Doble norma

Medición en un espacio vectorial normalizado

En el análisis funcional , la norma dual es una medida de tamaño para una función lineal continua definida en un espacio vectorial normado .

Definición

Sea un espacio vectorial normado con norma y sea su espacio dual continuo . La norma dual de un funcional lineal continuo perteneciente a es el número real no negativo definido ^[1] por cualquiera de las siguientes fórmulas equivalentes: donde y denotan el supremo y el ínfimo , respectivamente. La función constante es el origen del espacio vectorial y siempre tiene norma Si entonces la única función lineal en es la función constante y además, los conjuntos en las dos últimas filas estarán vacíos y, en consecuencia, sus supremos serán iguales en lugar del valor correcto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\|f\|&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|\leq 1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|<1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\inf &&\{\,c\in [0,\infty )&&~:~|f(x)|\leq c\|x\|~&&~{\text{ for all }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1{\text{ or }}0~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}\,{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}~&&~:~x\neq 0&&~{\text{ and }}~&&x\in X{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|0\|=0.}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$ ${\displaystyle 0.}$

Es importante destacar que, en general, no se garantiza que una función lineal alcance su norma en la esfera unitaria cerrada, lo que significa que podría no existir ningún vector de norma tal que (si tal vector existe y si entonces necesariamente tendría norma unitaria ). RC James demostró el teorema de James en 1964, que establece que un espacio de Banach es reflexivo si y solo si cada función lineal acotada alcanza su norma en la esfera unitaria cerrada. ^[2] De ello se deduce, en particular, que cada espacio de Banach no reflexivo tiene algún funcional lineal acotado que no alcanza su norma en la esfera unitaria cerrada. Sin embargo, el teorema de Bishop-Phelps garantiza que el conjunto de funcionales lineales acotados que alcanzan su norma en la esfera unitaria de un espacio de Banach es un subconjunto denso en normas del espacio dual continuo . ^{[3] [4]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|=\sup\{|fx|:\|x\|\leq 1,x\in X\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|f\|=|fu|}$ ${\displaystyle f\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X^{*}}$

La función define una norma en (ver los teoremas 1 y 2 a continuación). La norma dual es un caso especial de la norma del operador definida para cada función lineal (acotada) entre espacios vectoriales normados. Dado que el cuerpo fundamental de ( o ) es completo , es un espacio de Banach . La topología en inducida por resulta ser más fuerte que la topología débil-* en ${\displaystyle f\mapsto \|f\|}$ ${\displaystyle X^{*}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{*}.}$

El doble dual de un espacio lineal normado

El doble dual (o segundo dual) de es el dual del espacio vectorial normado . Existe una función natural . De hecho, para cada uno en define ${\displaystyle X^{**}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \varphi :X\to X^{**}}$ ${\displaystyle w^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ $${\displaystyle \varphi (v)(w^{*}):=w^{*}(v).}$$

El mapa es lineal , inyectivo y preservador de la distancia . ^[5] En particular, si es completo (es decir, un espacio de Banach), entonces es una isometría sobre un subespacio cerrado de . ^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X^{**}}$

En general, la función no es sobreyectiva. Por ejemplo, si es el espacio de Banach que consiste en funciones acotadas en la recta real con la norma suprema, entonces la función no es sobreyectiva. (Véase espacio ). Si es sobreyectiva, entonces se dice que es un espacio de Banach reflexivo . Si entonces el espacio es un espacio de Banach reflexivo. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Ejemplos

Norma dual para matrices

ElLa norma de Frobenius definida por es autodual, es decir, su norma dual es $${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} (A^{*}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.}$

Elnorma espectral , un caso especial de la norma inducida cuando, se define por losvalores singularesde una matriz, es decir, tiene como norma dual la norma nuclear, que se define por para cualquier matrizdondedenotan los valores singulares^{[ cita requerida ]}. ${\displaystyle p=2}$ $${\displaystyle \|A\|_{2}=\sigma _{\max }(A),}$$ $${\displaystyle \|B\|'_{2}=\sum _{i}\sigma _{i}(B),}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(B)}$

Si la norma de Schatten en matrices es dual a la norma de Schatten. ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$

Espacios de dimensión finita

Sea una norma en La norma dual asociada , denotada se define como ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{*},}$ $${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{z^{\intercal }x:\|x\|\leq 1\}.}$$

(Esto puede demostrarse que es una norma.) La norma dual puede interpretarse como la norma del operador de interpretada como una matriz, con la norma en , y el valor absoluto en : ${\displaystyle z^{\intercal },}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{|z^{\intercal }x|:\|x\|\leq 1\}.}$$

De la definición de norma dual tenemos la desigualdad que se cumple para todos y ^[7] El dual de la norma dual es la norma original: tenemos para todos (Esto no necesita cumplirse en espacios vectoriales de dimensión infinita). $${\displaystyle z^{\intercal }x=\|x\|\left(z^{\intercal }{\frac {x}{\|x\|}}\right)\leq \|x\|\|z\|_{*}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle \|x\|_{**}=\|x\|}$ ${\displaystyle x.}$

El dual de la norma euclidiana es la norma euclidiana, ya que $${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{2}\leq 1\}=\|z\|_{2}.}$$

(Esto se desprende de la desigualdad de Cauchy-Schwarz ; para un valor distinto de cero, el valor de que maximiza es ) ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z^{\intercal }x}$ ${\displaystyle \|x\|_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\|z\|_{2}}}.}$

El dual de la -norma es la -norma: y el dual de la -norma es la -norma. ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ $${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{\infty }\leq 1\}=\sum _{i=1}^{n}|z_{i}|=\|z\|_{1},}$$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

De manera más general, la desigualdad de Hölder muestra que el dual de la -norma es la -norma, donde satisface , es decir, ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}.}$

Como otro ejemplo, considere la norma - o espectral en . La norma dual asociada es que resulta ser la suma de los valores singulares, donde Esta norma a veces se denomina ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}}$ $${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sup\{\mathbf {tr} (Z^{\intercal }X):\|X\|_{2}\leq 1\},}$$ $${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sigma _{1}(Z)+\cdots +\sigma _{r}(Z)=\mathbf {tr} ({\sqrt {Z^{\intercal }Z}}),}$$ ${\displaystyle r=\mathbf {rank} Z.}$norma nuclear .^[8]

L py ℓpagespacios

Para la p -norma (también llamada -norma) del vector es ${\displaystyle p\in [1,\infty ],}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}~:=~\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

Si se satisfacen entonces las normas y son duales entre sí y lo mismo es cierto para las normas y , donde es algún espacio de medida . En particular, la norma euclidiana es autodual ya que Para , la norma dual es con definida positiva. ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ ${\displaystyle p=q=2.}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{\mathrm {T} }Qx}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {y^{\mathrm {T} }Q^{-1}y}}}$ ${\displaystyle Q}$

Para la norma - se induce incluso mediante un producto interno canónico , lo que significa que para todos los vectores, este producto interno se puede expresar en términos de la norma utilizando la identidad de polarización . En esto se encuentra la ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$Producto interno euclidiano definido por mientras que para el espacioasociado con unespacio de medidaque consta de todaslas funciones integrables al cuadrado, este producto interno es Las normas de los espacios duales continuos deysatisfacen laidentidad de polarización, y por lo tanto estas normas duales se pueden usar para definir productos internos. Con este producto interno, este espacio dual es también unespacio de Hilbert. $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}x_{n}{\overline {y_{n}}}}$$ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Propiedades

Dados espacios vectoriales normados y sea ^[9] la colección de todas las aplicaciones lineales acotadas (u operadores ) de en Entonces se puede dar una norma canónica. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$

Teorema 1  —  Sean y espacios normados. Asignando a cada operador lineal continuo el escalar se define una norma en que se convierte en un espacio normado. Además, si es un espacio de Banach entonces también lo es ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in L(X,Y)}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup\{\|f(x)\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|~:~L(X,Y)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y).}$

¿Cuándo es un campo escalar (es decir o ) de modo que sea el espacio dual de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema 2  —  Sea un espacio normado y para cada ser donde por definición es un escalar. Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ $${\displaystyle \left\|x^{*}\right\|~:=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x\in X{\text{ with }}\|x\|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle \langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)}$

1. ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R} }$es una norma que crea un espacio de Banach. ^[13] ${\displaystyle X^{*}}$
2. Si es la bola unitaria cerrada de entonces para cada En consecuencia, es una función lineal acotada en con norma ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|x\|~&=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x^{*}\in B^{*}\right\}\\&=~\sup \left\{\left|x^{*}(x)\right|~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1{\text{ with }}x^{*}\in X^{*}\right\}.\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|x^{*}\|~=~\|x\|.}$
3. ${\displaystyle B^{*}}$es débil*-compacto.

Como es habitual, denotemos la métrica canónica inducida por la norma en y denotemos la distancia desde un punto al subconjunto por Si es un funcional lineal acotado en un espacio normado entonces para cada vector ^[17] donde denota el núcleo de ${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle d(x,S)~:=~\inf _{s\in S}d(x,s)~=~\inf _{s\in S}\|x-s\|.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle |f(x)|=\|f\|\,d(x,\ker f),}$$ ${\displaystyle \ker f=\{k\in X:f(k)=0\}}$ ${\displaystyle f.}$

Véase también

• Conjugado convexo  – Generalización de la transformación de Legendre
• Desigualdad de Hölder  – Desigualdad entre integrales en espacios Lp
• Espacio Lp  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita
• Norma del operador  : medida del "tamaño" de los operadores lineales
• Identidad de polarización  : fórmula que relaciona la norma y el producto interno en un espacio de producto interno

Notas

1. Rudin 1991, pág. 87
2. Diestel 1984, pág. 6.
3. Bishop, Errett ; Phelps, RR (1961). "Una prueba de que todo espacio de Banach es subreflexivo". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 67 : 97–98. doi : 10.1090/s0002-9904-1961-10514-4 . MR  0123174.
4. Lomonosov, Victor (2000). "Un contraejemplo del teorema de Bishop-Phelps en espacios complejos". Revista israelí de matemáticas . 115 : 25–28. doi :10.1007/bf02810578. MR  1749671. S2CID  53646715.
5. Rudin 1991, sección 4.5, pág. 95
6. Rudin 1991, pág. 95
7. Esta desigualdad es estricta, en el siguiente sentido: para cualquier hay un para el cual la desigualdad se cumple con igualdad. (De manera similar, para cualquier hay un que da igualdad.) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$
8. Boyd y Vandenberghe 2004, pág. 637
9. Cada uno es un espacio vectorial , con las definiciones habituales de suma y multiplicación escalar de funciones; esto solo depende de la estructura del espacio vectorial de , no de . ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
10. Rudin 1991, pág. 92
11. Rudin 1991, pág. 93
12. Rudin 1991, pág. 93
13. Aliprantis y Frontera 2006, pag. 230
14. Rudin 1991, Corolario del teorema 3.3, pág. 59
15. Rudin 1991, Teorema 3.15 El algoritmo del teorema de Banach-Alaoglu , pág. 68
16. Rudin 1991, pág. 94
17. Hashimoto, Nakamura y Oharu 1986, pág. 281.

Referencias

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer. ISBN 9783540326960.
• Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa . Cambridge University Press . ISBN 9780521833783.
• Diestel, Joe (1984). Sucesiones y series en espacios de Banach . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5.OCLC 9556781  .
• Hashimoto, Kazuo; Nakamura, Gen; Oharu, Shinnosuke (1986-01-01). "Lema de Riesz y ortogonalidad en espacios normados" (PDF) . Hiroshima Mathematical Journal . 16 (2). Universidad de Hiroshima - Departamento de Matemáticas. doi :10.32917/hmj/1206130429. ISSN  0018-2079.
• Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1957). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, volumen 1: espacios métricos y normados . Rochester: Graylock Press.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .

Enlaces externos

• Notas sobre el mapeo proximal de Lieven Vandenberge