En física , los fantasmas de Faddeev-Popov (también llamados fantasmas de calibre de Faddeev-Popov o campos fantasma de Faddeev-Popov ) son campos extraños que se introducen en las teorías de campos cuánticos de calibre para mantener la consistencia de la formulación de la integral de trayectoria . Reciben su nombre en honor a Ludvig Faddeev y Victor Popov . [1] [2]
Un significado más general de la palabra "fantasma" en física teórica se analiza en Fantasma (física) .
La necesidad de los fantasmas de Faddeev-Popov se deriva del requisito de que las teorías cuánticas de campos produzcan soluciones inequívocas y no singulares. Esto no es posible en la formulación de la integral de trayectoria cuando existe una simetría de norma , ya que no existe un procedimiento para seleccionar entre soluciones físicamente equivalentes relacionadas por la transformación de norma. Las integrales de trayectoria cuentan en exceso las configuraciones de campo correspondientes al mismo estado físico; la medida de las integrales de trayectoria contiene un factor que no permite obtener varios resultados directamente de la acción .
Sin embargo, es posible modificar la acción, de modo que métodos como los diagramas de Feynman sean aplicables agregando campos fantasma que rompan la simetría de calibración. Los campos fantasma no corresponden a ninguna partícula real en estados externos: aparecen como partículas virtuales en los diagramas de Feynman, o como la ausencia de algunas configuraciones de calibración. Sin embargo, son una herramienta computacional necesaria para preservar la unitaridad .
La forma o formulación exacta de los fantasmas depende del calibre particular elegido, aunque se deben obtener los mismos resultados físicos con todos los calibres, ya que el calibre que se elige para realizar los cálculos es una elección arbitraria. El calibre de Feynman-'t Hooft suele ser el más simple para este propósito y se supone que se utilizará en el resto de este artículo.
Consideremos, por ejemplo, la teoría de calibre no abeliana con
La integral debe restringirse mediante la fijación de calibre para integrarse solo sobre configuraciones físicamente distintas. Siguiendo a Faddeev y Popov, esta restricción se puede aplicar insertando
en la integral. denota el campo fijo de calibre. [3]
Los fantasmas de Faddeev-Popov violan la relación espín-estadística , lo que constituye otra razón por la que a menudo se los considera partículas "no físicas".
Por ejemplo, en las teorías de Yang-Mills (como la cromodinámica cuántica ) los fantasmas son campos escalares complejos ( espín 0), pero que anticonmutan (como los fermiones ).
En general, los fantasmas anticonmutadores se asocian con simetrías bosónicas , mientras que los fantasmas conmutadores se asocian con simetrías fermiónicas .
Cada campo de calibre tiene un fantasma asociado, y cuando el campo de calibre adquiere una masa a través del mecanismo de Higgs , el campo fantasma asociado adquiere la misma masa (solo en el calibre de Feynman-'t Hooft , no es cierto para otros calibres).
En los diagramas de Feynman , los fantasmas aparecen como bucles cerrados compuestos en su totalidad de 3 vértices, unidos al resto del diagrama a través de una partícula de calibración en cada 3 vértices. Su contribución a la matriz S se cancela exactamente (en el diagrama de calibración de Feynman-'t Hooft ) por una contribución de un bucle similar de partículas de calibración con solo acoplamientos de 3 vértices o uniones de calibración al resto del diagrama. [a] (Un bucle de partículas de calibración no completamente compuesto de acoplamientos de 3 vértices no se cancela por fantasmas). El signo opuesto de la contribución de los bucles fantasma y de calibración se debe a que tienen naturalezas fermiónicas/bosónicas opuestas. (Los bucles fermiónicos cerrados tienen un −1 adicional asociado a ellos; los bucles bosónicos no).
El lagrangiano para los campos fantasmas en las teorías de Yang-Mills (donde es un índice en la representación adjunta del grupo de calibración ) está dado por
El primer término es un término cinético como el de los campos escalares complejos regulares, y el segundo término describe la interacción con los campos de calibración , así como con el campo de Higgs . Nótese que en las teorías de calibración abelianas (como la electrodinámica cuántica ) los fantasmas no tienen ningún efecto ya que las constantes de estructura se desvanecen. En consecuencia, las partículas fantasma no interactúan con los campos de calibración abelianos.
![{\displaystyle \int {\mathcal {D}}[A]\exp i\int \mathrm {d} ^{4}x\left(-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf8d0ac486c09b5207b9bbaf56c1463cf8b0496)
![{\displaystyle 1=\int {\mathcal {D}}[\alpha (x)]\delta (G(A^{\alpha }))\mathrm {det} {\frac {\delta G(A^{\alpha })}{\delta \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14b19ff0980169d63824b1b8ae4871592a43b2d)
