Determinante funcional

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , a veces es posible generalizar la noción del determinante de una matriz cuadrada de orden finito (que representa una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo) al caso de dimensión infinita de un operador lineal S que asigna un espacio funcional V a sí mismo. La cantidad correspondiente det( S ) se llama determinante funcional de S .

Existen varias fórmulas para el determinante funcional. Todos se basan en el hecho de que el determinante de una matriz finita es igual al producto de los valores propios de la matriz. Una definición matemáticamente rigurosa es a través de la función zeta del operador ,

${\displaystyle \zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,}$

donde tr representa la traza funcional : el determinante se define entonces por

${\displaystyle \det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,}$

donde la función zeta en el punto s = 0 se define por continuación analítica . Otra posible generalización, utilizada a menudo por los físicos cuando utilizan el formalismo integral de trayectoria de Feynman en la teoría cuántica de campos (QFT), utiliza una integración funcional :

${\displaystyle \det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.}$

Esta integral de trayectoria sólo está bien definida hasta alguna constante multiplicativa divergente. Para darle un significado riguroso debe dividirse por otro determinante funcional, cancelando así efectivamente las "constantes" problemáticas.

Estas son ahora, aparentemente, dos definiciones diferentes para el determinante funcional, una proveniente de la teoría cuántica de campos y otra proveniente de la teoría espectral . Cada uno implica algún tipo de regularización : en la definición popular en física, dos determinantes sólo pueden compararse entre sí; en matemáticas se utilizó la función zeta. Osgood, Phillips y Sarnak (1988) han demostrado que los resultados obtenidos al comparar dos determinantes funcionales en el formalismo QFT concuerdan con los resultados obtenidos por el determinante funcional zeta.

Definiendo fórmulas

Versión integral de ruta

Para un operador autoadjunto positivo S en un espacio euclidiano de dimensión finita V , la fórmula

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx}$

sostiene.

El problema es encontrar una manera de darle sentido al determinante de un operador S en un espacio funcional de dimensión infinita. Un enfoque, favorecido en la teoría cuántica de campos, en el que el espacio funcional consta de caminos continuos en un intervalo cerrado, es intentar calcular formalmente la integral

${\displaystyle \int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi }$

donde V es el espacio funcional y el producto interno L 2 , y la medida de Wiener . La suposición básica sobre S es que debe ser autoadjunto y tener un espectro discreto λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... con un conjunto correspondiente de funciones propias f ₁ , f ₂ , f ₃ , ... que son completo en L 2 (como sería, por ejemplo, el caso del operador de segunda derivada en un intervalo compacto Ω). Esto significa aproximadamente que todas las funciones φ se pueden escribir como combinaciones lineales de las funciones f _i : ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .}$

Por tanto, el producto interno en la exponencial se puede escribir como

${\displaystyle \langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.}$

En la base de las funciones fi _, la integración funcional se reduce a una integración sobre todas las funciones base. Formalmente, asumiendo que nuestra intuición del caso de dimensión finita se traslada al escenario de dimensión infinita, la medida debería ser igual a

${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.}$

Esto hace que la integral funcional sea un producto de integrales gaussianas :

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.}$

Luego se pueden evaluar las integrales, dando

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}}$

donde N es una constante infinita que debe tratarse mediante algún procedimiento de regularización. El producto de todos los valores propios es igual al determinante para espacios de dimensión finita, y definimos formalmente que este también es el caso en nuestro caso de dimensión infinita. Esto da como resultado la fórmula

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.}$

Si todas las cantidades convergen en un sentido apropiado, entonces el determinante funcional puede describirse como un límite clásico (Watson y Whittaker). En caso contrario, es necesario realizar algún tipo de regularización . La más popular para calcular determinantes funcionales es la regularización de la función zeta . ^[1] Por ejemplo, esto permite calcular el determinante de los operadores de Laplace y Dirac en una variedad de Riemann , utilizando la función zeta de Minakshisundaram-Pleijel . En caso contrario, también es posible considerar el cociente de dos determinantes, cancelando las constantes divergentes.

Versión de la función Zeta

Sea S un operador diferencial elíptico con coeficientes suaves que es positivo en funciones de soporte compacto . Es decir, existe una constante c > 0 tal que

${\displaystyle \langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle }$

para todas las funciones suaves soportadas de forma compacta φ. Entonces S tiene una extensión autoadjunta a un operador en L ² con límite inferior c . Los valores propios de S se pueden ordenar en una secuencia

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .}$

Entonces la función zeta de S está definida por la serie: ^[2]

${\displaystyle \zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.}$

Se sabe que ζ _S tiene una extensión meromórfica a todo el plano. ^[3] Además, aunque se puede definir la función zeta en situaciones más generales, la función zeta de un operador diferencial elíptico (u operador pseudodiferencial) es regular en . ${\displaystyle s=0}$

Formalmente, diferenciar esta serie término por término da

${\displaystyle \zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},}$

y entonces, si el determinante funcional está bien definido, entonces debería estar dado por

${\displaystyle \det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).}$

Dado que la continuación analítica de la función zeta es regular en cero, esto puede adoptarse rigurosamente como una definición del determinante.

Este tipo de determinante funcional regularizado Zeta también aparece al evaluar sumas de la forma . Integración sobre un da que puede considerarse simplemente como el logaritmo del determinante de un oscilador armónico . Este último valor es justo igual a donde está la función zeta de Hurwitz . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$ ${\displaystyle -\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)}$ ${\displaystyle \zeta _{H}(s,a)}$

Ejemplo práctico

El pozo de potencial infinito con A = 0.

El pozo de potencial infinito

Calcularemos el determinante del siguiente operador que describe el movimiento de una partícula de mecánica cuántica en un pozo de potencial infinito :

${\displaystyle \det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),}$

donde A es la profundidad del potencial y L es la longitud del pozo. Calcularemos este determinante diagonalizando el operador y multiplicando los valores propios . Para no tener que preocuparnos por la poco interesante constante divergente, calcularemos el cociente entre los determinantes del operador con profundidad A y el operador con profundidad A = 0. Los valores propios de este potencial son iguales a

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).}$

Esto significa que

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Ahora podemos usar la representación del producto infinito de Euler para la función seno :

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

de donde se puede derivar una fórmula similar para la función seno hiperbólica :

${\displaystyle \sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Aplicando esto encontramos que

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Otra forma de calcular el determinante funcional.

Para potenciales unidimensionales, existe un atajo que produce el determinante funcional. ^[4] Se basa en la consideración de la siguiente expresión:

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}}$

donde m es una constante compleja . Esta expresión es una función meromorfa de m , que tiene ceros cuando m es igual a un valor propio del operador con potencial V ₁ ( x ) y un polo cuando m es un valor propio del operador con potencial V ₂ ( x ). Consideremos ahora las funciones ψ^metro
₁y ψ^metros
₂con

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}$

Obedeciendo las condiciones de contorno.

${\displaystyle \psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.}$

Si construimos la función

${\displaystyle \Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},}$

que también es una función meromorfa de m , vemos que tiene exactamente los mismos polos y ceros que el cociente de determinantes que estamos intentando calcular: si m es un valor propio del operador número uno, entonces ψ^metro
₁( x ) será una función propia del mismo, es decir ψ^metro
₁( L ) = 0 ; y análogamente para el denominador. Según el teorema de Liouville , dos funciones meromórficas con los mismos ceros y polos deben ser proporcionales entre sí. En nuestro caso, la constante de proporcionalidad resulta ser uno y obtenemos

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}}$

para todos los valores de m . Para m = 0 obtenemos

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.}$

El potencial infinito bien revisado

El problema de la sección anterior se puede resolver más fácilmente con este formalismo. Las funciones ψ⁰
_yo( x ) obedecer

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}}$

obteniendo las siguientes soluciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}}$

Esto da la expresión final.

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Ver también

• Espacio salchicha abstracto
• bereziniano
• determinante de Fredholm
• método fujikawa
• Fantasma de Faddeev-Popov

Notas

1. (Branson 1993); (Osgood, Phillips y Sarnak 1988)
2. Véase Osgood, Phillips y Sarnak (1988). Para una definición más general en términos de función espectral, consulte Hörmander (1968) o Shubin (1987).
3. Para el caso del laplaciano generalizado, así como la regularidad en cero, consulte Berline, Getzler & Vergne (2004, Proposición 9.35). Para el caso general de un operador pseudodiferencial elíptico, consulte Seeley (1967).
4. S. Coleman, Los usos de los instantones , Int. Escuela de Física Subnuclear (Erice, 1977)

Referencias

• Berlín, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels y operadores de Dirac , ISBN 978-3-540-20062-8
• Branson, Thomas P. (2007), "Q-curvatura, invariantes espectrales y teoría de la representación", Simetría, integrabilidad y geometría: métodos y aplicaciones , 3 : Documento 090, 31, arXiv : 0709.2471 , Bibcode : 2007SIGMA...3 ..090B, doi :10.3842/SIGMA.2007.090, ISSN  1815-0659, SEÑOR  2366932, S2CID  14629173
• Branson, Thomas P. (1993), El determinante funcional , Lecture Notes Series, vol. 4, Seúl: Centro de Investigación de Análisis Global del Instituto de Investigación de Matemáticas de la Universidad Nacional de Seúl, MR  1325463
• Hörmander, Lars (1968), "La función espectral de un operador elíptico", Acta Mathematica , 121 : 193–218, doi : 10.1007/BF02391913 , ISSN  0001-5962, MR  0609014
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, Peter (1988), "Extremos de los determinantes de los laplacianos", Journal of Functional Analysis , 80 (1): 148–211, doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5 , ISSN  0022-1236, SEÑOR  0960228
• Rayo, DB; Singer, IM (1971), " R -torsión y el laplaciano en variedades de Riemann", Avances en Matemáticas , 7 (2): 145–210, doi :10.1016/0001-8708(71)90045-4, SEÑOR  0295381
• Seeley, RT (1967), "Poderes complejos de un operador elíptico", Integrales singulares (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 288–307, MR  0237943
• Shubin, MA (1987), Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral , Springer Series in Soviet Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7, señor  0883081