fonón

Cuasipartícula de vibraciones mecánicas.

En física , un fonón es una excitación colectiva en una disposición periódica y elástica de átomos o moléculas en materia condensada , específicamente en sólidos y algunos líquidos . Un tipo de cuasipartícula , ^[1] un fonón es un estado excitado en la cuantificación mecánica cuántica de los modos de vibración de estructuras elásticas de partículas que interactúan. Los fonones pueden considerarse como ondas sonoras cuantificadas , similares a los fotones como ondas de luz cuantificadas . ^[2]

El estudio de los fonones es una parte importante de la física de la materia condensada. Desempeñan un papel importante en muchas de las propiedades físicas de los sistemas de materia condensada, como la conductividad térmica y la conductividad eléctrica , así como en modelos de dispersión de neutrones y efectos relacionados.

El concepto de fonones fue introducido en 1932 por el físico soviético Igor Tamm . El nombre fonón proviene de la palabra griega φωνή ( phonē ), que se traduce como sonido o voz , porque los fonones de longitud de onda larga dan origen al sonido . El nombre es análogo a la palabra fotón que representa la dualidad onda-partícula de las ondas sonoras .

Definición

Un fonón es la descripción de la mecánica cuántica de un movimiento vibratorio elemental en el que una red de átomos o moléculas oscila uniformemente a una sola frecuencia . ^[3] En mecánica clásica esto designa un modo normal de vibración. Los modos normales son importantes porque cualquier vibración reticular arbitraria puede considerarse una superposición de estos modos de vibración elementales (cf. análisis de Fourier ). Si bien los modos normales son fenómenos ondulatorios en la mecánica clásica, los fonones también tienen propiedades similares a las de partículas , de una manera relacionada con la dualidad onda-partícula de la mecánica cuántica.

Dinámica reticular

Las ecuaciones de esta sección no utilizan axiomas de la mecánica cuántica sino relaciones para las cuales existe una correspondencia directa en la mecánica clásica.

Por ejemplo: una red rígida, regular, cristalina (no amorfa ) está compuesta de N partículas. Estas partículas pueden ser átomos o moléculas. N es un número grande, digamos del orden de 10 ²³ , o del orden del número de Avogadro para una muestra típica de un sólido. Dado que la red es rígida, los átomos deben ejercer fuerzas entre sí para mantenerlos cerca de su posición de equilibrio. Estas fuerzas pueden ser fuerzas de Van der Waals , enlaces covalentes , atracciones electrostáticas y otras, todas las cuales se deben en última instancia a la fuerza eléctrica . Las fuerzas magnéticas y gravitacionales son generalmente insignificantes. Las fuerzas entre cada par de átomos pueden caracterizarse por una función de energía potencial V que depende de la distancia de separación de los átomos. La energía potencial de toda la red es la suma de todas las energías potenciales por pares multiplicada por un factor de 1/2 para compensar el doble conteo: ^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

donde r _i es la posición del i -ésimo átomo y V es la energía potencial entre dos átomos.

Es difícil resolver explícitamente este problema de muchos cuerpos tanto en la mecánica clásica como en la cuántica. Para simplificar la tarea se suelen imponer dos aproximaciones importantes. En primer lugar, la suma sólo se realiza sobre los átomos vecinos. Aunque las fuerzas eléctricas en los sólidos reales se extienden hasta el infinito, esta aproximación sigue siendo válida porque los campos producidos por átomos distantes están efectivamente apantallados . En segundo lugar, los potenciales V se tratan como potenciales armónicos . Esto es permisible siempre que los átomos permanezcan cerca de sus posiciones de equilibrio. Formalmente, esto se logra expandiendo Taylor V alrededor de su valor de equilibrio a orden cuadrático, dando a V proporcional al desplazamiento x ² y la fuerza elástica simplemente proporcional a x . El error al ignorar los términos de orden superior sigue siendo pequeño si x permanece cerca de la posición de equilibrio.

La red resultante puede visualizarse como un sistema de bolas conectadas por resortes. La siguiente figura muestra una red cúbica, que es un buen modelo para muchos tipos de sólidos cristalinos. Otras redes incluyen una cadena lineal, que es una red muy simple que usaremos en breve para modelar fonones. (Para otras redes comunes, consulte estructura cristalina ).

La energía potencial de la red ahora se puede escribir como

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}$

Aquí, ω es la frecuencia natural de los potenciales armónicos, que se supone que son iguales ya que la red es regular. Ri es la coordenada _de posición del átomo i , que ahora medimos desde su posición de equilibrio. La suma de los vecinos más cercanos se denota (nn).

Es importante mencionar que el tratamiento matemático aquí dado está altamente simplificado para hacerlo accesible a no expertos. La simplificación se ha logrado haciendo dos suposiciones básicas en la expresión de la energía potencial total del cristal. Estos supuestos son que (i) la energía potencial total se puede escribir como una suma de interacciones por pares, y (ii) cada átomo interactúa sólo con sus vecinos más cercanos. Estos se utilizan sólo con moderación en la dinámica reticular moderna. ^[5] Un enfoque más general es expresar la energía potencial en términos de constantes de fuerza. ^[5] Véase, por ejemplo, el artículo de Wiki sobre las funciones de Green multiescala.

ondas reticulares

Fonon propagándose a través de una red cuadrada (desplazamientos de átomos muy exagerados)

Debido a las conexiones entre átomos, el desplazamiento de uno o más átomos de sus posiciones de equilibrio da lugar a un conjunto de ondas de vibración que se propagan a través de la red. Una de esas olas se muestra en la figura de la derecha. La amplitud de la onda está dada por los desplazamientos de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. La longitud de onda λ está marcada.

Existe una longitud de onda mínima posible, dada por el doble de la separación en equilibrio a entre átomos. Cualquier longitud de onda más corta que esta se puede mapear en una longitud de onda mayor que 2 a , debido a la periodicidad de la red. Esto puede pensarse como una consecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , en el que los puntos de la red se consideran los "puntos de muestreo" de una onda continua.

No todas las vibraciones reticulares posibles tienen una longitud de onda y una frecuencia bien definidas. Sin embargo, los modos normales poseen longitudes de onda y frecuencias bien definidas .

celosía unidimensional

Animación que muestra 6 modos normales de una red unidimensional: una cadena lineal de partículas. La longitud de onda más corta está en la parte superior, con longitudes de onda progresivamente más largas debajo. En las líneas inferiores se puede ver el movimiento de las olas hacia la derecha.

Para simplificar el análisis necesario para una red tridimensional de átomos, es conveniente modelar una red unidimensional o una cadena lineal. Este modelo es lo suficientemente complejo como para mostrar las características más destacadas de los fonones.

Tratamiento clásico

Se supone que las fuerzas entre los átomos son lineales y vecinas más cercanas, y están representadas por un resorte elástico. Se supone que cada átomo es una partícula puntual y que el núcleo y los electrones se mueven al mismo tiempo ( teorema adiabático ):

norte − 1 norte norte + 1 ← un →        

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++ ++o++++++o++++++o···

→→  →  →→→

tu _{norte - 1} tu _norte tu _{norte + 1}  

donde n etiqueta el n -ésimo átomo de un total de N , a es la distancia entre los átomos cuando la cadena está en equilibrio y _un el desplazamiento del n -ésimo átomo desde su posición de equilibrio.

Si C es la constante elástica del resorte y m la masa del átomo, entonces la ecuación de movimiento del n- ésimo átomo es

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

Este es un conjunto de ecuaciones acopladas.

Dado que se espera que las soluciones sean oscilatorias, se definen nuevas coordenadas mediante una transformada discreta de Fourier para desacoplarlas. ^[6]

Poner

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

Aquí, na corresponde y devuelve a la variable continua x de la teoría de campos escalares. Las Qk se conocen como coordenadas normales _{, modos de} campo continuo φk .

La sustitución en la ecuación de movimiento produce las siguientes ecuaciones desacopladas (esto requiere una manipulación significativa utilizando las relaciones de ortonormalidad y completitud de la transformada discreta de Fourier), ^[7]

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

Estas son las ecuaciones para osciladores armónicos desacoplados que tienen la solución

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

Cada coordenada normal Qk representa un modo vibratorio independiente de _la red con número de onda k , que se conoce como modo normal .

La segunda ecuación, para ω _k , se conoce como relación de dispersión entre la frecuencia angular y el número de onda .

En el límite continuo , a →0, N →∞, con Na mantenido fijo, u _n → φ ( x ) , un campo escalar, y . Esto equivale a la teoría clásica de campos escalares libres , un conjunto de osciladores independientes. ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$

Tratamiento cuántico

Una cadena armónica de mecánica cuántica unidimensional consta de N átomos idénticos. Este es el modelo mecánico cuántico más simple de una red que permite que surjan fonones de ella. El formalismo de este modelo es fácilmente generalizable a dos y tres dimensiones.

En cierto contraste con la sección anterior, las posiciones de las masas no se denotan por u _i , sino por x ₁ , x ₂ ..., medidas desde sus posiciones de equilibrio (es decir, x _i  = 0 si la partícula i es en su posición de equilibrio). En dos o más dimensiones, las x _i son cantidades vectoriales. El hamiltoniano de este sistema es

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

donde m es la masa de cada átomo (asumiendo que es igual para todos), y x _i y p _i son los operadores de posición y momento , respectivamente, para el átomo i y la suma se realiza sobre los vecinos más cercanos (nn). Sin embargo, se espera que en una red también puedan aparecer ondas que se comporten como partículas. Es habitual tratar con ondas en el espacio de Fourier , que utiliza modos normales del vector de onda como variables en lugar de coordenadas de partículas. El número de modos normales es el mismo que el número de partículas. Sin embargo, el espacio de Fourier resulta muy útil dada la periodicidad del sistema.

Se puede introducir un conjunto de N "coordenadas normales" Q _k , definidas como las transformadas discretas de Fourier de x _k y N "momentos conjugados" Π _k definidos como las transformadas de Fourier de p _k :

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

La cantidad k _n resulta ser el número de onda del fonón, es decir, 2 π dividido por la longitud de onda .

Esta elección conserva las relaciones de conmutación deseadas ya sea en el espacio real o en el espacio vectorial de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

Del resultado general

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

El término de energía potencial es

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

dónde

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

El hamiltoniano puede escribirse en el espacio vectorial de onda como

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

Los acoplamientos entre las variables de posición se han eliminado; si Q y Π fueran hermitianos (que no lo son), el hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados.

La forma de la cuantificación depende de la elección de las condiciones de contorno; Para simplificar, se imponen condiciones de contorno periódicas , definiendo el ( N  + 1)ésimo átomo como equivalente al primer átomo. Físicamente esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantificación resultante es

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

El límite superior de n proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espaciado de la red a , como se analizó anteriormente.

Los valores propios o niveles de energía del oscilador armónico para el modo ω _k son:

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

Los niveles están espaciados uniformemente en:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

dónde1/2ħω es la energía de punto cero de un oscilador armónico cuántico .

Se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħω a la red del oscilador armónico para empujarla al siguiente nivel de energía. En comparación con el caso del fotón , cuando el campo electromagnético está cuantificado, el cuanto de energía vibratoria se llama fonón.

Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades ondulatorias y partícula simultáneamente. Las propiedades similares a partículas del fonón se comprenden mejor utilizando los métodos de segunda cuantificación y técnicas de operador que se describen más adelante. ^[8]

celosía tridimensional

Esto puede generalizarse a una red tridimensional. El número de onda k se reemplaza por un vector de onda tridimensional k . Además, cada k ahora está asociada con tres coordenadas normales.

Los nuevos índices s = 1, 2, 3 etiquetan la polarización de los fonones. En el modelo unidimensional, los átomos estaban restringidos a moverse a lo largo de la línea, por lo que los fonones correspondían a ondas longitudinales . En tres dimensiones, la vibración no se limita a la dirección de propagación, y también puede ocurrir en los planos perpendiculares, como las ondas transversales . Esto da lugar a las coordenadas normales adicionales que, como indica la forma del hamiltoniano, podemos considerar como especies independientes de fonones.

Relación de dispersión

Curvas de dispersión en cadena diatómica lineal.

Vibraciones ópticas y acústicas en una cadena diatómica lineal.

Vibraciones de la cadena diatómica a diferentes frecuencias.

Relación de dispersión ω  =  ω ( k ) para algunas ondas correspondientes a vibraciones reticulares en GaAs. ^[9]

Para una matriz alterna unidimensional de dos tipos de iones o átomos de masa m ₁ , m ₂ repetidos periódicamente a una distancia a , conectados por resortes de constante elástica K , resultan dos modos de vibración: ^[10]

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

donde k es el vector de onda de la vibración relacionado con su longitud de onda por . ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$

La conexión entre la frecuencia y el vector de onda, ω  =  ω ( k ), se conoce como relación de dispersión . El signo más da como resultado el llamado modo óptico y el signo menos, el modo acústico . En el modo óptico, dos átomos adyacentes diferentes se mueven uno contra el otro, mientras que en el modo acústico se mueven juntos.

La velocidad de propagación de un fonón acústico, que también es la velocidad del sonido en la red, viene dada por la pendiente de la relación de dispersión acústica,∂ ω _k/∂ k(ver velocidad de grupo ). En valores bajos de k (es decir, longitudes de onda largas), la relación de dispersión es casi lineal y la velocidad del sonido es aproximadamente ωa , independiente de la frecuencia del fonón. Como resultado, paquetes de fonones con longitudes de onda diferentes (pero largas) pueden propagarse a grandes distancias a través de la red sin romperse. Ésta es la razón por la que el sonido se propaga a través de los sólidos sin una distorsión significativa. Este comportamiento falla en valores grandes de k , es decir, longitudes de onda cortas, debido a los detalles microscópicos de la red.

Para un cristal que tiene al menos dos átomos en su celda primitiva , las relaciones de dispersión exhiben dos tipos de fonones, a saber, modos óptico y acústico correspondientes a la curva superior azul y la inferior roja en el diagrama, respectivamente. El eje vertical es la energía o frecuencia del fonón, mientras que el eje horizontal es el vector de onda . Los límites en -π/ayπ/ason los de la primera zona de Brillouin . ^[10] Un cristal con N  ≥ 2 átomos diferentes en la celda primitiva exhibe tres modos acústicos: un modo acústico longitudinal y dos modos acústicos transversales . El número de modos ópticos es 3 N  – 3. La figura inferior muestra las relaciones de dispersión para varios modos de fonones en GaAs en función del vector de onda k en las direcciones principales de su zona de Brillouin. ^[9]

Los modos también se conocen como ramas de la dispersión de fonones. En general, si hay átomos p (indicados anteriormente por N) en la celda unitaria primitiva, habrá 3p ramas de dispersión de fonones en un cristal tridimensional. De estas, 3 ramas corresponden a modos acústicos y las 3p-3 ramas restantes corresponderán a modos ópticos. En algunas direcciones especiales, algunas ramas coinciden debido a la simetría. Estas ramas se llaman degeneradas. En los modos acústicos, todos los átomos p vibran en fase. Por tanto, no hay cambios en los desplazamientos relativos de estos átomos durante la propagación de la onda.

El estudio de la dispersión de fonones es útil para modelar la propagación de ondas sonoras en sólidos, que se caracteriza por los fonones. La energía de cada fonón, como se indicó anteriormente, es ħω. La velocidad de la onda también está dada en términos de ω y k . La dirección del vector de onda es la dirección de propagación de la onda y el vector de polarización de fonones da la dirección en la que vibran los átomos. En realidad, en general, la velocidad de la onda en un cristal es diferente para diferentes direcciones de k. En otras palabras, la mayoría de los cristales son anisotrópicos para la proagación de fonones.

Una onda es longitudinal si los átomos vibran en la misma dirección que la propagación de la onda. En una onda transversal, los átomos vibran perpendicularmente a la propagación de la onda. Sin embargo, a excepción de los cristales isotrópicos, las ondas en un cristal no son exactamente longitudinales o transversales. Para cristales anisotrópicos generales, las ondas de fonón son longitudinales o transversales sólo en ciertas direcciones de simetría especiales. En otras direcciones, pueden ser casi longitudinales o casi transversales. Es sólo por conveniencia de etiquetado que a menudo se les llama longitudinales o transversales, pero en realidad son cuasilongitudinales o cuasitransversales. Tenga en cuenta que en el caso tridimensional, hay dos direcciones perpendiculares a una línea recta en cada punto de la línea. Por lo tanto, siempre hay dos ondas (cuasi) transversales para cada onda (cuasi) longitudinal.

Muchas curvas de dispersión de fonones se han medido mediante dispersión inelástica de neutrones .

La física del sonido en fluidos difiere de la física del sonido en sólidos, aunque ambas son ondas de densidad: las ondas sonoras en fluidos solo tienen componentes longitudinales, mientras que las ondas sonoras en sólidos tienen componentes longitudinales y transversales. Esto se debe a que los fluidos no pueden soportar tensiones cortantes (pero consulte los fluidos viscoelásticos , que solo se aplican a altas frecuencias).

Interpretación de fonones mediante segundas técnicas de cuantificación.

El hamiltoniano derivado anteriormente puede parecer una función hamiltoniana clásica, pero si se interpreta como un operador , entonces describe una teoría cuántica de campos de bosones que no interactúan . ^[2] La segunda técnica de cuantificación, similar al método del operador de escalera utilizado para los osciladores armónicos cuánticos , es un medio para extraer valores propios de energía sin resolver directamente las ecuaciones diferenciales. Dado el hamiltoniano, así como la posición conjugada, y el momento conjugado definidos en la sección de tratamiento cuántico anterior, podemos definir los operadores de creación y aniquilación : ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}$   y   ${\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}$

Los siguientes conmutadores se pueden obtener fácilmente sustituyendo en la relación de conmutación canónica :

${\displaystyle \left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0}$

Usando esto, los operadores b _k ^† y b _k se pueden invertir para redefinir la posición conjugada y el impulso como:

${\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}$   y   ${\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}$

Sustituyendo directamente estas definiciones por y en el espacio vectorial de onda hamiltoniano, como se define anteriormente, y simplificando, el resultado es que el hamiltoniano toma la forma: ^[2] ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

Esto se conoce como segunda técnica de cuantificación, también conocida como formulación del número de ocupación, donde n _k = b _k ^† b _k es el número de ocupación. Se puede ver que esto es una suma de N hamiltonianos de osciladores independientes, cada uno con un vector de onda único, y compatible con los métodos utilizados para el oscilador armónico cuántico (tenga en cuenta que n _k es hermitiano ). ^[11] Cuando un hamiltoniano puede escribirse como una suma de subhamiltonianos conmutantes, los estados propios de energía vendrán dados por los productos de los estados propios de cada uno de los subhamiltonianos separados. El espectro de energía correspondiente viene dado entonces por la suma de los valores propios individuales de los subhamiltonianos. ^[11]

Al igual que con el oscilador armónico cuántico, se puede demostrar que b _k ^† y b _k crean y destruyen respectivamente una excitación de campo único, un fonón, con una energía de ħω _k . ^{[11] [2]}

De esta técnica se pueden deducir tres propiedades importantes de los fonones. Primero, los fonones son bosones , ya que se puede crear cualquier número de excitaciones idénticas mediante la aplicación repetida del operador de creación b _k ^† . En segundo lugar, cada fonón es un "modo colectivo" causado por el movimiento de cada átomo en la red. Esto puede verse por el hecho de que los operadores de creación y aniquilación, definidos aquí en el espacio de momento, contienen sumas sobre los operadores de posición y momento de cada átomo cuando se escriben en el espacio de posición (ver espacio de posición y momento ). ^[11] Finalmente, utilizando la función de correlación posición-posición , se puede demostrar que los fonones actúan como ondas de desplazamiento reticular. ^{[ cita necesaria ]}

Esta técnica se generaliza fácilmente a tres dimensiones, donde el hamiltoniano toma la forma: ^{[11] [2]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Lo cual se puede interpretar como la suma de 3N hamiltonianos de osciladores independientes, uno para cada vector de onda y polarización. ^[11]

Fonones acústicos y ópticos.

Los sólidos con más de un átomo en la celda unitaria más pequeña exhiben dos tipos de fonones: fonones acústicos y fonones ópticos.

Los fonones acústicos son movimientos coherentes de átomos de la red fuera de sus posiciones de equilibrio. Si el desplazamiento se produce en la dirección de propagación, entonces en algunas zonas los átomos estarán más cerca, en otras más separados, como en una onda sonora en el aire (de ahí el nombre acústico). El desplazamiento perpendicular a la dirección de propagación es comparable a las ondas en una cuerda. Si la longitud de onda de los fonones acústicos llega al infinito, esto corresponde a un simple desplazamiento de todo el cristal, y esto no cuesta energía de deformación. Los fonones acústicos exhiben una relación lineal entre la frecuencia y el vector de onda del fonón para longitudes de onda largas. Las frecuencias de los fonones acústicos tienden a cero con longitudes de onda más largas. Los fonones acústicos longitudinales y transversales a menudo se abrevian como fonones LA y TA, respectivamente.

Los fonones ópticos son movimientos desfasados ​​de los átomos en la red: un átomo se mueve hacia la izquierda y su vecino hacia la derecha. Esto ocurre si la base de la red consta de dos o más átomos. Se llaman ópticos porque en los cristales iónicos, como el cloruro de sodio , las fluctuaciones en el desplazamiento crean una polarización eléctrica que se acopla al campo electromagnético. ^[2] Por lo tanto, pueden excitarse mediante radiación infrarroja , el campo eléctrico de la luz moverá cada ion de sodio positivo en la dirección del campo y cada ion de cloruro negativo en la otra dirección, haciendo que el cristal vibre.

Los fonones ópticos tienen una frecuencia distinta de cero en el centro de la zona de Brillouin y no muestran dispersión cerca de ese límite de longitud de onda larga. Esto se debe a que corresponden a un modo de vibración en el que los iones positivos y negativos en sitios adyacentes de la red oscilan entre sí, creando un momento dipolar eléctrico que varía en el tiempo . Los fonones ópticos que interactúan de esta manera con la luz se denominan infrarrojos activos . Los fonones ópticos que son Raman activos también pueden interactuar indirectamente con la luz, a través de la dispersión Raman . Los fonones ópticos a menudo se abrevian como fonones LO y TO, para los modos longitudinal y transversal respectivamente; La división entre frecuencias LO y TO a menudo se describe con precisión mediante la relación Lyddane-Sachs-Teller .

Cuando se mide experimentalmente la energía de los fonones ópticos, las frecuencias de los fonones ópticos a veces se dan en notación espectroscópica de números de onda , donde el símbolo ω representa la frecuencia ordinaria (no la frecuencia angular) y se expresa en unidades de cm ⁻¹ . El valor se obtiene dividiendo la frecuencia por la velocidad de la luz en el vacío . En otras palabras, el número de onda en unidades cm ⁻¹ corresponde a la inversa de la longitud de onda de un fotón en el vacío que tiene la misma frecuencia que el fonón medido. ^[12]

Impulso cristalino

Los vectores k que exceden la primera zona de Brillouin (rojo) no transportan más información que sus contrapartes (negro) en la primera zona de Brillouin.

Por analogía con los fotones y las ondas de materia , los fonones han sido tratados con el vector de onda k como si tuviera un momento ħk ; ^[13] sin embargo, esto no es estrictamente correcto, porque ħk no es en realidad un impulso físico; se llama impulso cristalino o pseudomomento . Esto se debe a que k solo se determina hasta la suma de vectores constantes (los vectores reticulares recíprocos y sus múltiplos enteros). Por ejemplo, en el modelo unidimensional, las coordenadas normales Q y Π se definen de modo que

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

dónde

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

para cualquier número entero n . Por tanto, un fonón con número de onda k es equivalente a una familia infinita de fonones con número de onda k  ± 2 π/a, k  ± 4 π/a, Etcétera. Físicamente, los vectores recíprocos de la red actúan como fragmentos adicionales de impulso que la red puede impartir al fonón. Los electrones de Bloch obedecen a un conjunto similar de restricciones.

Zonas de Brillouin, (a) en una red cuadrada y (b) en una red hexagonal

Generalmente es conveniente considerar vectores de onda de fonones k que tienen la magnitud más pequeña | k | en su "familia". El conjunto de todos estos vectores de onda define la primera zona de Brillouin . Las zonas de Brillouin adicionales pueden definirse como copias de la primera zona, desplazadas por algún vector reticular recíproco.

Termodinámica

Las propiedades termodinámicas de un sólido están directamente relacionadas con su estructura fonónica. El conjunto completo de todos los fonones posibles que se describen mediante las relaciones de dispersión de fonones se combinan en lo que se conoce como densidad de estados de fonones , que determina la capacidad calorífica de un cristal. Por la naturaleza de esta distribución, la capacidad calorífica está dominada por la parte de alta frecuencia de la distribución, mientras que la conductividad térmica es principalmente el resultado de la región de baja frecuencia. ^{[ cita necesaria ]}

A temperatura del cero absoluto , una red cristalina se encuentra en su estado fundamental y no contiene fonones. Una red a una temperatura distinta de cero tiene una energía que no es constante, sino que fluctúa aleatoriamente alrededor de algún valor medio . Estas fluctuaciones de energía son causadas por vibraciones aleatorias de la red, que pueden verse como un gas de fonones. Debido a que estos fonones son generados por la temperatura de la red, a veces se les denomina fonones térmicos. ^[14]

Los fonones térmicos pueden crearse y destruirse mediante fluctuaciones aleatorias de energía. En el lenguaje de la mecánica estadística, esto significa que el potencial químico para añadir un fonón es cero. ^[14] Este comportamiento es una extensión del potencial armónico al régimen anarmónico. El comportamiento de los fonones térmicos es similar al gas de fotones producido por una cavidad electromagnética , en el que las paredes de la cavidad pueden emitir o absorber fotones. Esta similitud no es casual, pues resulta que el campo electromagnético se comporta como un conjunto de osciladores armónicos, dando lugar a la radiación de cuerpo negro . Ambos gases obedecen a la estadística de Bose-Einstein : en equilibrio térmico y dentro del régimen armónico, la probabilidad de encontrar fonones o fotones en un estado determinado con una frecuencia angular determinada es: ^[15]

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

donde ω _{k , s} es la frecuencia de los fonones (o fotones) en el estado, k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura.

Tunelización de fonones

Se ha demostrado que los fonones exhiben un comportamiento de túnel cuántico (o túnel de fonones ) donde, a través de espacios de hasta un nanómetro de ancho, el calor puede fluir a través de fonones que forman un "tunel" entre dos materiales. ^[16] Este tipo de transferencia de calor funciona entre distancias demasiado grandes para que ocurra la conducción pero demasiado pequeñas para que ocurra la radiación y, por lo tanto, no puede explicarse mediante los modelos clásicos de transferencia de calor . ^[dieciséis]

Formalismo del operador

El fonón hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

En términos de los operadores de creación y aniquilación , estos están dados por

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

Aquí, al expresar el hamiltoniano en el formalismo de operador, no hemos tenido en cuenta la1/2ħω _q término como, dado un continuo o red infinita , el1/2ħω _q términos se sumarán dando un término infinito . Debido a que la diferencia de energía es lo que medimos y no el valor absoluto de la misma, el término constante1/2ħω _q se puede ignorar sin cambiar las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto, la1/2_{El factor qω} está ausente en la expresión formalizada del operador para el hamiltoniano .

El estado fundamental, también llamado " estado de vacío ", es el estado compuesto sin fonones. Por tanto, la energía del estado fundamental es 0. Cuando un sistema está en el estado | n ₁ n ₂ n ₃ …⟩ , decimos que hay n _α fonones de tipo α , donde n _α es el número de ocupación de los fonones. La energía de un solo fonón de tipo α está dada por ħω _q y la energía total de un sistema de fonones general está dada por n ₁ ħω ₁  +  n ₂ ħω ₂  +.... Como no hay términos cruzados (por ejemplo, n ₁ (ħω ₂ ), se dice que los fonones no interactúan. La acción de los operadores de creación y aniquilación viene dada por:

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

y,

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

El operador de creación, un _α ^† crea un fonón de tipo α mientras que un _α lo aniquila. Por tanto, son respectivamente los operadores de creación y aniquilación de fonones. De manera análoga al caso del oscilador armónico cuántico , podemos definir el operador de número de partículas como

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

El operador numérico conmuta con una cadena de productos de los operadores de creación y aniquilación si y sólo si el número de operadores de creación es igual al número de operadores de aniquilación.

Se puede demostrar que los fonones son simétricos bajo intercambio (es decir, | α , β ⟩  =  | β , α ⟩ ), por lo que se consideran bosones . ^[17]

No linealidad

Además de los fotones , los fonones pueden interactuar mediante conversión descendente paramétrica ^[18] y formar estados coherentes comprimidos . ^[19]

Propiedades previstas

Investigaciones recientes han demostrado que los fonones y los rotones pueden tener una masa no despreciable y verse afectados por la gravedad al igual que las partículas estándar. ^[20] En particular, se predice que los fonones tendrán una especie de masa negativa y gravedad negativa. ^[21] Esto puede explicarse por cómo se sabe que los fonones viajan más rápido en materiales más densos. Debido a que la parte de un material que apunta hacia una fuente gravitacional está más cerca del objeto, se vuelve más denso en ese extremo. A partir de esto, se predice que los fonones se desviarían al detectar la diferencia de densidades, exhibiendo las cualidades de un campo gravitacional negativo. ^[22] Aunque el efecto sería demasiado pequeño para medirlo, es posible que los equipos futuros conduzcan a resultados exitosos.

Superconductividad

La superconductividad es un estado de la materia electrónica en el que la resistencia eléctrica desaparece y los campos magnéticos son expulsados ​​del material. En un superconductor, los electrones están unidos formando pares de Cooper mediante una fuerza de atracción débil. En un superconductor convencional, esta atracción es provocada por un intercambio de fonones entre los electrones. ^[23] La evidencia de que los fonones, las vibraciones de la red iónica, son relevantes para la superconductividad la proporciona el efecto isotópico , la dependencia de la temperatura crítica superconductora de la masa de los iones.

Otras investigaciones

En 2019, los investigadores pudieron aislar fonones individuales por primera vez sin destruirlos. ^[24]

También se ha demostrado que forman "vientos de fonones" donde se genera una corriente eléctrica en una superficie de grafeno mediante un flujo de líquido sobre ella debido a las fuerzas viscosas en la interfaz líquido-sólido. ^{[25] [26]}

Ver también

• Portal de física

• bosón
• dispersión de brillo
• Fractón
• Elasticidad lineal
• onda mecanica
• dispersión de fonones
• Dispersión del portador
• cristal fonónico
• onda de rayleigh
• Conducción de calor relativista
• Modos de unidad rígida
• SASER
• Segundo sonido
• Onda acústica superficial
• Fonón de superficie
• Conductividad térmica
• Vibración

Referencias

1. Schwabl, Franz (2008). Mecánica cuántica avanzada (4ª ed.). Saltador. pag. 253.ISBN _ 978-3-540-85062-5.
2. Girvin, Steven M.; Yang, Kun (2019). Física moderna de la materia condensada . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 78–96. ISBN 978-1-107-13739-4.
3. Simón, Steven H. (2013). Los conceptos básicos del estado sólido de Oxford (1ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 82.ISBN _ 978-0-19-968077-1.
4. Krauth, Werner (abril de 2006). Mecánica estadística: algoritmos y cálculos. Lugares de publicación internacionales: Oxford University Press. págs. 231-232. ISBN 978-0-19-851536-4.
5. Maradudin, A.; Montroll, E.; Weiss, G.; Ipatova, I. (1971). Teoría de la dinámica reticular en la aproximación armónica . Física del Estado Sólido. vol. Suplemento 3 (Segunda ed.). Nueva York: Academic Press.
6. Mattuck, R. (1976). Una guía para los diagramas de Feynman en el problema de muchos cuerpos . McGraw-Hill. ISBN 9780070409545.
7. Grillete, Alejandro; Walecka, John (16 de diciembre de 2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua . Libros de Dover sobre física. ISBN 978-0486432618.
8. Mahan, GD (1981). Física de muchas partículas . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-306-46338-9.
9. Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (2010). "Fig. 3.2: Curvas de dispersión de fonones en GaAs a lo largo de ejes de alta simetría". Fundamentos de Semiconductores . Propiedades de Física y Materiales (4ª ed.). Saltador. pag. 111.ISBN _ 978-3-642-00709-5.
10. Misra, Prasanta Kumar (2010). "§2.1.3 Modos normales de una cadena unidimensional con base". Física de la Materia Condensada . Prensa académica. pag. 44.ISBN _ 978-0-12-384954-0.
11. Ashcroft, Neil W.; Mermín, N. David (1976). Física del Estado Sólido . Publicaciones de Saunders College. págs. 780–783. ISBN 0-03-083993-9.
12. Mahan, Gerald (2010). Materia condensada en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14016-2.
13. Kittel, Charles (2004). Introducción a la Física del Estado Sólido , 8ª Edición . Wiley. págs.100. ISBN 978-0-471-41526-8.
14. "No metales: fonones térmicos". Biblioteca de paquetes de enseñanza y aprendizaje de la Universidad de Cambridge . Consultado el 15 de agosto de 2020 .
15. Patria; Beale (2011). Mecánica estadística (3 ed.). India: Elsevier. pag. 201.ISBN _ 978-93-80931-89-0.
16. "Túnel a través de un pequeño espacio". Noticias.mit.edu . 7 de abril de 2015 . Consultado el 13 de agosto de 2019 .
17. Feynman, Richard P. (1982). Mecánica estadística, una serie de conferencias. Lectura, MA: Benjamin-Cummings. pag. 159.ISBN _ 978-0-8053-2508-9.
18. Marquet, C.; Schmidt-Kaler, F.; James, DFV (2003). "Interacciones fonón-fonón debido a efectos no lineales en una trampa de iones lineal" (PDF) . Física Aplicada B. 76 (3): 199–208. arXiv : quant-ph/0211079 . Código bibliográfico : 2003ApPhB..76..199M. doi :10.1007/s00340-003-1097-7. S2CID  17019967.
19. Reiter, DE; Sauer, S.; Huneke, J.; Papenkort, T.; Kuhn, T.; Vagov, A.; Axt, VM (2009). "Generación de estados de fonones comprimidos mediante excitación óptica de un punto cuántico". Revista de Física: Serie de conferencias . Instituto de Física . 193 (1): 012121. Código bibliográfico : 2009JPhCS.193a2121R. doi : 10.1088/1742-6596/193/1/012121 .
20. Alberto Nicolis y Riccardo Penco. (2017). Interacciones mutuas de fonones, rotores y gravedad, Arxiv.org, obtenido el 27 de noviembre de 2018
21. Angelo Esposito, Rafael Krichevsky y Alberto Nicolis. (2018). La masa del sonido. Consultado el 11 de noviembre de 2018.
22. "Los investigadores sugieren que los fonones pueden tener masa y quizás gravedad negativa". Phys.org . Consultado el 13 de agosto de 2019 .
23. Tinkham, Michael (1996). Introducción a la superconductividad. Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 9.ISBN _ 0486435032.
24. "Detectando los sonidos más suaves del Universo". Naturaleza . 571 (7763): 8–9. 1 de julio de 2019. Bibcode : 2019Natur.571....8.. doi : 10.1038/d41586-019-02009-5 . S2CID  195774243 . Consultado el 13 de agosto de 2019 .
25. Lizée, Mathieu; Marcotte, Alicia; Coquinot, Bautista; Kavokine, Nikita; Sobnath, Karen; Barraud, Clément; Bhardwaj, Ankit; Radha, Boya; Niguès, Antoine; Bocquet, Lydéric; Siria, Alessandro (17 de febrero de 2023). "Fuertes vientos electrónicos que soplan bajo flujos de líquidos sobre superficies de carbono". Revisión física X. 13 (1): 011020. arXiv : 2205.05037 . Código Bib : 2023PhRvX..13a1020L. doi : 10.1103/PhysRevX.13.011020. S2CID  248665478.
26. Schirber, Michael (17 de febrero de 2023). "Revelado el secreto de las corrientes eléctricas inducidas por flujo". Física . 16 (1): 26. arXiv : 2205.05037 . Código Bib : 2023PhRvX..13a1020L. doi : 10.1103/PhysRevX.13.011020. S2CID  248665478.

enlaces externos

• Citas relacionadas con Phonon en Wikiquote
• Explicado: Fonones, MIT News, 2010.
• Modos ópticos y acústicos.
• Fonones en un cristal de microfluidos unidimensional [1] y [2] con películas en [3].