Partícula en un anillo

En mecánica cuántica , el caso de una partícula en un anillo unidimensional es similar al de la partícula en una caja . La ecuación de Schrödinger para una partícula libre que está restringida a un anillo (técnicamente, cuyo espacio de configuración es el círculo ) es ${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$

Función de onda

Función de onda animada de un estado "coherente" que consta de estados propios n=1 y n=2.

Usando coordenadas polares en el anillo unidimensional de radio R, la función de onda depende solo de la coordenada angular , por lo que ^[1]

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$

Requerir que la función de onda sea periódica con un período (de la demanda de que las funciones de onda sean funciones de un solo valor en el círculo ), y que estén normalizadas conduce a las condiciones ${\displaystyle \ \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,d\theta =1\ }$,

y

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$

En estas condiciones, la solución de la ecuación de Schrödinger viene dada por

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }}$

Valores propios de energía

Los valores propios de energía están cuantificados debido a las condiciones de contorno periódicas y deben satisfacer ${\displaystyle E}$

${\displaystyle e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}}$, o

${\displaystyle e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}}$

La función propia y las energías propias son

${\displaystyle \psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm in\theta }}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}}$dónde ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots }$

Por tanto, existen dos estados cuánticos degenerados para cada valor de (correspondiente a ). Por lo tanto, existen 2 n +1 estados con energías hasta una energía indexada por el número n . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \ e^{\pm in\theta }}$

El caso de una partícula en un anillo unidimensional es un ejemplo instructivo al estudiar la cuantificación del momento angular de, digamos, un electrón que orbita alrededor del núcleo . Las funciones de onda azimutales en este caso son idénticas a las funciones propias de energía de la partícula en un anillo.

La afirmación de que cualquier función de onda para la partícula en un anillo se puede escribir como una superposición de funciones propias de energía es exactamente idéntica al teorema de Fourier sobre el desarrollo de cualquier función periódica en una serie de Fourier .

Este modelo simple se puede utilizar para encontrar niveles de energía aproximados de algunas moléculas de anillo, como el benceno.

Solicitud

En química orgánica , los compuestos aromáticos contienen anillos atómicos, como los anillos de benceno (la estructura de Kekulé ) que constan de cinco o seis átomos, generalmente de carbono . Lo mismo ocurre con la superficie de las " buckyballs " (buckminsterfullereno). Este anillo se comporta como una guía de ondas circular , con los electrones de valencia orbitando en ambas direcciones. Para llenar todos los niveles de energía hasta n se necesitan electrones, ya que los electrones tienen además dos posibles orientaciones de sus espines. Esto confiere una estabilidad excepcional ("aromática"), y se conoce como regla de Hückel . ${\displaystyle 2\times (2n+1)=4n+2}$

Además, en espectroscopia rotacional, este modelo se puede utilizar como una aproximación de los niveles de energía rotacional.

Ver también

• Momento angular
• Análisis armónico
• Caso periódico unidimensional
• Pozo de potencial semicircular
• Pozo de potencial esférico

Referencias

1. Cox, calentador. Problemas y soluciones que acompañan a la química física: un enfoque molecular . Libros de ciencias universitarias. pag. 141.ISBN​ 978-0935702439.