sobre W ′ . La ecuación TP = PT se cumple si y solo si tanto im( P ) como im(1 − P ) son invariantes bajo T . En ese caso, T tiene representación matricial
Coloquialmente, una proyección que conmuta con T "diagonaliza " T.
Como indican los ejemplos anteriores, los subespacios invariantes de una transformación lineal dada T arrojan luz sobre la estructura de T . Cuando V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , las transformaciones lineales que actúan sobre V se caracterizan (hasta la semejanza) por la forma canónica de Jordan , que descompone V en subespacios invariantes de T . Muchas preguntas fundamentales sobre T se pueden traducir a preguntas sobre subespacios invariantes de T .
El conjunto de subespacios T -invariantes de V se denomina a veces red de subespacios invariantes de T y se escribe Lat( T ) . Como sugiere el nombre, es una red ( modular ) , con encuentros y uniones dados por (respectivamente) intersección de conjuntos y extensión lineal . Se dice que un elemento mínimo en Lat( T ) es un subespacio invariante mínimo .
En el estudio de operadores de dimensión infinita, Lat( T ) a veces se restringe únicamente a los subespacios invariantes cerrados .
Dada una colección T de operadores, un subespacio se llama T -invariante si es invariante bajo cada T ∈ T .
Al igual que en el caso de un solo operador, la red de subespacios invariantes de T , escrita Lat( T ) , es el conjunto de todos los subespacios T -invariantes y admite las mismas operaciones de encuentro y unión. En teoría de conjuntos, es la intersección
Sea End( V ) el conjunto de todos los operadores lineales en V . Entonces Lat(End( V ))={0, V } .
Dada una representación de un grupo G en un espacio vectorial V , tenemos una transformación lineal T ( g ) : V → V para cada elemento g de G . Si un subespacio W de V es invariante con respecto a todas estas transformaciones, entonces es una subrepresentación y el grupo G actúa sobre W de manera natural. La misma construcción se aplica a las representaciones de un álgebra .
Como otro ejemplo, sea T ∈ End( V ) y Σ el álgebra generada por {1, T }, donde 1 es el operador identidad. Entonces Lat( T ) = Lat(Σ).
Así como el teorema fundamental del álgebra asegura que cada transformación lineal que actúa sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita tiene un subespacio invariante no trivial, el teorema fundamental del álgebra no conmutativa afirma que Lat(Σ) contiene elementos no triviales para cierto Σ.
Teorema (Burnside) : Supongamos que V es un espacio vectorial complejo de dimensión finita. Para cada subálgebra propia Σ de End( V ) , Lat( Σ ) contiene un elemento no trivial.
Una consecuencia es que cada familia conmutativa en L ( V ) puede triangularse superiormente de manera simultánea . Para ver esto, observe que una representación matricial triangular superior corresponde a una bandera de subespacios invariantes, que una familia conmutativa genera un álgebra conmutativa y que End( V ) no es conmutativo cuando dim( V ) ≥ 2 .
Si A es un álgebra , se puede definir una representación regular izquierda Φ en A : Φ( a ) b = ab es un homomorfismo de A a L ( A ), el álgebra de transformaciones lineales en A
Los subespacios invariantes de Φ son precisamente los ideales izquierdos de A . Un ideal izquierdo M de A da una subrepresentación de A en M .
Si M es un ideal izquierdo de A entonces la representación regular izquierda Φ en M ahora desciende a una representación Φ' en el espacio vectorial cociente A / M . Si [ b ] denota una clase de equivalencia en A / M , Φ'( a )[ b ] = [ ab ]. El núcleo de la representación Φ' es el conjunto { a ∈ A | ab ∈ M para todo b }.
La representación Φ' es irreducible si y sólo si M es un ideal izquierdo maximal , ya que un subespacio V ⊂ A / M es un invariante bajo {Φ'( a ) | a ∈ A } si y sólo si su preimagen bajo la función cociente , V + M , es un ideal izquierdo en A .
El problema del subespacio invariante se refiere al caso en el que V es un espacio de Hilbert separable sobre los números complejos , de dimensión > 1, y T es un operador acotado . El problema consiste en decidir si cada uno de esos T tiene un subespacio invariante, cerrado y no trivial. No se ha resuelto.
En el caso más general en el que se supone que V es un espacio de Banach , Per Enflo (1976) encontró un ejemplo de un operador sin un subespacio invariante. Un ejemplo concreto de un operador sin un subespacio invariante fue producido en 1985 por Charles Read .
Los subespacios invariantes están relacionados con los llamados semiespacios casi invariantes ( AIHS ). Se dice que un subespacio cerrado de un espacio de Banach es casi invariante bajo un operador si para algún subespacio de dimensión finita ; equivalentemente, es casi invariante bajo si hay un operador de rango finito tal que , es decir, si es invariante (en el sentido habitual) bajo . En este caso, la dimensión mínima posible de (o rango de ) se llama defecto .
Es evidente que todo subespacio finito-dimensional y finito-codimensional es casi invariante bajo cualquier operador. Por lo tanto, para que no resulte trivial, decimos que es un semiespacio siempre que sea un subespacio cerrado con dimensión infinita y codimensión infinita.
El problema AIHS plantea la pregunta de si todo operador admite un AIHS. En el contexto complejo, ya se ha resuelto; es decir, si es un espacio de Banach complejo de dimensión infinita y, por lo tanto , admite un AIHS con defecto de 1 como máximo. Actualmente no se sabe si se cumple lo mismo si es un espacio de Banach real. Sin embargo, se han establecido algunos resultados parciales: por ejemplo, cualquier operador autoadjunto en un espacio de Hilbert real de dimensión infinita admite un AIHS, al igual que cualquier operador estrictamente singular (o compacto) que actúe en un espacio reflexivo real de dimensión infinita.
