Objeto exponencial

Generalización categórica de un espacio de funciones en la teoría de conjuntos

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , un objeto exponencial u objeto de aplicación es la generalización categórica de un espacio de funciones en la teoría de conjuntos . Las categorías con todos los productos finitos y objetos exponenciales se denominan categorías cerradas cartesianas . Las categorías (como las subcategorías de Top ) sin productos adjuntos aún pueden tener una ley exponencial . ^{[1] [2]}

Definición

Sea una categoría, sean y objetos de , y sean todos los productos binarios con . Un objeto junto con un morfismo es un objeto exponencial si para cualquier objeto y morfismo hay un único morfismo (llamado transposición de ) tal que el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle Z^{Y}}$ ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ ${\displaystyle g}$

Propiedad universal del objeto exponencial

Esta asignación de un único a cada uno establece un isomorfismo ( biyección ) de hom-conjuntos , ${\displaystyle \lambda g}$ ${\displaystyle g}$ ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

Si existe para todos los objetos en , entonces el funtor definido en los objetos por y en las flechas por , es un adjunto derecho del funtor producto . Por esta razón, los morfismos y a veces se denominan adjuntos exponenciales entre sí. ^[3] ${\textstyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Z,Y}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle (-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle Z\mapsto Z^{Y}}$ ${\displaystyle (f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})}$ ${\displaystyle -\times Y}$ ${\displaystyle \lambda g}$ ${\displaystyle g}$

Definición de ecuación

Alternativamente, el objeto exponencial puede definirse mediante ecuaciones:

• La existencia de está garantizada por la existencia de la operación . ${\displaystyle \lambda g}$ ${\displaystyle \lambda -}$
• La conmutatividad de los diagramas anteriores está garantizada por la igualdad . ${\displaystyle \forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g}$
• La unicidad de está garantizada por la igualdad . ${\displaystyle \lambda g}$ ${\displaystyle \forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h}$

Propiedad universal

La exponencial está dada por un morfismo universal del funtor producto al objeto . Este morfismo universal consta de un objeto y un morfismo . ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle -\times Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$

Ejemplos

En la categoría de conjuntos , un objeto exponencial es el conjunto de todas las funciones . ^[4] El mapa es simplemente el mapa de evaluación , que envía el par a . Para cualquier mapa, el mapa es la forma currificada de : ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ ${\displaystyle (f,y)}$ ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle g\colon X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y).\,}$

Un álgebra de Heyting es simplemente una red acotada que tiene todos los objetos exponenciales. La implicación de Heyting, , es una notación alternativa para . Los resultados de la adjunción anteriores se traducen en que la implicación ( ) es adjunta por la derecha a ( ) . Esta adjunción se puede escribir como , o de forma más completa como: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle \Rightarrow :H\times H\to H}$ ${\displaystyle \wedge :H\times H\to H}$ ${\displaystyle (-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)}$ $${\displaystyle (-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)}$$

En la categoría de espacios topológicos , el objeto exponencial existe siempre que sea un espacio de Hausdorff localmente compacto . En ese caso, el espacio es el conjunto de todas las funciones continuas de a junto con la topología compacta-abierta . La función de evaluación es la misma que en la categoría de conjuntos; es continua con la topología anterior. ^[5] Si no es Hausdorff localmente compacto, el objeto exponencial puede no existir (el espacio todavía existe, pero puede dejar de ser un objeto exponencial ya que la función de evaluación no necesita ser continua). Por esta razón, la categoría de espacios topológicos no es cartesianamente cerrada . Sin embargo, la categoría de espacios topológicos localmente compactos tampoco es cartesianamente cerrada, ya que no necesitan ser localmente compactos para espacios localmente compactos y . Una categoría cartesiana cerrada de espacios está dada, por ejemplo, por la subcategoría completa abarcada por los espacios de Hausdorff generados de forma compacta . ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$

En los lenguajes de programación funcional , el morfismo se suele llamar , y la sintaxis se suele escribir . El morfismo no debe confundirse aquí con la función en algunos lenguajes de programación , que evalúa expresiones entrecomilladas. ${\displaystyle \operatorname {eval} }$ ${\displaystyle \operatorname {apply} }$ ${\displaystyle \lambda g}$ ${\displaystyle \operatorname {curry} (g)}$ ${\displaystyle \operatorname {eval} }$eval

Véase también

• Categoría monoidal cerrada

Notas

1. Ley exponencial para espacios en el laboratorio n
2. Categoría conveniente de espacios topológicos en el laboratorio n
3. Goldblatt, Robert (1984). "Capítulo 3: Flechas en lugar de épsilon". Topoi: el análisis categorial de la lógica . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas n.° 98 (edición revisada). Holanda septentrional . pág. 72. ISBN 978-0-444-86711-7.
4. Mac Lane, Saunders (1978). "Capítulo 4: Adjuntos". Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 5 (2.ª ed.). Springer-Verlag. pág. 98. doi :10.1007/978-1-4757-4721-8_5. ISBN 978-0387984032.
5. Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Ver el Capítulo 11 para la prueba). 

Referencias

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich ; George Strecker (2006) [1990]. Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos). John Wiley & Sons.
• Awodey, Steve (2010). "Capítulo 6: exponenciales". Teoría de categorías . Oxford Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0199237180.
• Mac Lane, Saunders (1998). "Capítulo 4: Adjuntos". Categorías para el matemático en activo . Nueva York: Springer. ISBN 978-0387984032.

Enlaces externos

• Página web interactiva que genera ejemplos de objetos exponenciales y otras construcciones categóricas. Escrita por Jocelyn Paine.