operador acotado

Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos.

En análisis funcional y teoría de operadores , un operador lineal acotado es una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS) y que asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de Si y son espacios vectoriales normados (un tipo especial de TVS), entonces está acotado si y sólo si existe algo tal que para todos ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$

operador normacontinuo ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|.}$

El concepto de operador lineal acotado se ha extendido desde espacios normados a todos los espacios vectoriales topológicos.

Fuera del análisis funcional, cuando una función se llama " acotada ", esto generalmente significa que su imagen es un subconjunto acotado de su codominio. Un mapa lineal tiene esta propiedad si y sólo si es idénticamente. En consecuencia, en el análisis funcional, cuando un operador lineal se llama "acotado", nunca se entiende en este sentido abstracto (de tener una imagen acotada). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0.}$

En espacios vectoriales normados

Todo operador acotado es Lipschitz continuo en ${\displaystyle 0.}$

Equivalencia de acotación y continuidad

Un operador lineal entre espacios normados está acotado si y sólo si es continuo .

Prueba

Supongamos que está acotado. Entonces, para todos los vectores con distinto de cero tenemos ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x,h\in X}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle \|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.}$$

Dejar ir a cero muestra que es continuo en Además, dado que la constante no depende de esto muestra que en realidad es uniformemente continuo , e incluso Lipschitz continuo . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle L}$

Por el contrario, de la continuidad en el vector cero se deduce que existe un tal que para todos los vectores con Por lo tanto, para todos los distintos de cero uno tiene ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}$ ${\displaystyle h\in X}$ ${\displaystyle \|h\|\leq \varepsilon .}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle \|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \epsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.}$$

Esto prueba que está acotado. QED ${\displaystyle L}$

En espacios vectoriales topológicos

Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos ( TVS) se llama operador lineal acotado o simplemente acotado si siempre que está acotado entonces está acotado en Un subconjunto de un TVS se llama acotado (o más precisamente, acotado de von Neumann ) si cada vecindad de el origen lo absorbe . En un espacio normado (e incluso en un espacio seminormado ), un subconjunto está acotado por von Neumann si y sólo si está acotado por normas. Por tanto, para espacios normados, la noción de conjunto acotado de von Neumann es idéntica a la noción habitual de subconjunto acotado por normas. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle Y.}$

Continuidad y limitación

Cada operador lineal secuencialmente continuo entre TVS es un operador acotado. ^[1] Esto implica que todo operador lineal continuo entre TVS metrizables está acotado. Sin embargo, en general, un operador lineal acotado entre dos TVS no tiene por qué ser continuo.

Esta formulación permite definir operadores acotados entre espacios vectoriales topológicos generales como un operador que lleva conjuntos acotados a conjuntos acotados. En este contexto, sigue siendo cierto que todo mapa continuo está acotado, pero lo contrario falla; un operador acotado no necesita ser continuo. Esto también significa que la limitación ya no es equivalente a la continuidad de Lipschitz en este contexto.

Si el dominio es un espacio bornológico (por ejemplo, un TVS pseudometrizable , un espacio de Fréchet , un espacio normado ), entonces un operador lineal en cualquier otro espacio localmente convexo está acotado si y solo si es continuo. Para espacios LF , se mantiene un inverso más débil; cualquier mapa lineal acotado de un espacio LF es secuencialmente continuo .

Si es un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos y si existe una vecindad del origen tal que sea un subconjunto acotado de entonces es continuo. ^[2] Este hecho a menudo se resume diciendo que un operador lineal que está acotado en alguna vecindad del origen es necesariamente continuo. En particular, cualquier funcional lineal que esté acotado en alguna vecindad del origen es continuo (incluso si su dominio no es un espacio normado ). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F}$

Espacios bornológicos

Los espacios bornológicos son exactamente aquellos espacios localmente convexos para los cuales cada operador lineal acotado en otro espacio localmente convexo es necesariamente continuo. Es decir, un TVS localmente convexo es un espacio bornológico si y sólo si para cada TVS localmente convexo un operador lineal es continuo si y sólo si está acotado. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$

Todo espacio normado es bornológico.

Caracterizaciones de operadores lineales acotados.

Sea un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (no necesariamente Hausdorff). Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$está (localmente) limitado; ^[3]
2. (Definición): asigna subconjuntos acotados de su dominio a subconjuntos acotados de su codominio; ^[3] ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle F}$asigna subconjuntos acotados de su dominio a subconjuntos acotados de su imagen ; ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}$
4. ${\displaystyle F}$asigna cada secuencia nula a una secuencia acotada; ^[3]
   • Una secuencia nula es, por definición, una secuencia que converge al origen.
   • Por tanto, cualquier aplicación lineal que sea secuencialmente continua en el origen es necesariamente una aplicación lineal acotada.
5. ${\displaystyle F}$asigna cada secuencia nula convergente de Mackey a un subconjunto acotado de ^{[nota 1]} ${\displaystyle Y.}$
   • Se dice que una secuencia es Mackey convergente al origen en si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que sea un subconjunto acotado de ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

si y son localmente convexos entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. ${\displaystyle F}$asigna discos acotados a discos acotados. ^[4]
7. ${\displaystyle F^{-1}}$asigna discos bornívoros en discos bornívoros en ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un espacio bornológico y es localmente convexo, entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continuo en algún (o equivalentemente, en cada) punto de su dominio. ^[5]
   • Un mapa lineal secuencialmente continuo entre dos TVS siempre está acotado, ^[1] pero lo contrario requiere suposiciones adicionales para mantenerse (como que el dominio sea bornológico y el codominio sea localmente convexo).
   • Si el dominio también es un espacio secuencial , entonces es secuencialmente continuo si y sólo si es continuo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
9. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continuo en el origen .

Ejemplos

• Cualquier operador lineal entre dos espacios normados de dimensión finita está acotado y dicho operador puede verse como una multiplicación por alguna matriz fija .
• Cualquier operador lineal definido en un espacio normado de dimensión finita está acotado.
• En el espacio secuencial de secuencias eventualmente nulas de números reales, consideradas con la norma, el operador lineal de los números reales que devuelve la suma de una secuencia está acotado, con el operador norma 1. Si el mismo espacio se considera con la norma, el El mismo operador no está acotado. ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Muchas transformaciones integrales son operadores lineales acotados. Por ejemplo, si
  $${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$
  es una función continua, entonces el operador definido en el espacio de funciones continuas está dotado de la norma uniforme y con valores en el espacio dado por la fórmula ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[c,d]}$ ${\displaystyle L}$
  $${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$
  está ligado. Este operador es en realidad un operador compacto . Los operadores compactos forman una clase importante de operadores acotados.
• El operador de Laplace
  $${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$
  (su dominio es un espacio de Sobolev y toma valores en un espacio de funciones integrables al cuadrado ) está acotado.
• El operador de desplazamiento en el espacio Lp de todas las secuencias de números reales con ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$
  $${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$
  está ligado. Se ve fácilmente que su norma de operador es ${\displaystyle 1.}$

Operadores lineales ilimitados

Sea el espacio de todos los polinomios trigonométricos con la norma. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ],}$

$${\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}$$

El operador que asigna un polinomio a su derivada no está acotado. De hecho, porque con tenemos mientras que así no está limitado. ${\displaystyle L:X\to X}$ ${\displaystyle v_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}$ ${\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty ,}$ ${\displaystyle L}$

Propiedades del espacio de operadores lineales acotados.

• El espacio de todos los operadores lineales acotados desde a se denota por y es un espacio vectorial normado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• Si es Banach, entonces también lo es ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y).}$
• de lo cual se deduce que los espacios duales son Banach.
• Para cualquiera, el núcleo de es un subespacio lineal cerrado de ${\displaystyle A\in B(X,Y),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es Banach y no es trivial, entonces es Banach. ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ver también

• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Contracción (teoría del operador)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapa lineal discontinuo
• Operador lineal continuo
• Limitación local
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Álgebra de operadores  - Rama del análisis funcional
• Norma del operador  – Medida del "tamaño" de los operadores lineales
• Teoría del operador  - Campo de estudio matemático
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad del triángulo y es absolutamente homogéneaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Operador ilimitado  : operador lineal definido en un subespacio lineal denso

Referencias

1. Prueba: Supongamos en aras de una contradicción que converge pero no está limitada en Elija una vecindad equilibrada abierta del origen de tal manera que no absorba la secuencia Reemplazando con una subsecuencia si es necesario, se puede suponer sin pérdida de generalidad que para cada entero positivo La secuencia es Mackey convergente al origen (ya que está acotada en ), por lo que, por suposición, está acotada en Entonces, elija un real tal que para cada número entero Si es un número entero, entonces desde está equilibrado, lo cual es una contradicción. QED Esta prueba se generaliza fácilmente para dar caracterizaciones aún más fuertes de " está acotado". Por ejemplo, la palabra "tal que es un subconjunto acotado de " en la definición de "Mackey convergente al origen" se puede reemplazar por "tal que en " ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle F\left(z_{i}\right)\in rV}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle i>r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

1. Wilansky 2013, págs. 47–50.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs.
4. Narici y Beckenstein 2011, pag. 444.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 451–457.

Bibliografía

• "Operador acotado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kreyszig, Erwin: Análisis funcional introductorio con aplicaciones , Wiley, 1989
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.