Partícula en una caja

Modelo matemático en mecánica cuántica

Algunas trayectorias de una partícula en una caja según las leyes de Newton de la mecánica clásica (A), y según la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica (B–F). En (B–F), el eje horizontal es la posición y el eje vertical es la parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda . Los estados (B, C, D) son estados propios de energía , pero (E, F) no lo son.

En mecánica cuántica , el modelo de partícula en una caja (también conocido como pozo de potencial infinito o pozo cuadrado infinito ) describe el movimiento de una partícula libre en un espacio pequeño rodeado de barreras impenetrables. El modelo se utiliza principalmente como un ejemplo hipotético para ilustrar las diferencias entre los sistemas clásicos y cuánticos. En los sistemas clásicos, por ejemplo, una partícula atrapada dentro de una caja grande puede moverse a cualquier velocidad dentro de la caja y no es más probable que se la encuentre en una posición que en otra. Sin embargo, cuando el pozo se vuelve muy estrecho (en la escala de unos pocos nanómetros), los efectos cuánticos se vuelven importantes. La partícula solo puede ocupar ciertos niveles de energía positivos . Del mismo modo, nunca puede tener energía cero, lo que significa que la partícula nunca puede "quedarse quieta". Además, es más probable que se la encuentre en ciertas posiciones que en otras, dependiendo de su nivel de energía. La partícula puede nunca detectarse en ciertas posiciones, conocidas como nodos espaciales.

El modelo de partícula en una caja es uno de los pocos problemas de mecánica cuántica que se pueden resolver analíticamente, sin aproximaciones. Debido a su simplicidad, el modelo permite comprender los efectos cuánticos sin necesidad de matemáticas complicadas. Sirve como una ilustración simple de cómo se producen las cuantizaciones de energía (niveles de energía), que se encuentran en sistemas cuánticos más complejos, como átomos y moléculas. Es uno de los primeros problemas de mecánica cuántica que se enseñan en los cursos de física de pregrado y se usa comúnmente como una aproximación para sistemas cuánticos más complicados.

Solución unidimensional

Las barreras que se encuentran fuera de una caja unidimensional tienen un potencial infinitamente grande, mientras que el interior de la caja tiene un potencial constante, cero. Se muestra el pozo desplazado, con ${\textstyle x_{c}=L/2}$

La forma más simple del modelo de partícula en una caja considera un sistema unidimensional. Aquí, la partícula solo puede moverse hacia atrás y hacia adelante a lo largo de una línea recta con barreras impenetrables en cada extremo. ^[1] Las paredes de una caja unidimensional pueden verse como regiones del espacio con una energía potencial infinitamente grande . Por el contrario, el interior de la caja tiene una energía potencial constante, cero. ^[2] Esto significa que ninguna fuerza actúa sobre la partícula dentro de la caja y puede moverse libremente en esa región. Sin embargo, fuerzas infinitamente grandes repelen la partícula si toca las paredes de la caja, evitando que escape. La energía potencial en este modelo se da como donde L es la longitud de la caja, x _c es la ubicación del centro de la caja y x es la posición de la partícula dentro de la caja. Los casos simples incluyen la caja centrada ( x _c = 0) y la caja desplazada ( x _c = L /2) (en la imagen). $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$$

Función de onda de posición

En mecánica cuántica, la función de onda proporciona la descripción más fundamental del comportamiento de una partícula; las propiedades mensurables de la partícula (como su posición, momento y energía) pueden derivarse de la función de onda. ^[3] La función de onda se puede encontrar resolviendo la ecuación de Schrödinger para el sistema donde es la constante de Planck reducida , es la masa de la partícula, es la unidad imaginaria y es el tiempo. ${\displaystyle \psi (x,t)}$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$

Dentro de la caja, no actúan fuerzas sobre la partícula, lo que significa que la parte de la función de onda dentro de la caja oscila a través del espacio y el tiempo con la misma forma que una partícula libre : ^{[1] [4]}

donde y son números complejos arbitrarios . La frecuencia de las oscilaciones a través del espacio y el tiempo está dada por el número de onda y la frecuencia angular respectivamente. Ambos están relacionados con la energía total de la partícula mediante la expresión ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$que se conoce como la relación de dispersión para una partícula libre. ^[1] Aquí hay que notar que ahora, dado que la partícula no es completamente libre sino que está bajo la influencia de un potencial (el potencial V descrito anteriormente), la energía de la partícula dada anteriormente no es la misma que donde p es el momento de la partícula, y por lo tanto el número de onda k anterior en realidad describe los estados de energía de la partícula, no los estados de momento (es decir, resulta que el momento de la partícula no está dado por ). En este sentido, es bastante peligroso llamar al número k un número de onda, ya que no está relacionado con el momento como suele estarlo el "número de onda". La razón para llamar a k el número de onda es que enumera el número de crestas que tiene la función de onda dentro de la caja, y en este sentido es un número de onda. Esta discrepancia se puede ver más claramente a continuación, cuando descubrimos que el espectro de energía de la partícula es discreto (solo se permiten valores discretos de energía) pero el espectro de momento es continuo (el momento puede variar continuamente) y, en particular, la relación para la energía y el momento de la partícula no se cumple. Como se dijo anteriormente, la razón por la que esta relación entre energía y momento no se cumple es que la partícula no es libre, sino que hay un potencial V en el sistema, y ​​la energía de la partícula es , donde T es la energía cinética y V la energía potencial. ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E=T+V}$

Funciones de onda iniciales para los primeros cuatro estados de una partícula unidimensional en una caja

La amplitud de la función de onda en una posición dada está relacionada con la probabilidad de encontrar una partícula allí por . Por lo tanto, la función de onda debe desaparecer en todas partes más allá de los bordes de la caja. ^{[1] [4]} Además, la amplitud de la función de onda no puede "saltar" abruptamente de un punto al siguiente. ^[1] Estas dos condiciones solo se satisfacen con funciones de onda con la forma donde ^[5] y donde n es un entero positivo (1, 2, 3, 4, ...). Para una caja desplazada ( x _c = L /2), la solución es particularmente simple. Las soluciones más simples, o ambas, producen la función de onda trivial , que describe una partícula que no existe en ninguna parte del sistema. ^[6] Los valores negativos de se descuidan, ya que dan funciones de onda idénticas a las soluciones positivas excepto por un cambio de signo físicamente sin importancia. ^[6] Aquí se ve que solo se permite un conjunto discreto de valores de energía y números de onda k para la partícula. Por lo general, en mecánica cuántica también se exige que la derivada de la función de onda además de la función de onda en sí sea continua; En este caso, esta exigencia llevaría a que la única solución fuera la función cero constante, que no es lo que deseamos, por lo que renunciamos a esta exigencia (ya que este sistema con potencial infinito puede considerarse como un caso límite abstracto no físico, podemos tratarlo como tal y "flexibilizar las reglas"). Nótese que renunciar a esta exigencia significa que la función de onda no es una función diferenciable en el límite de la caja y, por lo tanto, se puede decir que la función de onda no resuelve la ecuación de Schrödinger en los puntos límite y (pero la resuelve en todos los demás lugares). ${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$ $${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$ $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}},}$$ ${\displaystyle k_{n}=0}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$

Finalmente, la constante desconocida se puede encontrar normalizando la función de onda de modo que la densidad de probabilidad total de encontrar la partícula en el sistema sea 1. ${\displaystyle A}$

Matemáticamente, (La partícula debe estar en algún lugar ). $${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1}$$

Resulta que $${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}.}$$

Por lo tanto, A puede ser cualquier número complejo con valor absoluto √ 2/ L ; estos diferentes valores de A producen el mismo estado físico, por lo que se puede seleccionar A = √ 2/ L para simplificar.

Se espera que los valores propios , es decir, la energía de la caja sea la misma independientemente de su posición en el espacio, pero cambia. Observe que representa un cambio de fase en la función de onda. Este cambio de fase no tiene efecto al resolver la ecuación de Schrödinger y, por lo tanto, no afecta al valor propio . ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$ ${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$

Si establecemos el origen de coordenadas en el centro de la caja, podemos reescribir la parte espacial de la función de onda sucintamente como: $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Función de onda del momento

La función de onda de momento es proporcional a la transformada de Fourier de la función de onda de posición. Con (nótese que el parámetro k que describe la función de onda de momento a continuación no es exactamente el k _n especial anterior, vinculado a los autovalores de energía), la función de onda de momento está dada por donde sinc es la función seno cardinal sinc , sinc( x ) = sin( x )/ x . Para la caja centrada ( x _c = 0 ), la solución es real y particularmente simple, ya que el factor de fase a la derecha se reduce a la unidad. (Con cuidado, se puede escribir como una función par de p .) ${\displaystyle k=p/\hbar }$ $${\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},}$$

Se puede observar que el espectro de momento en este paquete de ondas es continuo, y se puede concluir que, para el estado de energía descrito por el número de onda k _n , el momento puede, cuando se mide, alcanzar también otros valores más allá de . ${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$

Por lo tanto, también parece que, puesto que la energía es para el estado propio n , la relación no se cumple estrictamente para el momento medido p ; el estado propio de energía no es un estado propio de momento y, de hecho, ni siquiera es una superposición de dos estados propios de momento, como uno podría verse tentado a imaginar a partir de la ecuación ( 1 ) anterior: curiosamente, ¡no tiene un momento bien definido antes de la medición! ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

Distribuciones de probabilidad de posición y momento

En física clásica, la partícula puede detectarse en cualquier lugar de la caja con la misma probabilidad. Sin embargo, en mecánica cuántica, la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una posición dada se deriva de la función de onda como Para la partícula en una caja, la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en una posición dada depende de su estado y está dada por ${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$ $${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

Por lo tanto, para cualquier valor de n mayor que uno, hay regiones dentro de la caja para las cuales , lo que indica que existen nodos espaciales en los que no se puede encontrar la partícula. ${\displaystyle P(x)=0}$

En mecánica cuántica, el valor promedio o esperado de la posición de una partícula está dado por $${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Para la partícula en estado estacionario en una caja, se puede demostrar que la posición promedio es siempre , independientemente del estado de la partícula. Para una superposición de estados, el valor esperado de la posición cambiará en función del término cruzado, que es proporcional a . ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$ ${\displaystyle \cos(\omega t)}$

La varianza en la posición es una medida de la incertidumbre en la posición de la partícula: $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

La densidad de probabilidad para encontrar una partícula con un momento dado se deriva de la función de onda como . Al igual que con la posición, la densidad de probabilidad para encontrar la partícula con un momento dado depende de su estado y está dada por donde, nuevamente, . El valor esperado para el momento se calcula como cero y la varianza en el momento se calcula como: ${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$ $${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$ ${\displaystyle k=p/\hbar }$ $${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

Las incertidumbres en la posición y el momento ( y ) se definen como iguales a la raíz cuadrada de sus respectivas varianzas, de modo que: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

Este producto aumenta al aumentar n , teniendo un mínimo para n = 1. El valor de este producto para n = 1 es aproximadamente igual a 0,568 , lo que obedece al principio de incertidumbre de Heisenberg , que establece que el producto será mayor o igual a . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar /2}$

Otra medida de incertidumbre en la posición es la entropía de información de la distribución de probabilidad H _x : ^[7] donde x ₀ es una longitud de referencia arbitraria. $${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$

Otra medida de incertidumbre en el momento es la entropía de información de la distribución de probabilidad H _p : donde γ es la constante de Euler . El principio de incertidumbre entrópica de la mecánica cuántica establece que para ( nats ) $${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$ ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$

Para , la suma de las entropías de posición y momento produce: donde la unidad es nat , y que satisface el principio de incertidumbre entrópica cuántica. ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$

Niveles de energía

La energía de una partícula en una caja (círculos negros) y de una partícula libre (línea gris) dependen ambas del número de onda de la misma manera. Sin embargo, la partícula en una caja puede tener solo ciertos niveles de energía discretos.

Las energías que corresponden a cada uno de los números de onda permitidos pueden escribirse como ^[5] Los niveles de energía aumentan con , lo que significa que los niveles de energía alta están separados entre sí por una cantidad mayor que los niveles de energía baja. La energía más baja posible para la partícula (su energía de punto cero ) se encuentra en el estado 1, que está dada por ^[8] La partícula, por lo tanto, siempre tiene una energía positiva. Esto contrasta con los sistemas clásicos, donde la partícula puede tener energía cero al reposar inmóvil. Esto puede explicarse en términos del principio de incertidumbre , que establece que el producto de las incertidumbres en la posición y el momento de una partícula está limitado por Se puede demostrar que la incertidumbre en la posición de la partícula es proporcional al ancho de la caja. ^[9] Por lo tanto, la incertidumbre en el momento es aproximadamente inversamente proporcional al ancho de la caja. ^[8] La energía cinética de una partícula está dada por , y por lo tanto la energía cinética mínima de la partícula en una caja es inversamente proporcional a la masa y al cuadrado del ancho del pozo, en acuerdo cualitativo con el cálculo anterior. ^[8] $${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ ${\displaystyle n^{2}}$ $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$

Cajas de dimensiones superiores

Muros (hiper)rectangulares

La función de onda de un pozo 2D con n _x = 4 y n _y = 4

Si una partícula está atrapada en una caja bidimensional, puede moverse libremente en las direcciones y entre barreras separadas por longitudes y respectivamente. Para una caja centrada, la función de onda de posición puede escribirse incluyendo la longitud de la caja como . Utilizando un enfoque similar al de la caja unidimensional, se puede demostrar que las funciones de onda y las energías para una caja centrada están dadas respectivamente por donde el vector de onda bidimensional está dado por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$ $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

Para una caja tridimensional, las soluciones son donde el vector de onda tridimensional viene dado por: $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .}$$

En general, para una caja n -dimensional, las soluciones son $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

Las funciones de onda de momento n -dimensionales también pueden representarse mediante y la función de onda de momento para una caja centrada n -dimensional es entonces: ${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$ $${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

Una característica interesante de las soluciones anteriores es que cuando dos o más de las longitudes son iguales (por ejemplo, ), hay múltiples funciones de onda que corresponden a la misma energía total. Por ejemplo, la función de onda con tiene la misma energía que la función de onda con . Esta situación se llama degeneración y para el caso en el que exactamente dos funciones de onda degeneradas tienen la misma energía, se dice que ese nivel de energía es doblemente degenerado . La degeneración resulta de la simetría en el sistema. Para el caso anterior, dos de las longitudes son iguales, por lo que el sistema es simétrico con respecto a una rotación de 90°. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$ ${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$

Formas de pared más complicadas

La función de onda de una partícula mecano-cuántica en una caja cuyas paredes tienen una forma arbitraria viene dada por la ecuación de Helmholtz, sujeta a la condición de contorno de que la función de onda se anule en las paredes. Estos sistemas se estudian en el campo del caos cuántico para formas de pared cuyas correspondientes mesas de billar dinámicas no son integrables.

Aplicaciones

Debido a su simplicidad matemática, el modelo de partícula en una caja se utiliza para encontrar soluciones aproximadas para sistemas físicos más complejos en los que una partícula está atrapada en una región estrecha de bajo potencial eléctrico entre dos barreras de alto potencial. Estos sistemas de pozos cuánticos son particularmente importantes en optoelectrónica y se utilizan en dispositivos como el láser de pozo cuántico , el fotodetector infrarrojo de pozo cuántico y el modulador de efecto Stark confinado cuánticamente . También se utiliza para modelar una red en el modelo de Kronig-Penney y para un metal finito con la aproximación del electrón libre.

Polienos conjugados

El β-caroteno es un polieno conjugado

Los sistemas de polienos conjugados se pueden modelar utilizando partículas en una caja. ^[10] El sistema conjugado de electrones se puede modelar como una caja unidimensional con una longitud igual a la distancia total de enlace de un extremo del polieno al otro. En este caso, cada par de electrones en cada enlace π corresponde a su nivel de energía. La diferencia de energía entre dos niveles de energía, n _f y n _i es: $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

La diferencia entre la energía del estado fundamental, n, y el primer estado excitado, n+1, corresponde a la energía necesaria para excitar el sistema. Esta energía tiene una longitud de onda específica y, por lo tanto, un color de luz, que se relaciona con: $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

Un ejemplo común de este fenómeno es el β-caroteno . ^{[ cita requerida ]} El β-caroteno (C ₄₀ H ₅₆ ) ^[11] es un polieno conjugado con un color naranja y una longitud molecular de aproximadamente 3,8 nm (aunque su longitud de cadena es solo de aproximadamente 2,4 nm). ^[12] Debido al alto nivel de conjugación del β-caroteno , los electrones se dispersan por toda la longitud de la molécula, lo que permite modelarlo como una partícula unidimensional en una caja. El β-caroteno tiene 11 dobles enlaces carbono -carbono en conjugación; ^[11] cada uno de esos dobles enlaces contiene dos electrones π, por lo tanto, el β-caroteno tiene 22 electrones π. Con dos electrones por nivel de energía, el β-caroteno puede tratarse como una partícula en una caja en el nivel de energía n = 11. ^[12] Por lo tanto, la energía mínima necesaria para excitar un electrón al siguiente nivel de energía se puede calcular, n = 12, de la siguiente manera ^[12] (recordando que la masa de un electrón es 9,109 × 10 ⁻³¹ kg ^[13] ): $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

Utilizando la relación anterior entre longitud de onda y energía, recordando tanto la constante de Planck h como la velocidad de la luz c : $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0.00000084{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

Esto indica que el β-caroteno absorbe principalmente luz en el espectro infrarrojo, por lo que parecería blanco para el ojo humano. Sin embargo, la longitud de onda observada es de 450 nm, ^[14] lo que indica que la partícula en una caja no es un modelo perfecto para este sistema.

Láser de pozo cuántico

El modelo de partícula en una caja se puede aplicar a los láseres de pozo cuántico , que son diodos láser que consisten en un material de “pozo” semiconductor intercalado entre otras dos capas semiconductoras de material diferente. Debido a que las capas de este sándwich son muy delgadas (la capa intermedia tiene típicamente un espesor de aproximadamente 100 Å), se pueden observar efectos de confinamiento cuántico . ^[15] La idea de que los efectos cuánticos podrían aprovecharse para crear mejores diodos láser se originó en la década de 1970. El láser de pozo cuántico fue patentado en 1976 por R. Dingle y CH Henry. ^[16]

Específicamente, el comportamiento de los pozos cuánticos puede ser representado por la partícula en un modelo de pozo finito. Se deben seleccionar dos condiciones de contorno. La primera es que la función de onda debe ser continua. A menudo, la segunda condición de contorno se elige para que la derivada de la función de onda debe ser continua a través del límite, pero en el caso del pozo cuántico las masas son diferentes en ambos lados del límite. En cambio, la segunda condición de contorno se elige para conservar el flujo de partículas como , lo cual es consistente con el experimento. La solución para la partícula de pozo finito en una caja debe resolverse numéricamente, lo que da como resultado funciones de onda que son funciones seno dentro del pozo cuántico y funciones de decaimiento exponencial en las barreras. ^[17] Esta cuantificación de los niveles de energía de los electrones permite que un láser de pozo cuántico emita luz de manera más eficiente que los láseres semiconductores convencionales. ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$

Debido a su pequeño tamaño, los puntos cuánticos no muestran las propiedades generales del semiconductor especificado, sino que muestran estados de energía cuantificados. ^[18] Este efecto se conoce como confinamiento cuántico y ha dado lugar a numerosas aplicaciones de puntos cuánticos, como el láser de pozo cuántico. ^[18]

Los investigadores de la Universidad de Princeton han construido recientemente un láser de pozo cuántico que no es más grande que un grano de arroz. ^[19] El láser está alimentado por un solo electrón que pasa a través de dos puntos cuánticos; un punto cuántico doble. El electrón se mueve desde un estado de mayor energía a un estado de menor energía mientras emite fotones en la región de microondas. Estos fotones rebotan en espejos para crear un haz de luz; el láser. ^[19]

El láser de pozo cuántico se basa en gran medida en la interacción entre la luz y los electrones. Esta relación es un componente clave en las teorías de la mecánica cuántica que incluyen la longitud de onda de De Broglie y la partícula en una caja. El doble punto cuántico permite a los científicos obtener un control total sobre el movimiento de un electrón, lo que en consecuencia da como resultado la producción de un haz láser. ^[19]

Puntos cuánticos

Los puntos cuánticos son semiconductores extremadamente pequeños (en la escala de nanómetros). ^[20] Presentan confinamiento cuántico en el sentido de que los electrones no pueden escapar del “punto”, lo que permite utilizar aproximaciones de partículas en una caja. ^[21] Su comportamiento puede describirse mediante ecuaciones de cuantificación de energía de partículas en una caja tridimensionales. ^[21]

La brecha de energía de un punto cuántico es la brecha de energía entre sus bandas de valencia y conducción . Esta brecha de energía es igual a la brecha del material en masa más la ecuación de energía derivada de la partícula en una caja, que da la energía para los electrones y los huecos . ^[21] Esto se puede ver en la siguiente ecuación, donde y son las masas efectivas del electrón y el hueco, es el radio del punto y es la constante de Planck: ^[21] ${\displaystyle \Delta E(r)}$ ${\displaystyle E_{\text{gap}}}$ ${\displaystyle m_{e}^{*}}$ ${\displaystyle m_{h}^{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)}$$

Por lo tanto, la brecha de energía del punto cuántico es inversamente proporcional al cuadrado de la "longitud de la caja", es decir, el radio del punto cuántico. ^[21]

La manipulación de la brecha de banda permite la absorción y emisión de longitudes de onda específicas de luz, ya que la energía es inversamente proporcional a la longitud de onda. ^[20] Cuanto más pequeño sea el punto cuántico, mayor será la brecha de banda y, por lo tanto, más corta será la longitud de onda absorbida. ^{[20] [22]}

Se utilizan diferentes materiales semiconductores para sintetizar puntos cuánticos de diferentes tamaños y, por lo tanto, emiten diferentes longitudes de onda de luz. ^[22] A menudo se utilizan materiales que normalmente emiten luz en la región visible y sus tamaños se ajustan con precisión para que se emitan ciertos colores. ^[20] Las sustancias típicas utilizadas para sintetizar puntos cuánticos son el cadmio (Cd) y el selenio (Se). ^{[20] [22]} Por ejemplo, cuando los electrones de puntos cuánticos de CdSe de dos nanómetros se relajan después de la excitación , se emite luz azul. De manera similar, se emite luz roja en puntos cuánticos de CdSe de cuatro nanómetros. ^{[23] [20]}

Los puntos cuánticos tienen una variedad de funciones que incluyen, entre otras, tintes fluorescentes, transistores , LED , células solares e imágenes médicas a través de sondas ópticas. ^{[20] [21]}

Una de las funciones de los puntos cuánticos es su uso en el mapeo de ganglios linfáticos, lo cual es posible gracias a su capacidad única de emitir luz en la región del infrarrojo cercano (NIR). El mapeo de ganglios linfáticos permite a los cirujanos rastrear si existen células cancerosas y dónde se encuentran. ^[24]

Los puntos cuánticos son útiles para estas funciones debido a su emisión de luz más brillante, excitación por una amplia variedad de longitudes de onda y mayor resistencia a la luz que otras sustancias. ^{[24] [20]}

Efectos relativistas

La densidad de probabilidad no llega a cero en los nodos si se tienen en cuenta los efectos relativistas a través de la ecuación de Dirac. ^[25]

Véase también

• Historia de la mecánica cuántica
• Pozo de potencial finito
• Potencial de función delta
• Gas en una caja
• Partícula en un anillo
• Partícula en un potencial simétrico esférico
• Oscilador armónico cuántico
• Pozo potencial de semicírculo
• Integral de configuración (mecánica estadística)
• Teorema de Bloch

Referencias

1. Davies, pág. 4
2. En realidad, cualquier potencial constante y finito se puede especificar dentro de la caja. Esto simplemente desplaza las energías de los estados en . ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$
3. Davies, pág. 1
4. Bransden y Joachain, pág. 157
5. Davies, pág. 5
6. Bransden y Joachain, p.158
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Enlaces externos

• Integral de configuración (mecánica estadística), 2008. Este sitio wiki no está disponible; consulte este artículo en el archivo web el 28 de abril de 2012.