Gas en una caja

Modelo estadístico básico

En mecánica cuántica , los resultados de la partícula cuántica en una caja se pueden utilizar para observar la situación de equilibrio de un gas ideal cuántico en una caja , que es una caja que contiene una gran cantidad de moléculas que no interactúan entre sí, excepto por colisiones termalizantes instantáneas. Este modelo simple se puede utilizar para describir el gas ideal clásico , así como los diversos gases ideales cuánticos, como el gas ideal masivo de Fermi , el gas ideal masivo de Bose, así como la radiación del cuerpo negro ( gas de fotones ), que puede tratarse como un gas de Bose sin masa, en el que generalmente se supone que la termalización se facilita por la interacción de los fotones con una masa equilibrada.

Utilizando los resultados de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , de Bose-Einstein o de Fermi-Dirac , y considerando el límite de una caja muy grande, se utiliza la aproximación de Thomas-Fermi (nombrada en honor a Enrico Fermi y Llewellyn Thomas ) para expresar la degeneración de los estados de energía como diferencial y las sumas sobre los estados como integrales. Esto permite calcular las propiedades termodinámicas del gas con el uso de la función de partición o la función de gran partición . Estos resultados se aplicarán tanto a partículas masivas como a partículas sin masa. Los cálculos más completos se dejarán para artículos separados, pero en este artículo se darán algunos ejemplos simples.

Aproximación de Thomas-Fermi para la degeneración de estados

Tanto para partículas masivas como sin masa en una caja , los estados de una partícula se enumeran mediante un conjunto de números cuánticos [ n _x , n _y , n _z ] . La magnitud del momento está dada por

${\displaystyle p={\frac {h}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}\qquad \qquad n_{x},n_{y},n_{z}=1,2,3,\ldots }$

donde h es la constante de Planck y L es la longitud de un lado de la caja. Cada estado posible de una partícula puede considerarse como un punto en una cuadrícula tridimensional de números enteros positivos. La distancia desde el origen hasta cualquier punto será

${\displaystyle n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {2Lp}{h}}}$

Supongamos que cada conjunto de números cuánticos especifica f estados, donde f es el número de grados internos de libertad de la partícula que pueden alterarse por colisión. Por ejemplo, una partícula con espín 1 ⁄ 2 tendría f = 2 , uno para cada estado de espín. Para valores grandes de n , el número de estados con magnitud de momento menor o igual a p de la ecuación anterior es aproximadamente

${\displaystyle g=\left({\frac {f}{8}}\right){\frac {4}{3}}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}\left({\frac {Lp}{h}}\right)^{3}}$

que es simplemente f por el volumen de una esfera de radio n dividido por ocho, ya que solo se considera el octante con n _i positivo. Utilizando una aproximación continua, el número de estados con magnitud de momento entre p y p + dp es, por lo tanto,

${\displaystyle dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}~p^{2}\,dp}$

donde V = L ³ es el volumen de la caja. Nótese que al utilizar esta aproximación continua, también conocida como aproximación de Thomas−Fermi , se pierde la capacidad de caracterizar los estados de baja energía, incluido el estado fundamental donde n _i = 1. Para la mayoría de los casos esto no será un problema, pero al considerar la condensación de Bose–Einstein , en la que una gran parte del gas está en o cerca del estado fundamental , la capacidad de tratar con estados de baja energía se vuelve importante.

Sin utilizar ninguna aproximación, el número de partículas con energía ε _i viene dado por

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi (\varepsilon _{i})}}}$

donde es la degeneración del estado i y con β = 1/ k _B T , la constante de Boltzmann k _B , la temperatura T y el potencial químico μ . (Véase estadísticas de Maxwell–Boltzmann , estadísticas de Bose–Einstein y estadísticas de Fermi–Dirac .) ${\displaystyle g_{i}}$ $${\displaystyle \Phi (\varepsilon _{i})={\begin{cases}e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )},&{\text{for particles obeying Maxwell-Boltzmann statistics}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}-1,&{\text{for particles obeying Bose-Einstein statistics}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}+1,&{\text{for particles obeying Fermi-Dirac statistics}}\\\end{cases}}}$$  

Utilizando la aproximación de Thomas−Fermi, el número de partículas dN _E con energía entre E y E + dE es:

${\displaystyle dN_{E}={\frac {dg_{E}}{\Phi (E)}}}$

donde es el número de estados con energía entre E y E + dE . ${\displaystyle dg_{E}}$

Distribución de energía

Utilizando los resultados derivados de las secciones anteriores de este artículo, ahora se pueden determinar algunas distribuciones para el gas en una caja. Para un sistema de partículas, la distribución para una variable se define mediante la expresión que es la fracción de partículas que tienen valores para entre y ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{A}dA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+dA}$

${\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{N\Phi _{A}}}}$

dónde

• ${\displaystyle dN_{A}}$, número de partículas que tienen valores entre y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+dA}$
• ${\displaystyle dg_{A}}$, número de estados que tienen valores entre y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+dA}$
• ${\displaystyle \Phi _{A}^{-1}}$, probabilidad de que un estado que tiene el valor esté ocupado por una partícula ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle N}$, número total de partículas.

Resulta que:

${\displaystyle \int _{A}P_{A}~dA=1}$

Para una distribución de momento , la fracción de partículas con magnitud de momento entre y es: ${\displaystyle P_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p+dp}$

${\displaystyle P_{p}~dp={\frac {Vf}{N}}~{\frac {4\pi }{h^{3}\Phi _{p}}}~p^{2}dp}$

y para una distribución de energía , la fracción de partículas con energía entre y es: ${\displaystyle P_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$

${\displaystyle P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}}~dE}$

Para una partícula en una caja (y también para una partícula libre), la relación entre energía y momento es diferente para partículas masivas y sin masa. Para partículas masivas, ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

mientras que para partículas sin masa,

${\displaystyle E=pc}$

donde es la masa de la partícula y es la velocidad de la luz. Usando estas relaciones, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$

• Para partículas masivas donde Λ es la longitud de onda térmica del gas. Esta es una cantidad importante, ya que cuando Λ es del orden de la distancia entre partículas , los efectos cuánticos comienzan a dominar y el gas ya no puede considerarse un gas de Maxwell-Boltzmann. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}}$$ ${\displaystyle (V/N)^{1/3}}$
• Para partículas sin masa, donde Λ es ahora la longitud de onda térmica para partículas sin masa. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle \Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}}$$

Ejemplos específicos

Las siguientes secciones ofrecen un ejemplo de resultados para algunos casos específicos.

Partículas masivas de Maxwell-Boltzmann

Para este caso:

${\displaystyle \Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}}$

Integrando la función de distribución de energía y resolviendo N obtenemos

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\,\,e^{\beta \mu }}$

Sustituyendo en la función de distribución de energía original se obtiene

${\displaystyle P_{E}~dE=2{\sqrt {\frac {\beta ^{3}E}{\pi }}}~e^{-\beta E}~dE}$

que son los mismos resultados obtenidos clásicamente para la distribución de Maxwell-Boltzmann . Se pueden encontrar más resultados en la sección clásica del artículo sobre el gas ideal .

Partículas masivas de Bose-Einstein

Para este caso:

${\displaystyle \Phi (E)={\frac {e^{\beta E}}{z}}-1}$

dónde ${\displaystyle z=e^{\beta \mu }.}$

Integrando la función de distribución de energía y resolviendo N obtenemos el número de partículas.

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)}$

donde Li _s ( z ) es la función polilogarítmica . El término polilogarítmico debe ser siempre positivo y real, lo que significa que su valor irá de 0 a ζ (3/2) a medida que z va de 0 a 1. A medida que la temperatura desciende hacia cero, Λ se hará cada vez más grande, hasta que finalmente Λ alcanzará un valor crítico Λ _c donde z = 1 y

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda _{\rm {c}}^{3}}}\right)\zeta (3/2),}$

donde denota la función zeta de Riemann . La temperatura a la que Λ = Λ _c es la temperatura crítica. Para temperaturas inferiores a esta temperatura crítica, la ecuación anterior para el número de partículas no tiene solución. La temperatura crítica es la temperatura a la que comienza a formarse un condensado de Bose-Einstein. El problema es, como se mencionó anteriormente, que se ha ignorado el estado fundamental en la aproximación del continuo. Sin embargo, resulta que la ecuación anterior para el número de partículas expresa bastante bien el número de bosones en estados excitados y, por lo tanto: ${\displaystyle \zeta (z)}$

${\displaystyle N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\operatorname {Li} _{3/2}(z)}$

donde el término añadido es el número de partículas en el estado fundamental. Se ha ignorado la energía del estado fundamental. Esta ecuación se mantendrá hasta la temperatura cero. Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas ideal de Bose .

Partículas de Bose-Einstein sin masa (por ejemplo, radiación del cuerpo negro)

Para el caso de partículas sin masa, se debe utilizar la función de distribución de energía sin masa. Es conveniente convertir esta función en una función de distribución de frecuencia:

${\displaystyle P_{\nu }~d\nu ={\frac {h^{3}}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu }$

donde Λ es la longitud de onda térmica para partículas sin masa. La densidad de energía espectral (energía por unidad de volumen por unidad de frecuencia) es entonces

${\displaystyle U_{\nu }~d\nu =\left({\frac {N\,h\nu }{V}}\right)P_{\nu }~d\nu ={\frac {4\pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu .}$

Se pueden derivar otros parámetros termodinámicos de manera análoga al caso de las partículas masivas. Por ejemplo, integrando la función de distribución de frecuencia y despejando N se obtiene el número de partículas:

${\displaystyle N={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e^{\mu /k_{\rm {B}}T}\right).}$

El gas de Bose sin masa más común es un gas de fotones en un cuerpo negro . Si tomamos la "caja" como una cavidad de cuerpo negro, los fotones son absorbidos y reemitidos continuamente por las paredes. Cuando este es el caso, el número de fotones no se conserva. En la derivación de las estadísticas de Bose-Einstein , cuando se elimina la restricción en el número de partículas, esto es efectivamente lo mismo que establecer el potencial químico ( μ ) en cero. Además, dado que los fotones tienen dos estados de espín, el valor de f es 2. La densidad de energía espectral es entonces

${\displaystyle U_{\nu }~d\nu ={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu }$

que es simplemente la densidad de energía espectral para la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro . Nótese que la distribución de Wien se recupera si este procedimiento se lleva a cabo para partículas de Maxwell-Boltzmann sin masa, lo que se aproxima a una distribución de Planck para altas temperaturas o bajas densidades.

En ciertas situaciones, las reacciones que involucran fotones darán como resultado la conservación del número de fotones (por ejemplo, diodos emisores de luz , cavidades "blancas"). En estos casos, la función de distribución de fotones implicará un potencial químico distinto de cero. (Hermann 2005)

Otro gas de Bose sin masa es el modelo de Debye para la capacidad térmica . Este modelo considera un gas de fonones en una caja y difiere del desarrollo para fotones en que la velocidad de los fonones es menor que la velocidad de la luz y hay una longitud de onda máxima permitida para cada eje de la caja. Esto significa que la integración sobre el espacio de fases no se puede llevar a cabo hasta el infinito y, en lugar de expresar los resultados en polilogaritmos, se expresan en las funciones de Debye relacionadas .

Partículas masivas de Fermi-Dirac (por ejemplo, electrones en un metal)

Para este caso:

${\displaystyle \Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}+1.\,}$

La integración de la función de distribución de energía da como resultado

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\left[-{\textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]}$

donde nuevamente, Li _s ( z ) es la función polilogarítmica y Λ es la longitud de onda térmica de De Broglie . Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas ideal de Fermi . Las aplicaciones del gas de Fermi se encuentran en el modelo del electrón libre , la teoría de las enanas blancas y en la materia degenerada en general.

Véase también

• Gas en una trampa armónica

Referencias

• Herrmann, F.; Würfel, P. (agosto de 2005). "Luz con potencial químico distinto de cero". American Journal of Physics . 73 (8): 717–723. Bibcode :2005AmJPh..73..717H. doi :10.1119/1.1904623 . Consultado el 20 de noviembre de 2006 .
• Huang, Kerson (1967). Mecánica estadística . Nueva York: John Wiley & Sons.
• Isihara, A. (1971). Física estadística . Nueva York: Academic Press.
• Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Física estadística (3.ª edición, parte 1). Oxford: Butterworth-Heinemann.
• Yan, Zijun (2000). "Longitud de onda térmica general y sus aplicaciones". Eur. J. Phys . 21 (6): 625–631. Bibcode :2000EJPh...21..625Y. doi :10.1088/0143-0807/21/6/314. S2CID  250870934.
• Vu-Quoc, L., Integral de configuración (mecánica estadística), 2008. Este sitio wiki no está disponible; consulte este artículo en el archivo web el 28 de abril de 2012.