Identidad de polarización

Fórmula que relaciona la norma y el producto interno en un espacio de producto interno

Vectores involucrados en la identidad de polarización ${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$

En álgebra lineal , una rama de las matemáticas , la identidad de polarización es una de las fórmulas que expresan el producto interno de dos vectores en términos de la norma de un espacio vectorial normado . Si una norma surge de un producto interno, entonces la identidad de polarización puede utilizarse para expresar este producto interno completamente en términos de la norma. La identidad de polarización muestra que una norma puede surgir de, como máximo, un producto interno; sin embargo, existen normas que no surgen de ningún producto interno.

La norma asociada con cualquier espacio de producto interno satisface la ley del paralelogramo : De hecho, como observó John von Neumann , ^[1] la ley del paralelogramo caracteriza aquellas normas que surgen de productos internos. Dado un espacio normado , la ley del paralelogramo se cumple si y solo si existe un producto interno en tal que para todo, en cuyo caso este producto interno está determinado de manera única por la norma a través de la identidad de polarización. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$ ${\displaystyle (H,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H,}$

Identidades de polarización

Cualquier producto interno en un espacio vectorial induce una norma por la ecuación Las identidades de polarización invierten esta relación, recuperando el producto interno a partir de la norma. Todo producto interno satisface: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

Resolviendo para se obtiene la fórmula Si el producto interno es real entonces y esta fórmula se convierte en una identidad de polarización para productos internos reales. ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle }$

Espacios vectoriales reales

Si el espacio vectorial está sobre los números reales entonces las identidades de polarización son: ^[4] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Estas diversas formas son todas equivalentes según la ley del paralelogramo : ^{[prueba 1]} $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

Esto implica además que la clase no es un espacio de Hilbert siempre que ⁠ ⁠ , ya que no se cumple la ley del paralelogramo. A modo de contraejemplo, considere y para dos subconjuntos disjuntos cualesquiera de dominio general y calcule la medida de ambos conjuntos bajo la ley del paralelogramo. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$ ${\displaystyle x=1_{A}}$ ${\displaystyle y=1_{B}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

Espacios vectoriales complejos

Para los espacios vectoriales sobre los números complejos , las fórmulas anteriores no son del todo correctas porque no describen la parte imaginaria del producto interno (complejo). Sin embargo, una expresión análoga garantiza que se conserven tanto las partes reales como las imaginarias. La parte compleja del producto interno depende de si es antilineal en el primer o el segundo argumento. La notación que se usa comúnmente en física se asumirá como antilineal en el primer argumento, mientras que la que se usa comúnmente en matemáticas se asumirá como antilineal en el segundo argumento. Están relacionadas por la fórmula: ${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$ $${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

La parte real de cualquier producto interno (sin importar qué argumento sea antilineal y sin importar si es real o complejo) es una función bilineal simétrica que para cualquier es siempre igual a: ^{[4] [prueba 1]} ${\displaystyle x,y\in H}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Siempre es un mapa simétrico , lo que significa que ^{[prueba 1]} y también satisface: ^{[prueba 1]} Por lo tanto, ⁠ ⁠ , que en lenguaje sencillo dice que para mover un factor de al otro argumento, se introduce un signo negativo. $${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ $${\displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$ ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$ ${\displaystyle i}$

A diferencia de su parte real, la parte imaginaria de un producto interno complejo depende de qué argumento sea antilineal.

Antilineal en el primer argumento

Las identidades de polarización para el producto interno que es antilineal en el primer argumento son ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

donde La penúltima igualdad es similar a la fórmula que expresa una función lineal en términos de su parte real: ${\displaystyle x,y\in H.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

Antilineal en el segundo argumento

Las identidades de polarización para el producto interno que es antilineal en el segundo argumento se deducen de la relación: Por lo tanto, para cualquier ^[4] ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$ ${\displaystyle x,y\in H,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

Esta expresión puede formularse simétricamente como: ^[5] $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

Resumen de ambos casos

Por lo tanto, si denota las partes reales e imaginarias del valor de algún producto interno en el punto de su dominio, entonces su parte imaginaria será: donde el escalar siempre se ubica en el mismo argumento en el que el producto interno es antilineal. ${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$ $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle i}$

Usando ⁠ ⁠ ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$ , la fórmula anterior para la parte imaginaria se convierte en: $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

Reconstruyendo el producto interior

En un espacio normado , si se cumple la ley del paralelogramo , entonces existe un producto interno único en tal que para todo ^{[4] [1]} ${\displaystyle (H,\|\cdot \|),}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\ \cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H.}$

Prueba

Aquí sólo daremos el caso real; la prueba para espacios vectoriales complejos es análoga.

Según las fórmulas anteriores, si la norma se describe mediante un producto interno (como esperamos), entonces debe satisfacer lo que puede servir como definición del candidato único para el papel de producto interno adecuado. De esta forma, la unicidad está garantizada. $${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Queda por demostrar que esta fórmula define efectivamente un producto interno y que este producto interno induce la norma. Explícitamente se demostrará lo siguiente: ${\displaystyle \|\cdot \|.}$

1. ${\displaystyle \langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in H}$
2. ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in H}$
3. ${\displaystyle \langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y,z\in H,}$
4. ${\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}\alpha \in \mathbb {R} }$

(Esta axiomatización omite la positividad , que está implícita en (1) y el hecho de que es una norma). ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Para las propiedades (1) y (2), sustituya: y ${\textstyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}.}$

Para la propiedad (3), es conveniente trabajar a la inversa. Queda por demostrar que o, equivalentemente, $${\displaystyle \|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}}$$ $${\displaystyle 2\left(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\right)-2\left(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}\right){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}.}$$

Ahora aplicamos la identidad del paralelogramo: Por lo tanto queda verificar: $${\displaystyle 2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}}$$ $${\displaystyle 2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}}$$ $${\displaystyle {\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{{}={}}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$ $${\displaystyle \|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$

Pero esta última afirmación se puede verificar restando las dos siguientes aplicaciones adicionales de la identidad del paralelogramo: $${\displaystyle \|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ $${\displaystyle \|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

Por lo tanto (3) es válido.

Se puede verificar por inducción que (3) implica (4), siempre que Pero "(4) cuando " implica "(4) cuando ". Y cualquier forma -bilineal , de valor real y definida positiva satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz , de modo que es continua. Por lo tanto, también debe ser -lineal. ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otra condición necesaria y suficiente para que exista un producto interno que induzca una norma dada es que la norma satisfaga la desigualdad de Ptolomeo , que es: ^[6] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

Aplicaciones y consecuencias

Si es un espacio de Hilbert complejo entonces es real si y solo si su parte imaginaria es ⁠ ⁠ , lo que sucede si y solo si ⁠ ⁠ . De manera similar, es (puramente) imaginario si y solo si ⁠ ⁠ . Por ejemplo, de ello se puede concluir que es real y que es puramente imaginario. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle 0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\Vert x+iy\Vert ^{2}-\Vert x-iy\Vert ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \Vert x+iy\Vert =\Vert x-iy\Vert }$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \Vert x+y\Vert =\Vert x-y\Vert }$ ${\displaystyle \|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|}$ ${\displaystyle \langle x|x\rangle }$ ${\displaystyle \langle x|ix\rangle }$

Isometrías

Si es una isometría lineal entre dos espacios de Hilbert (por lo tanto para todo ), entonces es decir, las isometrías lineales preservan los productos internos. ${\displaystyle A:H\to Z}$ ${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$ ${\displaystyle h\in H}$ $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;}$$

Si en cambio es una isometría antilineal entonces ${\displaystyle A:H\to Z}$ $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.}$$

Relación con la ley de los cosenos

La segunda forma de la identidad de polarización se puede escribir como $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Esta es esencialmente una forma vectorial de la ley de los cosenos para el triángulo formado por los vectores ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}}$ . En particular, donde es el ángulo entre los vectores y ⁠ ⁠ . $${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}}$

La ecuación es numéricamente inestable si u y v son similares debido a la cancelación catastrófica y debe evitarse para el cálculo numérico.

Derivación

La relación básica entre la norma y el producto escalar viene dada por la ecuación $${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.}$$

Luego y de manera similar $${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Las formas (1) y (2) de la identidad de polarización se obtienen ahora al resolver estas ecuaciones para ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}}$ , mientras que la forma (3) se obtiene al restar estas dos ecuaciones. (Al sumar estas dos ecuaciones se obtiene la ley del paralelogramo).

Generalizaciones

Formas bilineales simétricas

Las identidades de polarización no se limitan a los productos internos. Si es cualquier forma bilineal simétrica en un espacio vectorial, y es la forma cuadrática definida por entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$$

El llamado mapa de simetrización generaliza la última fórmula, reemplazándola por un polinomio homogéneo de grado definido por donde es un mapa simétrico -lineal. ^[7] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Las fórmulas anteriores se aplican incluso en el caso en que el campo de escalares tiene característica dos, aunque en este caso los lados izquierdos son todos cero. En consecuencia, en característica dos no hay fórmula para una forma bilineal simétrica en términos de una forma cuadrática, y de hecho son nociones distintas, un hecho que tiene consecuencias importantes en la teoría L ; para abreviar, en este contexto las "formas bilineales simétricas" a menudo se denominan "formas simétricas".

Estas fórmulas también se aplican a las formas bilineales sobre módulos en un anillo conmutativo , aunque nuevamente solo se puede resolver si 2 es invertible en el anillo y, de lo contrario, se trata de nociones distintas. Por ejemplo, sobre los números enteros, se distinguen las formas cuadráticas integrales de las formas simétricas integrales , que son una noción más restringida. ${\displaystyle B(u,v)}$

En términos más generales, en presencia de una involución de anillo o cuando 2 no es invertible, se distinguen formas -cuadráticas y formas -simétricas ; una forma simétrica define una forma cuadrática, y la identidad de polarización (sin un factor de 2) de una forma cuadrática a una forma simétrica se denomina " mapa de simetrización ", y no es en general un isomorfismo. Esta ha sido históricamente una distinción sutil: en el caso de los números enteros, no fue hasta la década de 1950 que se entendió la relación entre "dos fuera" ( forma cuadrática integral ) y "dos dentro" ( forma simétrica integral ) - véase la discusión en forma cuadrática integral ; y en la algebrización de la teoría de la cirugía , Mishchenko utilizó originalmente grupos L simétricos , en lugar de los grupos L cuadráticos correctos (como en Wall y Ranicki) - véase la discusión en Teoría L . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Polinomios homogéneos de grado superior

Finalmente, en cualquiera de estos contextos estas identidades pueden extenderse a polinomios homogéneos (es decir, formas algebraicas ) de grado arbitrario , donde se conoce como fórmula de polarización , y se revisa con mayor detalle en el artículo sobre la polarización de una forma algebraica .

Véase también

• Espacio de producto interno  : generalización del producto escalar; se utiliza para definir espacios de Hilbert
• Ley de los cosenos  : propiedad de todos los triángulos en el plano euclidiano
• Teorema de Mazur-Ulam  : las isometrías sobreyectivas son aplicaciones afines
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normalizado
• Ley del paralelogramo  : la suma de los cuadrados de los 4 lados de un paralelogramo es igual a la de las 2 diagonales.
• Desigualdad de Ptolomeo  : desigualdad que relaciona las seis distancias entre cuatro puntos en un planoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas y referencias

1. Lax 2002, pág. 53.
2. Philippe Blanchard , Erwin Brüning (2003). "Proposición 14.1.2 (Fréchet – von Neumann – Jordan)". Métodos matemáticos en física: distribuciones, operadores espaciales de Hilbert y métodos variacionales . Birkhäuser. pag. 192.ISBN​ 0817642285.
3. Gerald Teschl (2009). "Teorema 0.19 (Jordan–von Neumann)". Métodos matemáticos en mecánica cuántica: con aplicaciones a los operadores de Schrödinger. Librería de la American Mathematical Society. pág. 19. ISBN 978-0-8218-4660-5.
4. Schechter 1996, págs. 601–603.
5. Butler, Jon (20 de junio de 2013). "Norma - ¿Derivación de las identidades de polarización?". Mathematics Stack Exchange . Archivado desde el original el 14 de octubre de 2020. Consultado el 14 de octubre de 2020 .Vea la respuesta de Harald Hanche-Olson.
6. Apostol, Tom M. (1967). "La desigualdad de Ptolomeo y la métrica cordal". Revista de matemáticas . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.
7. Butler 2013. Véase la respuesta de Keith Conrad (KCd).

1. Una prueba se puede encontrar aquí.

Bibliografía

• Lax, Peter D. (2002). Análisis funcional (PDF) . Matemáticas puras y aplicadas. Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Consultado el 22 de julio de 2020 .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .