Espacio funcional

Conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos

En matemáticas , un espacio funcional es un conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos. A menudo, el dominio y/o codominio tendrán una estructura adicional que es heredada por el espacio funcional. Por ejemplo, el conjunto de funciones de cualquier conjunto X en un espacio vectorial tiene una estructura de espacio vectorial natural dada por la adición puntual y la multiplicación escalar. En otros escenarios, el espacio funcional podría heredar una estructura topológica o métrica , de ahí el nombre de espacio funcional .

En álgebra lineal

Sea F un cuerpo y sea X un conjunto cualquiera. A las funciones X → F se les puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre F donde las operaciones se definen puntualmente, es decir, para cualquier f , g  : X → F , cualquier x en X y cualquier c en F , definen Cuando el dominio X tiene estructura adicional, se podría considerar en cambio el subconjunto (o subespacio ) de todas esas funciones que respetan esa estructura. Por ejemplo, si V y también X mismo son espacios vectoriales sobre F , el conjunto de aplicaciones lineales X → V forman un espacio vectorial sobre F con operaciones puntuales (a menudo denotadas Hom ( X , V )). Uno de esos espacios es el espacio dual de X : el conjunto de funcionales lineales X → F con adición y multiplicación escalar definidas puntualmente. $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}}$$

La dimensión cardinal de un espacio funcional sin estructura adicional se puede encontrar mediante el teorema de Erdős-Kaplansky .

Ejemplos

Los espacios funcionales aparecen en diversas áreas de las matemáticas:

• En la teoría de conjuntos , el conjunto de funciones de X a Y puede denotarse { X → Y } o Y ^X .
  • Como caso especial, el conjunto potencia de un conjunto X puede identificarse con el conjunto de todas las funciones desde X hasta {0, 1}, denotado 2 ^X .
• El conjunto de biyecciones de X a Y se denota . La notación factorial X ! puede usarse para permutaciones de un único conjunto X . ${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$
• En el análisis funcional , se observa lo mismo para las transformaciones lineales continuas , incluidas las topologías en los espacios vectoriales mencionados anteriormente, y muchos de los ejemplos principales son espacios funcionales que llevan una topología ; los ejemplos más conocidos incluyen los espacios de Hilbert y los espacios de Banach .
• En el análisis funcional , el conjunto de todas las funciones desde los números naturales hasta un conjunto X se denomina espacio de secuencias . Está formado por el conjunto de todas las posibles secuencias de elementos de X.
• En topología , se puede intentar poner una topología en el espacio de funciones continuas desde un espacio topológico X a otro Y , con utilidad dependiendo de la naturaleza de los espacios. Un ejemplo comúnmente usado es la topología compacta-abierta , por ejemplo, el espacio de bucles . También está disponible la topología del producto en el espacio de funciones de teoría de conjuntos (es decir, no necesariamente funciones continuas) Y ^X. En este contexto, esta topología también se conoce como la topología de convergencia puntual .
• En topología algebraica , el estudio de la teoría de la homotopía es esencialmente el de los invariantes discretos de los espacios funcionales;
• En la teoría de procesos estocásticos , el problema técnico básico es cómo construir una medida de probabilidad en un espacio de funciones de trayectorias del proceso (funciones del tiempo);
• En la teoría de categorías , el espacio de funciones se denomina objeto exponencial u objeto de mapa . Aparece de una manera como el bifuntor canónico de representación ; pero como funtor (único), de tipo , aparece como un funtor adjunto a un funtor de tipo sobre objetos; ${\displaystyle [X,-]}$ ${\displaystyle -\times X}$
• En programación funcional y cálculo lambda , los tipos de funciones se utilizan para expresar la idea de funciones de orden superior .
• En la teoría de dominios , la idea básica es encontrar construcciones a partir de órdenes parciales que puedan modelar el cálculo lambda, mediante la creación de una categoría cerrada cartesiana con buen comportamiento .
• En la teoría de representación de grupos finitos , dadas dos representaciones de dimensión finita V y W de un grupo G , se puede formar una representación de G sobre el espacio vectorial de mapas lineales Hom( V , W ) llamada representación Hom . ^[1]

Análisis funcional

El análisis funcional se organiza en torno a técnicas adecuadas para poner los espacios funcionales como espacios vectoriales topológicos al alcance de las ideas que se aplicarían a los espacios normados de dimensión finita. Aquí utilizamos la línea real como dominio de ejemplo, pero los espacios que se indican a continuación existen en subconjuntos abiertos adecuados. ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ Funciones continuas dotadas de topología de norma uniforme
• ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )}$Funciones continuas con soporte compacto.
• ${\displaystyle B(\mathbb {R} )}$ funciones acotadas
• ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$Funciones continuas que se desvanecen en el infinito.
• ${\displaystyle C^{r}(\mathbb {R} )}$funciones continuas que tienen r derivadas continuas.
• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ funciones suaves
• ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ Funciones fluidas con soporte compacto
• ${\displaystyle C^{\omega }(\mathbb {R} )}$ funciones analíticas reales
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, porque , es el espacio L p de funciones mensurables cuya p -norma es finita ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$, el espacio de Schwartz de funciones suaves rápidamente decrecientes y sus distribuciones duales continuas y templadas ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle D(\mathbb {R} )}$Soporte compacto en topología límite
• ${\displaystyle W^{k,p}}$ Espacio de Sobolev de funciones cuyas derivadas débiles hasta el orden k están en ${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$funciones holomorfas
• funciones lineales
• funciones lineales por partes
• Funciones continuas, topología abierta compacta.
• Todas las funciones, espacio de convergencia puntual.
• Espacio resistente
• Espacio de soporte
• Funciones de Càdlàg , también conocidas como espacio de Skorokhod
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )}$, el espacio de todas las funciones de Lipschitz que se desvanecen en cero. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Norma

Si y es un elemento del espacio funcional de todas las funciones continuas que están definidas en un intervalo cerrado [ a , b ] , la norma definida en es el valor absoluto máximo de y ( x ) para a ≤ x ≤ b , ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ ${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ $${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

se llama norma uniforme o norma suprema ('supnorm').

Bibliografía

• Kolmogorov, AN, y Fomin, SV (1967). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Courier Dover Publications.
• Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Análisis funcional: una introducción a otros temas de análisis. Princeton University Press.

Véase también

• Lista de funciones matemáticas
• Álgebra de Clifford
• Campo tensorial
• Teoría espectral
• Determinante funcional

Referencias

1. Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso. Springer Science & Business Media. pág. 4. ISBN 9780387974958.
2. Gelfand, IM ; Fomin, SV (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Cálculo de variaciones (edición reimpresa sin abreviar). Mineola, Nueva York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.