Cádlàg

Función continua derecha con límites izquierdos

En matemáticas , una función càdlàg ( francés : continue à droite, limite à gauche ), RCLL ("derecha continua con límites izquierdos") o corlol ("continua a (la) derecha, límite a (la) izquierda") es una función definida en los números reales (o un subconjunto de ellos) que es continua por la derecha en todas partes y tiene límites por la izquierda en todas partes. Las funciones de Càdlàg son importantes en el estudio de procesos estocásticos que admiten (o incluso requieren) saltos, a diferencia del movimiento browniano , que tiene trayectorias de muestra continuas. La colección de funciones càdlàg en un dominio determinado se conoce como espacio Skorokhod .

Dos términos relacionados son càglàd , que significa " continuar à gauche, limite à droite ", la inversión izquierda-derecha de càdlàg, y càllàl para " continuar à l'un, limite à l'autre " (continuo en un lado, límite en el otro lado), para una función que en cada punto del dominio es càdlàg o càglàd.

Definición

Las funciones de distribución acumulativa son ejemplos de funciones càdlàg.

Ejemplo de una función de distribución acumulativa con un conjunto infinitamente numerable de discontinuidades

Sea un espacio métrico y sea . Una función se llama función càdlàg si, para cada , ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\to M}$ ${\displaystyle t\in E}$

• el límite izquierdo existe; y ${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$
• el límite derecho existe y es igual . ${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$

Es decir, es continuo por la derecha con límites por la izquierda. ${\displaystyle f}$

Ejemplos

• Todas las funciones continuas en un subconjunto de números reales son funciones càdlàg en ese subconjunto.
• Como consecuencia de su definición, todas las funciones de distribución acumulativa son funciones càdlàg. Por ejemplo, el acumulado en el punto corresponde a la probabilidad de ser menor o igual que , es decir , . En otras palabras, el intervalo semiabierto de interés para una distribución de dos colas está cerrado a la derecha. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]}$ ${\displaystyle (-\infty ,r]}$
• La derivada derecha de cualquier función convexa definida en un intervalo abierto es una función cadlag creciente. ${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$ ${\displaystyle f}$

Espacio Skorokhod

El conjunto de todas las funciones càdlàg desde hasta a menudo se denota por (o simplemente ) y se llama espacio Skorokhod en honor al matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod . Al espacio de Skorokhod se le puede asignar una topología que, intuitivamente, nos permite "mover un poco el espacio y el tiempo" (mientras que la topología tradicional de convergencia uniforme sólo nos permite "mover un poco el espacio"). ^[1] Para simplificar, tome y - consulte Billingsley ^[2] para una construcción más general. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle E=[0,T]}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$

Primero debemos definir un análogo del módulo de continuidad , . Para cualquiera , establezca ${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )}$ ${\displaystyle F\subseteq E}$

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

y, para , defina el módulo càdlàg como ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

donde el mínimo recorre todas las particiones , con . Esta definición tiene sentido para funciones no-càdlàg (al igual que el módulo de continuidad habitual tiene sentido para funciones discontinuas) y se puede demostrar que es càdlàg si y sólo si . ${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}$ ${\displaystyle \min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$

Ahora denotemos el conjunto de todas las biyecciones continuas y estrictamente crecientes desde hacia sí mismo (estos son "movimientos en el tiempo"). Dejar ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

denotamos la norma uniforme sobre funciones en . Defina la métrica de Skorokhod por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}$

¿Dónde está la función identidad? En términos de la intuición del "meneo", mide el tamaño del "meneo en el tiempo" y mide el tamaño del "meneo en el espacio". ${\displaystyle I:E\to E}$ ${\displaystyle \|\lambda -I\|}$ ${\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|}$

Se puede demostrar que la métrica de Skorokhod es de hecho una métrica. La topología generada por se llama topología Skorokhod en . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Una métrica equivalente,

${\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|f-g\circ \lambda \|),}$

se introdujo de forma independiente y se utilizó en la teoría de control para el análisis de sistemas de conmutación. ^[3]

Propiedades del espacio Skorokhod

Generalización de la topología uniforme.

El espacio de funciones continuas en es un subespacio de . La topología de Skorokhod relativizada coincide con la topología uniforme allí. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle C}$

Lo completo

Se puede demostrar que, si bien no es un espacio completo respecto a la métrica de Skorokhod , existe una métrica topológicamente equivalente respecto a la cual sí está completa. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Posibilidad de separación

Con respecto a cualquiera o , es un espacio separable . Por tanto, el espacio Skorokhod es un espacio polaco . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Estanqueidad en el espacio Skorokhod

Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia de medidas de probabilidad en el espacio de Skorokhod es ajustada si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}$

y

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}$

Estructura algebraica y topológica.

Según la topología de Skorokhod y la suma puntual de funciones, no es un grupo topológico, como puede verse en el siguiente ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Sea un intervalo medio abierto y supongamos una secuencia de funciones características. A pesar de que en la topología de Skorokhod la secuencia no converge a 0. ${\displaystyle E=[0,2)}$ ${\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}$ ${\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}$

Ver también

• Espacio salchicha clásica

Referencias

1. "Espacio Skorokhod - Enciclopedia de Matemáticas".
2. Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.
3. Georgiou, TT y Smith, MC (2000). "Robustez de un oscilador de relajación". Revista internacional de control robusto y no lineal . 10 (11-12): 1005-1024. doi :10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.

Otras lecturas

• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y Medida . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patricio (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.