Espacio Grothendieck

En matemáticas , un espacio de Grothendieck , llamado así por Alexander Grothendieck , es un espacio de Banach en el que cada secuencia en su espacio dual continuo que converge en la topología débil-* (también conocida como la topología de convergencia puntual ) también convergerá cuando está dotada de que es la topología débil inducida en por su bidual . Dicho de otra manera, un espacio de Grothendieck es un espacio de Banach para el cual una secuencia en su espacio dual converge débil-* si y solo si converge débilmente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right),}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Caracterizaciones

Sea un espacio de Banach. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio de Grothendieck,
2. para cada espacio de Banach separable , cada operador lineal acotado de a es débilmente compacto , es decir, la imagen de un subconjunto acotado de es un subconjunto débilmente compacto de ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
3. para cada espacio de Banach generado débilmente de forma compacta, cada operador lineal acotado de a es débilmente compacto . ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
4. Toda función débil*-continua en el dual es débilmente integrable según Riemann. ${\displaystyle X^{\prime }}$

Ejemplos

• Todo espacio de Banach reflexivo es un espacio de Grothendieck. A la inversa, es una consecuencia del teorema de Eberlein-Šmulian que un espacio de Grothendieck separable debe ser reflexivo, ya que la identidad de es débilmente compacta en este caso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Los espacios de Grothendieck que no son reflexivos incluyen el espacio de todas las funciones continuas en un espacio compacto de Stone y el espacio para una medida positiva (un espacio compacto de Stone es un espacio compacto de Hausdorff en el que el cierre de cada conjunto abierto es abierto). ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$
• Jean Bourgain demostró que el espacio de funciones holomorfas acotadas en el disco es un espacio de Grothendieck. ^[1] ${\displaystyle H^{\infty }}$

Véase también

• Propiedad de Dunford-Pettis

Referencias

1. J. Bourgain, es un espacio de Grothendieck, Studia Math. , 75 (1983), 193–216. ${\displaystyle H^{\infty }}$

• J. Diestel, Geometría de los espacios de Banach , Temas seleccionados, Springer, 1975.
• J. Diestel, JJ Uhl: Medidas vectoriales . Providence, RI: American Mathematical Society, 1977. ISBN  978-0-8218-1515-1 .
• Shaw, S.-Y. (2001) [1994], "Espacio de Grothendieck", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Khurana, Surjit Singh (1991). "Espacios de Grothendieck, II". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 159 (1). Elsevier BV: 202–207. doi : 10.1016/0022-247x(91)90230-w . ISSN  0022-247X.
• Nisar A. Lone, sobre la integrabilidad débil de Riemann de funciones débiles*-continuas. Revista mediterránea de matemáticas, 2017.