Conjunto de elementos comunes a todos de algunos conjuntos.
En teoría de conjuntos , la intersección de dos conjuntos y denotada por [1] es el conjunto que contiene todos los elementos que también pertenecen o, de manera equivalente, todos los elementos que también pertenecen a [2]
Notación y terminología
La intersección se escribe utilizando el símbolo " " entre los términos; es decir, en notación infija . Por ejemplo:
Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .
Definición
Intersección de tres conjuntos: Intersecciones de las escrituras griega , latina y cirílica moderna sin acento , considerando solo las formas de las letras e ignorando su pronunciación.Ejemplo de intersección con conjuntos.
La intersección de dos conjuntos y denotada por , [3] es el conjunto de todos los objetos que son miembros tanto de los conjuntos como
de los símbolos:
Es decir, es un elemento de la intersección si y sólo si es a la vez elemento de y elemento de [3]
Por ejemplo:
La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
El número 9 no está en la intersección del conjunto de los números primos {2, 3, 5, 7, 11,...} y el conjunto de los números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11,.. .}, porque 9 no es primo.
Conjuntos intersecantes y disjuntos
Nosotros decimos esose cruza (se encuentra) si existe algunoque sea elemento de ambosyen cuyo caso también decimos quese cruza (se encuentra) en . De manera equivalente,se cruzasi su intersecciónes un conjunto habitado , lo que significa que existe algotal que
Decimos que y son disjuntos si no se cruzan. En lenguaje sencillo, no tienen elementos en común. y son disjuntos si su intersección está vacía , denotado
Por ejemplo, los conjuntos y son disjuntos, mientras que el conjunto de números pares intersecta al conjunto de múltiplos de 3 en los múltiplos de 6.
Propiedades algebraicas
La intersección binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualquier conjunto y uno tiene
La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si es un conjunto no vacío cuyos elementos son en sí mismos conjuntos, entonces es un elemento de la intersección de si y sólo si para cada elemento de es un elemento de
En símbolos:
La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escriben " ", mientras que otros escriben " ". La última notación se puede generalizar a " ", que se refiere a la intersección de la colección.
Aquí hay un conjunto no vacío y es un conjunto para cada
Cuando el formateo resulta complicado, también se puede escribir " ". Este último ejemplo, una intersección de muchos conjuntos contables, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre σ-álgebras .
La conjunción de ningún argumento es la tautología (compárese: producto vacío ); en consecuencia, la intersección de ningún conjunto es el universo .
En la sección anterior, excluimos el caso donde estaba el conjunto vacío ( ). El motivo es el siguiente: la intersección de la colección se define como el conjunto (consulte la notación del constructor de conjuntos ).
Sin embargo, cuando se restringe al contexto de subconjuntos de un conjunto fijo dado , la noción de intersección de una colección vacía de subconjuntos de está bien definida. En ese caso, si está vacío, su intersección es . Dado que todos satisfacen vacíamente la condición requerida, la intersección de la colección vacía de subconjuntos de es todo de en las fórmulas. Esto coincide con la intuición de que a medida que las colecciones de subconjuntos se vuelven más pequeñas, sus respectivas intersecciones se hacen más grandes; en el caso extremo, la colección vacía tiene una intersección igual a todo el conjunto subyacente.
Además, en la teoría de tipos es de un tipo prescrito , por lo que se entiende que la intersección es de tipo (el tipo de conjuntos cuyos elementos están en ), y podemos definirla como el conjunto universal de (el conjunto cuyos elementos son exactamente todos términos de tipo ).
Cardinalidad : definición del número de elementos en un conjunto.
Complemento : conjunto de elementos que no están en un subconjunto determinado
Intersección (geometría euclidiana) : forma formada a partir de puntos comunes a otras formasPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
Unión : conjunto de elementos en cualquiera de algunos conjuntos.
Referencias
^ "Intersección de conjuntos". web.mnstate.edu . Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020 . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
^ "Estadísticas: reglas de probabilidad". Gente.richland.edu . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
^ ab "Operaciones de conjuntos | Unión | Intersección | Complemento | Diferencia | Mutuamente excluyentes | Particiones | Ley de De Morgan | Ley distributiva | Producto cartesiano". www.probabilitycourse.com . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
Devlin, KJ (1993). La alegría de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea (Segunda ed.). Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
Munkres, James R. (2000). "Teoría y lógica de conjuntos". Topología (Segunda ed.). Río Upper Saddle: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Rosen, Kenneth (2007). "Estructuras básicas: conjuntos, funciones, secuencias y sumas". Matemáticas discretas y sus aplicaciones (Sexta ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.
enlaces externos
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