Niveles de energía degenerados

Nivel de energía de un sistema cuántico que corresponde a dos o más estados medibles diferentes

En mecánica cuántica , un nivel de energía es degenerado si corresponde a dos o más estados medibles diferentes de un sistema cuántico . Por el contrario, se dice que dos o más estados diferentes de un sistema mecánico cuántico son degenerados si dan el mismo valor de energía al medirse. El número de estados diferentes correspondientes a un nivel de energía particular se conoce como el grado de degeneración (o simplemente la degeneración ) del nivel. Se representa matemáticamente por el hamiltoniano para el sistema que tiene más de un estado propio linealmente independiente con el mismo valor propio de energía . ^{[1] : 48} Cuando este es el caso, la energía por sí sola no es suficiente para caracterizar en qué estado se encuentra el sistema, y ​​se necesitan otros números cuánticos para caracterizar el estado exacto cuando se desea distinguir. En mecánica clásica , esto se puede entender en términos de diferentes trayectorias posibles correspondientes a la misma energía.

La degeneración juega un papel fundamental en la mecánica estadística cuántica . Para un sistema de N partículas en tres dimensiones, un único nivel de energía puede corresponder a varias funciones de onda o estados de energía diferentes. Estos estados degenerados en el mismo nivel tienen la misma probabilidad de ser llenados. El número de dichos estados da la degeneración de un nivel de energía particular.

Estados degenerados en un sistema cuántico

Matemáticas

Los estados posibles de un sistema mecánico cuántico pueden ser tratados matemáticamente como vectores abstractos en un espacio de Hilbert complejo y separable , mientras que los observables pueden ser representados por operadores hermíticos lineales que actúan sobre ellos. Al seleccionar una base adecuada , se pueden determinar los componentes de estos vectores y los elementos de la matriz de los operadores en esa base. Si A es una matriz N  ×  N , X un vector distinto de cero y λ es un escalar , tal que , entonces se dice que el escalar λ es un valor propio de A y se dice que el vector X es el vector propio correspondiente a λ . Junto con el vector cero, el conjunto de todos los vectores propios correspondientes a un valor propio dado λ forman un subespacio de C ⁿ , que se llama el espacio propio de λ . Un valor propio λ que corresponde a dos o más vectores propios linealmente independientes diferentes se dice que es degenerado , es decir, y , donde y son vectores propios linealmente independientes. La dimensión del espacio propio correspondiente a ese valor propio se conoce como su grado de degeneración , que puede ser finito o infinito. Se dice que un valor propio no es degenerado si su espacio propio es unidimensional. ${\displaystyle AX=\lambda X}$ ${\displaystyle AX_{1}=\lambda X_{1}}$ ${\displaystyle AX_{2}=\lambda X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Los valores propios de las matrices que representan observables físicos en mecánica cuántica dan los valores mensurables de estos observables, mientras que los estados propios correspondientes a estos valores propios dan los estados posibles en los que puede encontrarse el sistema, tras la medición. Los valores mensurables de la energía de un sistema cuántico están dados por los valores propios del operador hamiltoniano, mientras que sus estados propios dan los estados energéticos posibles del sistema. Se dice que un valor de energía es degenerado si existen al menos dos estados energéticos linealmente independientes asociados con él. Además, cualquier combinación lineal de dos o más estados propios degenerados es también un estado propio del operador hamiltoniano correspondiente al mismo valor propio de energía. Esto se deduce claramente del hecho de que el espacio propio del valor propio del valor de energía λ es un subespacio (siendo el núcleo del hamiltoniano menos λ por la identidad), por lo tanto es cerrado bajo combinaciones lineales.

Demostración del teorema anterior. ^{[2] : p. 52}

Si representa el operador hamiltoniano y y son dos estados propios correspondientes al mismo valor propio E , entonces ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle &=E|\psi _{1}\rangle \\{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle &=E|\psi _{2}\rangle \end{aligned}}}$$

Sea , donde y son constantes complejas (en general), cualquier combinación lineal de y . Entonces, lo que demuestra que es un estado propio de con el mismo valor propio E . ${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi \rangle &={\hat {H}}(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=c_{1}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle +c_{2}{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle \\&=E(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=E|\psi \rangle \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Efecto de la degeneración en la medición de la energía

En ausencia de degeneración, si se determina un valor medido de energía de un sistema cuántico, se supone que se conoce el estado correspondiente del sistema, ya que a cada valor propio de energía solo le corresponde un estado propio. Sin embargo, si el hamiltoniano tiene un valor propio degenerado de grado g _n , los estados propios asociados a él forman un subespacio vectorial de dimensión g _n . En tal caso, es posible que se asocien varios estados finales con el mismo resultado , todos los cuales son combinaciones lineales de los vectores propios ortonormales g _n . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle |E_{n,i}\rangle }$

En este caso, la probabilidad de que el valor de energía medido para un sistema en el estado arroje el valor está dada por la suma de las probabilidades de encontrar el sistema en cada uno de los estados en esta base, es decir, ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}}$$

Degeneración en diferentes dimensiones

Esta sección pretende ilustrar la existencia de niveles de energía degenerados en sistemas cuánticos estudiados en diferentes dimensiones. El estudio de sistemas unidimensionales y bidimensionales facilita la comprensión conceptual de sistemas más complejos.

Degeneración en una dimensión

En varios casos, los resultados analíticos se pueden obtener más fácilmente en el estudio de sistemas unidimensionales. Para una partícula cuántica con una función de onda que se mueve en un potencial unidimensional , la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir como Dado que esta es una ecuación diferencial ordinaria, hay dos funciones propias independientes para una energía dada como máximo, de modo que el grado de degeneración nunca excede dos. Se puede demostrar que en una dimensión, no hay estados ligados degenerados para funciones de onda normalizables . Una condición suficiente en un potencial continuo por partes y la energía es la existencia de dos números reales con tales que tenemos . ^[3] En particular, está acotado por debajo en este criterio. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle V(x)}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M,x_{0}}$ ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle \forall x>x_{0}}$ ${\displaystyle V(x)-E\geq M^{2}}$ ${\displaystyle V}$

Degeneración en sistemas cuánticos bidimensionales

Los sistemas cuánticos bidimensionales existen en los tres estados de la materia y gran parte de la variedad que se observa en la materia tridimensional se puede crear en dos dimensiones. Los materiales bidimensionales reales están hechos de capas monoatómicas en la superficie de los sólidos. Algunos ejemplos de sistemas electrónicos bidimensionales logrados experimentalmente incluyen MOSFET , superredes bidimensionales de helio , neón , argón , xenón , etc. y la superficie del helio líquido . La presencia de niveles de energía degenerados se estudia en los casos de Partícula en una caja y oscilador armónico bidimensional , que actúan como modelos matemáticos útiles para varios sistemas del mundo real.

Partícula en un plano rectangular

Consideremos una partícula libre en un plano de dimensiones y en un plano de paredes impenetrables. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para este sistema con función de onda se puede escribir como Los valores de energía permitidos son La función de onda normalizada es donde ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi }$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}$$ ${\displaystyle n_{x},n_{y}=1,2,3,\dots }$

Por lo tanto, se requieren números cuánticos y para describir los valores propios de energía y la energía más baja del sistema está dada por ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ $${\displaystyle E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)}$$

Para algunas razones conmensurables de las dos longitudes y , ciertos pares de estados son degenerados. Si , donde p y q son números enteros, los estados y tienen la misma energía y, por lo tanto, son degenerados entre sí. ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle L_{x}/L_{y}=p/q}$ ${\displaystyle (n_{x},n_{y})}$ ${\displaystyle (pn_{y}/q,qn_{x}/p)}$

Partícula en una caja cuadrada

En este caso, las dimensiones de la caja y los valores propios de energía vienen dados por ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L}$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$$

Dado que y pueden intercambiarse sin cambiar la energía, cada nivel de energía tiene una degeneración de al menos dos cuando y son diferentes. También se obtienen estados degenerados cuando la suma de los cuadrados de los números cuánticos correspondientes a diferentes niveles de energía es la misma. Por ejemplo, los tres estados (n _x = 7, n _y = 1), (n _x = 1, n _y = 7) y (n _x = n _y = 5) tienen y constituyen un conjunto degenerado. ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}}$

Grados de degeneración de diferentes niveles de energía para una partícula en una caja cuadrada:

Partícula en una caja cúbica

En este caso, las dimensiones de la caja y los valores propios de la energía dependen de tres números cuánticos. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=L}$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}$$

Dado que y pueden intercambiarse sin cambiar la energía, cada nivel de energía tiene una degeneración de al menos tres cuando los tres números cuánticos no son todos iguales. ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$

Encontrar una base propia única en caso de degeneración

Si dos operadores y conmutan, es decir, , entonces para cada vector propio de , es también un vector propio de con el mismo valor propio. Sin embargo, si este valor propio, digamos , es degenerado, se puede decir que pertenece al espacio propio de , que se dice que es globalmente invariante bajo la acción de . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle E_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para dos observables conmutativos A y B , se puede construir una base ortonormal del espacio de estados con vectores propios comunes a los dos operadores. Sin embargo, es un valor propio degenerado de , entonces es un subespacio propio de que es invariante bajo la acción de , por lo que la representación de en la base propia de no es una diagonal sino una matriz diagonal en bloques , es decir, los vectores propios degenerados de no son, en general, vectores propios de . Sin embargo, siempre es posible elegir, en cada subespacio propio degenerado de , una base de vectores propios comunes a y . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Elección de un conjunto completo de observables de desplazamiento

Si un observable dado A no es degenerado, existe una base única formada por sus vectores propios. Por otra parte, si uno o varios valores propios de son degenerados, especificar un valor propio no es suficiente para caracterizar un vector base. Si, al elegir un observable , que conmuta con , es posible construir una base ortonormal de vectores propios comunes a y , que es única, para cada uno de los posibles pares de valores propios {a,b}, entonces se dice que y forman un conjunto completo de observables conmutativos . Sin embargo, si todavía no se puede especificar un conjunto único de vectores propios, para al menos uno de los pares de valores propios, se puede encontrar un tercer observable , que conmuta con ambos y de manera que los tres formen un conjunto completo de observables conmutativos. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

De ello se desprende que las funciones propias del hamiltoniano de un sistema cuántico con un valor de energía común deben etiquetarse proporcionando información adicional, lo que puede hacerse eligiendo un operador que conmute con el hamiltoniano. Estas etiquetas adicionales requieren la denominación de una función propia de energía única y suelen estar relacionadas con las constantes de movimiento del sistema.

Estados propios de energía degenerada y el operador de paridad

El operador de paridad se define por su acción en la representación de cambiar r a −r, es decir, se puede demostrar que los valores propios de P están limitados a , que son ambos valores propios degenerados en un espacio de estados de dimensión infinita. Se dice que un vector propio de P con valor propio +1 es par, mientras que uno con valor propio −1 se dice que es impar. ${\displaystyle |r\rangle }$ $${\displaystyle \langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)}$$ ${\displaystyle \pm 1}$

Ahora bien, un operador par es aquel que satisface , mientras que un operador impar es aquel que satisface . Como el cuadrado del operador de momento es par, si el potencial V(r) es par, se dice que el hamiltoniano es un operador par. En ese caso, si cada uno de sus valores propios no es degenerado, cada vector propio es necesariamente un estado propio de P, y por tanto es posible buscar los estados propios de entre los estados pares e impares. Sin embargo, si uno de los estados propios de energía no tiene paridad definida , se puede afirmar que el valor propio correspondiente es degenerado, y es un vector propio de con el mismo valor propio que . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle {\tilde {A}}=P{\hat {A}}P}$$ $${\displaystyle [P,{\hat {A}}]=0}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0}$$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle P|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Degeneración y simetría

El origen físico de la degeneración en un sistema mecánico cuántico suele ser la presencia de cierta simetría en el sistema. Estudiar la simetría de un sistema cuántico puede, en algunos casos, permitirnos encontrar los niveles de energía y las degeneraciones sin resolver la ecuación de Schrödinger, reduciendo así el esfuerzo.

Matemáticamente, la relación de la degeneración con la simetría se puede aclarar de la siguiente manera. Considérese una operación de simetría asociada con un operador unitario S . Bajo tal operación, el nuevo hamiltoniano está relacionado con el hamiltoniano original por una transformación de similitud generada por el operador S , tal que , ya que S es unitario. Si el hamiltoniano permanece sin cambios bajo la operación de transformación S , tenemos Ahora, si es un estado propio de energía, donde E es el valor propio de energía correspondiente. lo que significa que también es un estado propio de energía con el mismo valor propio E . Si los dos estados y son linealmente independientes (es decir, físicamente distintos), son por lo tanto degenerados. ${\displaystyle H'=SHS^{-1}=SHS^{\dagger }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}SHS^{\dagger }&=H\\[1ex]SHS^{-1}&=H\\[1ex]SH&=HS\\[1ex][S,H]&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ $${\displaystyle H|\alpha \rangle =E|\alpha \rangle }$$ $${\displaystyle HS|\alpha \rangle =SH|\alpha \rangle =SE|\alpha \rangle =ES|\alpha \rangle }$$ ${\displaystyle S|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle S|\alpha \rangle }$

En los casos en que S se caracteriza por un parámetro continuo , todos los estados de la forma tienen el mismo valor propio de energía. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle S(\epsilon )|\alpha \rangle }$

Grupo de simetría del hamiltoniano

El conjunto de todos los operadores que conmutan con el hamiltoniano de un sistema cuántico se dice que forman el grupo de simetría del hamiltoniano. Los conmutadores de los generadores de este grupo determinan el álgebra del grupo. Una representación n-dimensional del grupo de simetría conserva la tabla de multiplicación de los operadores de simetría. Las posibles degeneraciones del hamiltoniano con un grupo de simetría particular están dadas por las dimensionalidades de las representaciones irreducibles del grupo. Las funciones propias correspondientes a un valor propio degenerado n veces forman una base para una representación irreducible n-dimensional del grupo de simetría del hamiltoniano.

Tipos de degeneración

Las degeneraciones en un sistema cuántico pueden ser de naturaleza sistemática o accidental.

Degeneración sistemática o esencial

Esta degeneración también se denomina degeneración geométrica o normal y surge debido a la presencia de algún tipo de simetría en el sistema en consideración, es decir, la invariancia del hamiltoniano bajo una determinada operación, como se describió anteriormente. La representación obtenida a partir de una degeneración normal es irreducible y las funciones propias correspondientes forman una base para esta representación.

Degeneración accidental

Se trata de un tipo de degeneración que resulta de algunas características especiales del sistema o de la forma funcional del potencial considerado, y está relacionada posiblemente con una simetría dinámica oculta en el sistema. ^[4] También da lugar a cantidades conservadas, que a menudo no son fáciles de identificar. Las simetrías accidentales conducen a estas degeneraciones adicionales en el espectro de energía discreto. Una degeneración accidental puede deberse al hecho de que el grupo del hamiltoniano no está completo. Estas degeneraciones están relacionadas con la existencia de órbitas ligadas en la Física clásica.

Ejemplos: potenciales de Coulomb y oscilador armónico

Para una partícula en un potencial central 1/ r , el vector de Laplace–Runge–Lenz es una cantidad conservada resultante de una degeneración accidental, además de la conservación del momento angular debido a la invariancia rotacional.

Para una partícula que se mueve sobre un cono bajo la influencia de los potenciales 1/ r y r ² , centrados en la punta del cono, las cantidades conservadas correspondientes a la simetría accidental serán dos componentes de un equivalente del vector de Runge-Lenz, además de un componente del vector de momento angular. Estas cantidades generan simetría SU(2) para ambos potenciales.

Ejemplo: Partícula en un campo magnético constante

Una partícula que se mueve bajo la influencia de un campo magnético constante y que realiza un movimiento ciclotrón en una órbita circular es otro ejemplo importante de simetría accidental. Los multipletes de simetría en este caso son los niveles de Landau, que están infinitamente degenerados.

Ejemplos

El átomo de hidrógeno

En física atómica , los estados ligados de un electrón en un átomo de hidrógeno nos muestran ejemplos útiles de degeneración. En este caso, el hamiltoniano conmuta con el momento angular orbital total , su componente a lo largo de la dirección z, , el momento angular de espín total y su componente z . Los números cuánticos correspondientes a estos operadores son , , (siempre 1/2 para un electrón) y respectivamente. ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m_{s}}$

Los niveles de energía en el átomo de hidrógeno dependen únicamente del número cuántico principal n . Para un n dado , todos los estados correspondientes a tienen la misma energía y están degenerados. De manera similar, para valores dados de n y ℓ , los estados con están degenerados. El grado de degeneración del nivel de energía E _n es, por lo tanto , que se duplica si se incluye la degeneración de espín. ^{[1] : 267f} ${\displaystyle \ell =0,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,\ldots ,\ell }$ $${\displaystyle \sum _{\ell \mathop {=} 0}^{n-1}(2\ell +1)=n^{2},}$$

La degeneración con respecto a es una degeneración esencial que está presente para cualquier potencial central y surge de la ausencia de una dirección espacial preferida. La degeneración con respecto a se describe a menudo como una degeneración accidental, pero se puede explicar en términos de simetrías especiales de la ecuación de Schrödinger que solo son válidas para el átomo de hidrógeno en el que la energía potencial está dada por la ley de Coulomb . ^{[1] : 267f} ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$

Oscilador armónico tridimensional isotrópico

Es una partícula sin espín de masa m que se mueve en el espacio tridimensional , sujeta a una fuerza central cuyo valor absoluto es proporcional a la distancia de la partícula al centro de fuerza. Se dice que es isótropa ya que el potencial que actúa sobre ella es invariante rotacionalmente, es decir, donde es la frecuencia angular dada por . $${\displaystyle F=-kr}$$ ${\displaystyle V(r)}$ $${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$

Dado que el espacio de estados de dicha partícula es el producto tensorial de los espacios de estados asociados con las funciones de onda unidimensionales individuales, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para dicho sistema está dada por: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\psi }=E\psi }$$

Entonces, los valores propios de la energía son o, donde n es un entero no negativo. Entonces, los niveles de energía están degenerados y el grado de degeneración es igual al número de conjuntos diferentes que satisfacen La degeneración del estado -ésimo se puede encontrar considerando la distribución de cuantos en , y . Tener 0 en da posibilidades de distribución en y . Tener 1 cuanto en da posibilidades en y y así sucesivamente. Esto lleva al resultado general de y sumando todos conduce a la degeneración del estado -ésimo, Para el estado fundamental , la degeneración es por lo que el estado no es degenerado. Para todos los estados superiores, la degeneración es mayor que 1 por lo que el estado es degenerado. $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega }$$ $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega }$$ ${\displaystyle \{n_{x},n_{y},n_{z}\}}$ $${\displaystyle n_{x}+n_{y}+n_{z}=n}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n-n_{x}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$

Eliminando la degeneración

La degeneración en un sistema mecánico cuántico puede eliminarse si la simetría subyacente se rompe por una perturbación externa . Esto provoca la división de los niveles de energía degenerados. Esto es esencialmente una división de las representaciones irreducibles originales en representaciones de menor dimensión del sistema perturbado.

Matemáticamente, la división debida a la aplicación de un pequeño potencial de perturbación se puede calcular utilizando la teoría de perturbación degenerada independiente del tiempo . Este es un esquema de aproximación que se puede aplicar para encontrar la solución a la ecuación de valor propio para el hamiltoniano H de un sistema cuántico con una perturbación aplicada, dada la solución para el hamiltoniano H ₀ para el sistema no perturbado. Implica expandir los valores propios y los kets propios del hamiltoniano H en una serie de perturbaciones. Los estados propios degenerados con un valor propio de energía dado forman un subespacio vectorial, pero no todas las bases de estados propios de este espacio son un buen punto de partida para la teoría de perturbaciones, porque típicamente no habría ningún estado propio del sistema perturbado cerca de ellos. La base correcta para elegir es una que diagonalice el hamiltoniano de perturbación dentro del subespacio degenerado.

Ejemplos físicos de eliminación de la degeneración mediante una perturbación

A continuación se dan algunos ejemplos importantes de situaciones físicas en las que los niveles de energía degenerados de un sistema cuántico se dividen mediante la aplicación de una perturbación externa.

Ruptura de simetría en sistemas de dos niveles

Un sistema de dos niveles se refiere esencialmente a un sistema físico que tiene dos estados cuyas energías están próximas entre sí y son muy diferentes de las de los otros estados del sistema. Todos los cálculos para un sistema de este tipo se realizan en un subespacio bidimensional del espacio de estados.

Si el estado fundamental de un sistema físico es doblemente degenerado, cualquier acoplamiento entre los dos estados correspondientes reduce la energía del estado fundamental del sistema y lo hace más estable.

Si y son los niveles de energía del sistema, tales que , y la perturbación se representa en el subespacio bidimensional como la siguiente matriz 2×2, entonces las energías perturbadas son ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\[1ex]W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{+}&=E+|W_{12}|\\E_{-}&=E-|W_{12}|\end{aligned}}}$$

Ejemplos de sistemas de dos estados en los que la degeneración en los estados de energía se rompe por la presencia de términos fuera de la diagonal en el hamiltoniano resultante de una interacción interna debido a una propiedad inherente del sistema incluyen:

• Benceno , con dos posibles disposiciones de los tres dobles enlaces entre átomos de Carbono vecinos .
• Molécula de amoniaco , donde el átomo de Nitrógeno puede estar por encima o por debajo del plano definido por los tres átomos de Hidrógeno .
• yo⁺
  ₂molécula, en la que el electrón puede estar localizado alrededor de cualquiera de los dos núcleos.

División de estructura fina

Las correcciones a la interacción de Coulomb entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno debido al movimiento relativista y al acoplamiento espín-órbita dan como resultado la ruptura de la degeneración en los niveles de energía para diferentes valores de l correspondientes a un único número cuántico principal n .

El hamiltoniano de perturbación debido a la corrección relativista está dado por donde es el operador de momento y es la masa del electrón. La corrección de energía relativista de primer orden en la base está dada por $${\displaystyle H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle |nlm\rangle }$ $${\displaystyle E_{r}=\left(-1/8m^{3}c^{2}\right)\left\langle n\ell m\right|p^{4}\left|n\ell m\right\rangle }$$

Ahora bien, ¿dónde está la constante de estructura fina ? ${\displaystyle p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{r}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle +e^{4}\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle \right]\\&=-{\frac {1}{2}}mc^{2}\alpha ^{4}\left[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(\ell +1/2)}\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$

La interacción espín-órbita se refiere a la interacción entre el momento magnético intrínseco del electrón y el campo magnético que experimenta debido al movimiento relativo con el protón. El hamiltoniano de interacción es el que puede escribirse como $${\displaystyle H_{so}=-{\frac {e}{mc}}{\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {L} }{r^{3}}}={\frac {e^{2}}{m^{2}c^{2}r^{3}}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {L} }$$ $${\displaystyle H_{so}={\frac {e^{2}}{4m^{2}c^{2}r^{3}}}\left[J^{2}-L^{2}-S^{2}\right]}$$

La corrección de energía de primer orden en la base donde el hamiltoniano de perturbación es diagonal, está dada por donde es el radio de Bohr . El desplazamiento total de energía de la estructura fina está dado por para . ${\displaystyle |j,m,\ell ,1/2\rangle }$ $${\displaystyle E_{so}={\frac {\hbar ^{2}e^{2}}{4m^{2}c^{2}}}{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{a_{0}^{3}n^{3}\ell (\ell +{\frac {1}{2}})(\ell +1)}}}$$ ${\displaystyle a_{0}}$ $${\displaystyle E_{fs}=-{\frac {mc^{2}\alpha ^{4}}{2n^{3}}}\left[1/(j+1/2)-3/4n\right]}$$ ${\textstyle j=\ell \pm {\tfrac {1}{2}}}$

Efecto Zeeman

La división de los niveles de energía de un átomo cuando se coloca en un campo magnético externo debido a la interacción del momento magnético del átomo con el campo aplicado se conoce como efecto Zeeman . ${\displaystyle {\vec {m}}}$

Teniendo en cuenta los momentos angulares orbital y de espín, y , respectivamente, de un solo electrón en el átomo de hidrógeno, el hamiltoniano de perturbación viene dado por donde y . Por lo tanto, Ahora, en el caso del efecto Zeeman de campo débil, cuando el campo aplicado es débil en comparación con el campo interno, el acoplamiento espín-órbita domina y y no se conservan por separado. Los buenos números cuánticos son n , ℓ , j y m _j , y sobre esta base, se puede demostrar que la corrección de energía de primer orden viene dada por donde se llama magnetón de Bohr . Por lo tanto, dependiendo del valor de , cada nivel de energía degenerado se divide en varios niveles. ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle {\hat {V}}=-(\mathbf {m} _{\ell }+\mathbf {m} _{s})\cdot \mathbf {B} }$$ ${\displaystyle \mathbf {m} _{\ell }=-e\mathbf {L} /2m}$ ${\displaystyle \mathbf {m} _{s}=-e\mathbf {S} /m}$ $${\displaystyle {\hat {V}}={\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {B} }$$ ${\textstyle \mathbf {L} }$ ${\textstyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j},}$$ ${\displaystyle \mu _{B}={e\hbar }/2m}$ ${\displaystyle m_{j}}$

Levantamiento de la degeneración mediante un campo magnético externo

En el caso del efecto Zeeman de campo fuerte, cuando el campo aplicado es lo suficientemente fuerte como para que los momentos angulares orbital y de espín se desacoplen, los números cuánticos buenos son ahora n , l , m _l y m _s . Aquí, L _z y S _z se conservan, por lo que el hamiltoniano de perturbación se da suponiendo que el campo magnético está a lo largo de la dirección z . Por lo tanto, para cada valor de m _ℓ , hay dos valores posibles de m _s , . $${\displaystyle {\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m}$$ $${\displaystyle {\hat {V}}=eB(m_{\ell }+2m_{s})/2m}$$ ${\displaystyle \pm 1/2}$

Efecto marcado

La división de los niveles de energía de un átomo o molécula cuando se somete a un campo eléctrico externo se conoce como efecto Stark .

Para el átomo de hidrógeno, el hamiltoniano de perturbación es si el campo eléctrico se elige a lo largo de la dirección z . $${\displaystyle {\hat {H}}_{s}=-|e|Ez}$$

Las correcciones de energía debidas al campo aplicado están dadas por el valor esperado de en la base. Se puede demostrar mediante las reglas de selección que cuando y . ${\displaystyle {\hat {H}}_{s}}$ ${\displaystyle |n\ell m\rangle }$ ${\displaystyle \langle n\ell m_{\ell }|z|n_{1}\ell _{1}m_{\ell 1}\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle \ell =\ell _{1}\pm 1}$ ${\displaystyle m_{\ell }=m_{\ell 1}}$

La degeneración se elimina solo para ciertos estados que obedecen las reglas de selección, en primer orden. La división de primer orden en los niveles de energía para los estados degenerados y , ambos correspondientes a n = 2, está dada por . ${\displaystyle |2,0,0\rangle }$ ${\displaystyle |2,1,0\rangle }$ ${\displaystyle \Delta E_{2,1,m_{\ell }}=\pm |e|\hbar ^{2}/(m_{e}e^{2})E}$

Véase también

• Densidad de estados

Referencias

1. Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley. ISBN 0-471-88702-1.
2. Levine, Ira N. (1991). Química cuántica (4.ª ed.). Prentice Hall. pág. 52. ISBN 0-205-12770-3.
3. Messiah, Albert (1967). Mecánica cuántica (3.ª ed.). Ámsterdam, NLD: Holanda Septentrional. pp. 98-106. ISBN 0-471-88702-1.
4. McIntosh, Harold V. (1959). "Sobre la degeneración accidental en la mecánica clásica y cuántica" (PDF) . American Journal of Physics . 27 (9). Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT): 620–625. Bibcode :1959AmJPh..27..620M. doi :10.1119/1.1934944. ISSN  0002-9505.

Lectura adicional

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck. Mecánica Cuántica. vol. 1. Hermann. ISBN 978-2-7056-8392-4.^{[ Se necesita cita completa ]}
• Shankar, Ramamurti (2013). Principios de la mecánica cuántica. Springer. ISBN 978-1-4615-7675-4.^{[ Se necesita cita completa ]}
• Larson, Ron ; Falvo, David C. (30 de marzo de 2009). Álgebra lineal elemental, edición mejorada. Cengage Learning. pp. 8–. ISBN 978-1-305-17240-1.
• Hobson; Riley (27 de agosto de 2004). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería (Clpe) 2.ª edición. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-61296-8.
• Hemmer (2005). Kvantemekanikk: PC Hemmer. Tapir akademisk forlag. Tillegg 3: suplemento de los apartados 3.1, 3.3 y 3.5. ISBN 978-82-519-2028-5.
• Degeneración cuántica en sistemas bidimensionales, Debnarayan Jana, Departamento de Física, Facultad Universitaria de Ciencia y Tecnología
• Al-Hashimi, Munir (2008). Simetría accidental en física cuántica.