La desigualdad de Ptolomeo

Cuatro puntos y sus seis distancias. Los puntos no son cocirculares, por lo que la desigualdad de Ptolomeo es estricta para estos puntos.

En geometría euclidiana , la desigualdad de Ptolomeo relaciona las seis distancias determinadas por cuatro puntos en el plano o en un espacio de dimensiones superiores. Establece que, para cualesquiera cuatro puntos A , B , C y D , se cumple la siguiente desigualdad :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

Debe su nombre al astrónomo y matemático griego Ptolomeo .

Los cuatro puntos pueden ordenarse de tres maneras distintas (considerando las inversiones como no distintas) para formar tres cuadriláteros diferentes , para cada uno de los cuales la suma de los productos de los lados opuestos es al menos tan grande como el producto de las diagonales. Por lo tanto, los tres términos del producto en la desigualdad pueden permutarse de manera aditiva para colocar a cualquiera de ellos en el lado derecho de la desigualdad, por lo que los tres productos de los lados opuestos o de las diagonales de cualquiera de los cuadriláteros deben obedecer la desigualdad triangular . ^[1]

Como caso especial, el teorema de Ptolomeo establece que la desigualdad se convierte en igualdad cuando los cuatro puntos se encuentran en orden cíclico en un círculo . El otro caso de igualdad ocurre cuando los cuatro puntos son colineales en orden. La desigualdad no se generaliza de los espacios euclidianos a espacios métricos arbitrarios . Los espacios en los que sigue siendo válida se denominan espacios ptolemaicos ; incluyen los espacios de producto interno , los espacios de Hadamard y las distancias de camino más cortas en los grafos ptolemaicos .

Supuestos y derivación

La desigualdad de Ptolomeo se enuncia a menudo para un caso especial, en el que los cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero convexo , dado en orden cíclico. ^{[2] [3]} Sin embargo, el teorema se aplica de forma más general a cuatro puntos cualesquiera; no se requiere que el cuadrilátero que forman sea convexo, simple o incluso plano.

Para los puntos en el plano, la desigualdad de Ptolomeo se puede derivar de la desigualdad del triángulo mediante una inversión centrada en uno de los cuatro puntos. ^{[4] [5]} Alternativamente, se puede derivar interpretando los cuatro puntos como números complejos , utilizando la identidad de números complejos:

${\displaystyle (A-B)(C-D)+(A-D)(B-C)=(A-C)(B-D)}$

construir un triángulo cuyos lados sean los productos de los lados del cuadrilátero dado, y aplicar la desigualdad del triángulo a este triángulo. ^[6] También se pueden considerar los puntos como pertenecientes a la línea proyectiva compleja , expresar la desigualdad en la forma de que los valores absolutos de dos razones cruzadas de los puntos suman al menos uno, y deducir esto del hecho de que las razones cruzadas mismas suman exactamente uno. ^[7]

Una prueba de la desigualdad para puntos en el espacio tridimensional puede reducirse al caso planar, observando que para cualquier cuadrilátero no planar, es posible rotar uno de los puntos alrededor de la diagonal hasta que el cuadrilátero se vuelva planar, aumentando la longitud de la otra diagonal y manteniendo constantes las otras cinco distancias. ^[6] En espacios de dimensión mayor que tres, cualesquiera cuatro puntos se encuentran en un subespacio tridimensional, y se puede utilizar la misma prueba tridimensional.

Cuatro puntos concíclicos

Para cuatro puntos en orden alrededor de un círculo , la desigualdad de Ptolomeo se convierte en una igualdad, conocida como teorema de Ptolomeo :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

En la prueba basada en la inversión de la desigualdad de Ptolomeo, la transformación de cuatro puntos cocirculares mediante una inversión centrada en uno de ellos hace que los otros tres se vuelvan colineales, por lo que la igualdad triangular para estos tres puntos (de donde se puede derivar la desigualdad de Ptolomeo) también se convierte en una igualdad. ^[5] Para cualesquiera otros cuatro puntos, la desigualdad de Ptolomeo es estricta.

En tres dimensiones

Cuatro puntos no coplanares A , B , C y D en 3D forman un tetraedro. En este caso, se cumple la desigualdad estricta: . ^[8] ${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}>{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

En espacios métricos generales

Un gráfico de ciclo en el que las distancias desobedecen la desigualdad de Ptolomeo

La desigualdad de Ptolomeo se cumple de manera más general en cualquier espacio de producto interno , ^{[1] [9]} y siempre que sea verdadera para un espacio vectorial normado real , ese espacio debe ser un espacio de producto interno. ^{[9] [10]}

Para otros tipos de espacio métrico , la desigualdad puede ser válida o no. Un espacio en el que se cumple se llama ptolemaico . Por ejemplo, considere el gráfico de ciclo de cuatro vértices , que se muestra en la figura, con todas las longitudes de las aristas iguales a 1. La suma de los productos de los lados opuestos es 2. Sin embargo, los vértices diagonalmente opuestos están a una distancia de 2 entre sí, por lo que el producto de las diagonales es 4, mayor que la suma de los productos de los lados. Por lo tanto, las distancias de camino más cortas en este gráfico no son ptolemaicas. Los gráficos en los que las distancias obedecen a la desigualdad de Ptolomeo se denominan grafos ptolemaicos y tienen una estructura restringida en comparación con los grafos arbitrarios; en particular, no permiten ciclos inducidos de longitud mayor que tres, como el que se muestra. ^[11]

Los espacios ptolemaicos incluyen todos los espacios CAT(0) y en particular todos los espacios de Hadamard . Si una variedad riemanniana completa es ptolemaica, es necesariamente un espacio de Hadamard. ^[12]

Espacios interiores de productos

Supongamos que es una norma en un espacio vectorial Entonces esta norma satisface la desigualdad de Ptolomeo: si y sólo si existe un producto interno en tal que para todos los vectores ^[13] Otra condición necesaria y suficiente para que exista tal producto interno es que la norma satisfaga la ley del paralelogramo : Si este es el caso, entonces este producto interno será único y puede definirse en términos de la norma utilizando la identidad de polarización . ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in X.}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

Véase también

• Matemáticas griegas  – Matemáticas de los antiguos griegos
• Ley del paralelogramo  : la suma de los cuadrados de los 4 lados de un paralelogramo es igual a la de las 2 diagonales.
• Identidad de polarización  : fórmula que relaciona la norma y el producto interno en un espacio de producto interno
• Ptolomeo  – astrónomo y geógrafo romano (c. 100–170)
• Tabla de acordes de Ptolomeo  – Tabla trigonométrica del siglo II d. C.
• Teorema de Ptolomeo  : Relaciona los 4 lados y 2 diagonales de un cuadrilátero con vértices en un círculo común.

Referencias

1. Schoenberg, IJ (1940), "Sobre arcos métricos de curvatura de Menger evanescente", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 41 (4): 715–726, doi :10.2307/1968849, JSTOR  1968849, MR  0002903.
2. Steele, J. Michael (2004), "Ejercicio 4.6 (La desigualdad de Ptolomeo)", La clase magistral de Cauchy-Schwarz: Introducción al arte de las desigualdades matemáticas , MAA problem books, Cambridge University Press, pág. 69, ISBN 9780521546775.
3. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), "6.1 La desigualdad de Ptolomeo", Cuando menos es más: visualización de desigualdades básicas , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 36, Mathematical Association of America, págs. 82-83, ISBN 9780883853429.
4. Apostol (1967) atribuye la prueba basada en la inversión a los libros de texto de RA Johnson (1929) y Howard Eves (1963).
5. Stankova, Zvezdelina ; Rike, Tom, eds. (2008), "Problema 7 (La desigualdad de Ptolomeo)", Una década del Círculo de Matemáticas de Berkeley: La experiencia estadounidense , Biblioteca de Círculos Matemáticos MSRI, vol. 1, Sociedad Matemática Estadounidense, p. 18, ISBN 9780821846834.
6. el Apóstol 1967.
7. Silvester, John R. (2001), "Proposición 9.10 (Teorema de Ptolomeo)", Geometría: antigua y moderna , Oxford University Press, pág. 229, ISBN 9780198508250.
8. Zhu, Hanlin (1984). "68.25 Una desigualdad tetraédrica". The Mathematical Gazette . 68 (445): 200–202. doi :10.2307/3616345. ISSN  0025-5572. JSTOR  3616345.
9. Giles, JR (2000), "Ejercicio 12", Introducción al análisis de espacios lineales normados , serie de conferencias de la Australian Mathematical Society, vol. 13, Cambridge University Press, pág. 47, ISBN 9780521653756.
10. Schoenberg, IJ (1952), "Una observación sobre la caracterización de MM Day de los espacios de productos internos y una conjetura de LM Blumenthal", Actas de la American Mathematical Society , 3 (6): 961–964, doi :10.2307/2031742, JSTOR  2031742, MR  0052035.
11. Howorka, Edward (1981), "Una caracterización de los grafos ptolemaicos", Journal of Graph Theory , 5 (3): 323–331, doi :10.1002/jgt.3190050314, MR  0625074.
12. Buckley, SM; Falk, K.; Wraith, DJ (2009), "Espacios ptolemaicos y CAT(0)", Glasgow Mathematical Journal , 51 (2): 301–314, doi : 10.1017/S0017089509004984 , MR  2500753.
13. Apostol, Tom M. (1967). "La desigualdad de Ptolomeo y la métrica cordal". Revista de matemáticas . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275. MR  0225213.