En el campo matemático del análisis funcional , el teorema de Eberlein-Šmulian (llamado así por William Frederick Eberlein y Witold Lwowitsch Schmulian ) es un resultado que relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach .
Teorema de Eberlein-Šmulian : [1] Si X es un espacio de Banach y A es un subconjunto de X , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Un conjunto A (en cualquier espacio topológico) puede ser compacto de tres maneras diferentes:
El teorema de Eberlein-Šmulian establece que los tres son equivalentes en una topología débil de un espacio de Banach. Si bien esta equivalencia es cierta en general para un espacio métrico , la topología débil no es metrizable en espacios vectoriales de dimensión infinita, por lo que se necesita el teorema de Eberlein-Šmulian.
El teorema de Eberlein-Šmulian es importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) , y particularmente en los espacios de Sobolev . Muchos espacios de Sobolev son espacios de Banach reflexivos y, por lo tanto, los subconjuntos acotados son débilmente precompactos según el teorema de Alaoglu . Por lo tanto, el teorema implica que los subconjuntos acotados son débilmente secuencialmente precompactos y, por lo tanto, de cada secuencia acotada de elementos de ese espacio es posible extraer una subsecuencia que sea débilmente convergente en el espacio. Dado que muchas EDP solo tienen soluciones en el sentido débil, este teorema es un paso importante para decidir qué espacios de soluciones débiles utilizar para resolver una EDP.