Espacio vectorial topológico

Espacio vectorial con noción de proximidad

En matemáticas , un espacio vectorial topológico (también llamado espacio topológico lineal y comúnmente abreviado TVS o tvs ) es una de las estructuras básicas investigadas en el análisis funcional . Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial que también es un espacio topológico con la propiedad de que las operaciones del espacio vectorial (suma vectorial y multiplicación escalar) también son funciones continuas . Tal topología se llama topología vectorial y cada espacio vectorial topológico tiene una estructura topológica uniforme , lo que permite una noción de convergencia uniforme y completitud . Algunos autores también requieren que el espacio sea un espacio de Hausdorff (aunque este artículo no lo hace). Una de las categorías más estudiadas de TVS son los espacios vectoriales topológicos localmente convexos . Este artículo se centra en los TVS que no son necesariamente localmente convexos. Otros ejemplos bien conocidos de TVS incluyen los espacios de Banach , los espacios de Hilbert y los espacios de Sobolev .

Muchos espacios vectoriales topológicos son espacios de funciones u operadores lineales que actúan sobre espacios vectoriales topológicos, y la topología a menudo se define de modo de capturar una noción particular de convergencia de secuencias de funciones.

En este artículo, se supondrá que el campo escalar de un espacio vectorial topológico está formado por números complejos o números reales, a menos que se indique claramente lo contrario. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Motivación

Espacios normados

Todo espacio vectorial normado tiene una estructura topológica natural : la norma induce una métrica y la métrica induce una topología. Este es un espacio vectorial topológico porque ^{[ cita requerida ]} :

1. La función de adición vectorial definida por es (conjuntamente) continua con respecto a esta topología. Esto se deduce directamente de la desigualdad triangular que obedece la norma. ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$
2. La función de multiplicación escalar definida por donde es el campo escalar subyacente de es (conjuntamente) continua. Esto se desprende de la desigualdad triangular y de la homogeneidad de la norma. ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X,}$

Por lo tanto, todos los espacios de Banach y los espacios de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.

Espacios no normalizados

Existen espacios vectoriales topológicos cuya topología no está inducida por una norma, pero que aun así son de interés para el análisis. Ejemplos de tales espacios son los espacios de funciones holomorfas en un dominio abierto, los espacios de funciones infinitamente diferenciables , los espacios de Schwartz y los espacios de funciones de prueba y los espacios de distribuciones en ellas. ^[1] Todos estos son ejemplos de espacios de Montel . Un espacio de Montel de dimensión infinita nunca es normable. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico dado se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov .

Un campo topológico es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcampos .

Definición

Una familia de vecindades del origen con las dos propiedades anteriores determina de manera única un espacio vectorial topológico. El sistema de vecindades de cualquier otro punto del espacio vectorial se obtiene por traslación .

Un espacio vectorial topológico ( TVS ) es un espacio vectorial sobre un cuerpo topológico (generalmente los números reales o complejos con sus topologías estándar) que está dotado de una topología tal que la suma de vectores y la multiplicación escalar son funciones continuas (donde los dominios de estas funciones están dotados de topologías de producto ). Tal topología se denomina ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$topología vectorial o unaTopología TVS activada ${\displaystyle X.}$

Todo espacio vectorial topológico es también un grupo topológico conmutativo bajo adición.

Supuesto de Hausdorff

Muchos autores (por ejemplo, Walter Rudin ), pero no esta página, requieren que la topología en sea T 1 ; entonces se sigue que el espacio es Hausdorff , e incluso Tychonoff . Se dice que un espacio vectorial topológico es ${\displaystyle X}$Separado si es de Hausdorff; es importante señalar que "separado" no significaseparable. Las estructuras topológicas y algebraicas lineales se pueden vincular aún más estrechamente con suposiciones adicionales, las más comunes de las cuales se enumeran a continuación.

Categoría y morfismos

La categoría de espacios vectoriales topológicos sobre un campo topológico dado se denota comúnmente como Los objetos son los espacios vectoriales topológicos sobre y los morfismos son los mapas continuos -lineales de un objeto a otro. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }}$ ${\displaystyle \mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Ahomomorfismo del espacio vectorial topológico (abreviadoHomomorfismo TVS ), también llamadoEl homomorfismo topológico ,^[2][3]es unmapa linealcontinuo entre espacios vectoriales topológicos (TVS) tal que el mapa inducidoes unmapeo abiertocuandoque es el rango o la imagen dese da latopología del subespacioinducida por ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y.}$

Aincrustación de espacio vectorial topológico (abreviadoIncorporación de TVS ), también llamadaEl monomorfismo topológico es uninyectivo. De manera equivalente, una incrustación TVS es una función lineal que también es unaincrustación topológica.^[2]

Aisomorfismo del espacio vectorial topológico (abreviadoIsomorfismo TVS ), también llamadoisomorfismo vectorial topológico ^[4]o unEl isomorfismo en la categoría de TVS es unhomeomorfismolineal . Equivalentemente, es unaincrustación de TVSsobreyectiva^[2]

Muchas propiedades de los TVS que se estudian, como la convexidad local , la metrizabilidad , la completitud y la normabilidad , son invariantes bajo los isomorfismos de TVS.

Una condición necesaria para una topología vectorial

Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se denomina aditiva ^[5] si para cada uno existe alguno tal que ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Caracterización de la continuidad de la adición en ^[5] ${\displaystyle 0}$  —  Si es un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología en y está dotada de la topología de producto , entonces la función de adición (definida por ) es continua en el origen de si y solo si el conjunto de vecindades del origen en es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindad" se reemplaza por "vecindad abierta". ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Por consiguiente, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial.

Definición de topologías utilizando vecindades del origen

Dado que toda topología vectorial es invariante en la traslación (lo que significa que para todo el mapa definido por es un homeomorfismo ), para definir una topología vectorial basta con definir una base (o subbase) de vecindad para ella en el origen. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$

Teorema ^[6]  (Filtro de vecindad del origen)  —  Supóngase que es un espacio vectorial real o complejo. Si es una colección aditiva no vacía de subconjuntos equilibrados y absorbentes de entonces es una base de vecindad en para una topología vectorial en Es decir, las suposiciones son que es una base de filtro que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Todo es equilibrado y absorbente . ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es aditivo: Para cada existe un tal que ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq B,}$

Si cumple las dos condiciones anteriores pero no es una base de filtro, entonces formará una subbase de vecindad ( en lugar de una base de vecindad) para una topología vectorial en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

En general, el conjunto de todos los subconjuntos equilibrados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de vecindad en el origen para ninguna topología vectorial. ^[5]

Definición de topologías mediante cadenas

Sea un espacio vectorial y sea una secuencia de subconjuntos de Cada conjunto en la secuencia se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$El nudo dey para cada índicese llama-ésimo nudodeEl conjuntose llamainiciodeLa secuenciaes/es un:^[7][8][9] ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$

• Sumativo sipara cada índice ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Equilibrado (resp. absorbente , cerrado , ^{[nota 1]} convexo , abierto , simétrico , en barril , absolutamente convexo/en disco , etc.) si esto es cierto para cada ${\displaystyle U_{i}.}$
• La cadena essumativa, absorbente y equilibrada. ${\displaystyle U_{\bullet }}$
• Cadena topológica o unacadena de vecindad en un TVSsies una cadena y cada uno de sus nudos es una vecindad del origen en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces la secuencia definida por forma una cadena que comienza con Esto se llama la cadena natural de ^[7] Además, si un espacio vectorial tiene dimensión contable, entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$ ${\displaystyle U_{1}=U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Las sucesiones sumativas de conjuntos tienen la propiedad particularmente interesante de que definen funciones subaditivas continuas de valor real no negativas . Estas funciones pueden utilizarse para demostrar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.

Teorema  ( función con valor inducido por una cadena) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ —  Sea una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que y para todos Para todos sea ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$ $${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Definir por si y en caso contrario dejar ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$ $${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Entonces es subaditivo (es decir, para todos ) y en particular, Si todos son conjuntos simétricos entonces y si todos están equilibrados entonces para todos los escalares tales que y todos Si es un espacio vectorial topológico y si todos son vecindades del origen entonces es continuo, donde si además es Hausdorff y forma una base de vecindades equilibradas del origen en entonces es una métrica que define la topología vectorial en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

Una prueba del teorema anterior se da en el artículo sobre espacios vectoriales topológicos metrizables .

Si y son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial y si es un escalar, entonces por definición: ^[7] ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$ contiene : si y solo si para cada índice ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Conjunto de nudos : ${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• Núcleo : ${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• Múltiplo escalar : ${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Suma : ${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Intersección : ${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

Si es una colección de secuencias de subconjuntos de entonces se dice que está dirigida ( hacia abajo ) bajo inclusión o simplemente dirigida hacia abajo si no está vacía y para todos existe alguna tal que y (dicho de otra manera, si y sólo si es un prefiltro con respecto a la contención definida anteriormente). ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Notación : Sea el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en ${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Definir topologías vectoriales utilizando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de TVS que no son necesariamente localmente convexas.

Teorema ^[7]  (Topología inducida por cuerdas)  —  Si es un espacio vectorial topológico entonces existe un conjunto ^{[prueba 1]} de cuerdas vecinas en que está dirigido hacia abajo y tal que el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en es una base vecinal en el origen de Se dice que dicha colección de cuerdas es fundamental . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle \tau }$

Por el contrario, si es un espacio vectorial y si es una colección de cadenas en que se dirige hacia abajo, entonces el conjunto de todos los nudos de todas las cadenas en forma una base de vecindad en el origen para una topología vectorial en En este caso, esta topología se denota por y se llama topología generada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Si es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un TVS entonces ^[7] Un TVS de Hausdorff es metrizable si y solo si su topología puede ser inducida por una sola cadena topológica. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$

Estructura topológica

Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación de adición, y en un espacio vectorial topológico la operación inversa es siempre continua (ya que es lo mismo que la multiplicación por ). Por lo tanto, todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano . Todo TVS es completamente regular , pero un TVS no necesita ser normal . ^[11] ${\displaystyle -1}$

Sea un espacio vectorial topológico. Dado un subespacio, el espacio cociente con la topología cociente habitual es un espacio vectorial topológico de Hausdorff si y solo si es cerrado. ^{[nota 2]} Esto permite la siguiente construcción: dado un espacio vectorial topológico (que probablemente no sea Hausdorff), forme el espacio cociente donde es el cierre de es entonces un espacio vectorial topológico de Hausdorff que puede estudiarse en lugar de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

Invariancia de topologías vectoriales

Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que cada topología vectorial estraducción invariante :

para todo el mapa definido por es un homeomorfismo , pero si entonces no es lineal y por lo tanto no es un isomorfismo TVS. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

La multiplicación escalar por un escalar distinto de cero es un isomorfismo TVS. Esto significa que si entonces la función lineal definida por es un homeomorfismo. El uso de produce la función de negación definida por que es, en consecuencia, un homeomorfismo lineal y, por lo tanto, un isomorfismo TVS. ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s=-1}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto -x,}$

Si y cualquier subconjunto entonces ^[6] y además, si entonces es un vecindario (resp. vecindario abierto, vecindario cerrado) de en si y sólo si lo mismo es cierto de en el origen. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Nociones locales

Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial es ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• absorbente (en): si para cadaexiste un realtal quepara cualquier escalarque satisface ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in E}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
• equilibrado o en círculo : sipara cada escalar ^[12] ${\displaystyle tE\subseteq E}$ ${\displaystyle |t|\leq 1.}$
• convexo : sipara cada real ^[12] ${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$
• un disco o absolutamente convexo : si es convexo y equilibrado. ${\displaystyle E}$
• simétrico : sio equivalentemente, si ${\displaystyle -E\subseteq E,}$ ${\displaystyle -E=E.}$

Cada entorno del origen es un conjunto absorbente y contiene un entorno abierto y equilibrado de ^[6], por lo que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de conjuntos absorbentes y equilibrados . El origen incluso tiene una base de entorno que consiste en entornos cerrados y equilibrados de si el espacio es localmente convexo , entonces también tiene una base de entorno que consiste en entornos cerrados y convexos equilibrados del origen. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0;}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto de un espacio vectorial topológico está acotado ^[13] si para cada vecindad del origen existe tal que . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV}$

La definición de acotación se puede debilitar un poco; es acotado si y solo si cada subconjunto numerable de él es acotado. Un conjunto es acotado si y solo si cada una de sus subsecuencias es un conjunto acotado. ^[14] Además, es acotado si y solo si para cada entorno equilibrado del origen, existe tal que Además, cuando es localmente convexo, la acotación se puede caracterizar por seminormas : el subconjunto es acotado si y solo si cada seminorma continua está acotada en ^[15] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E.}$

Todo conjunto totalmente acotado está acotado. ^[14] Si es un subespacio vectorial de un TVS entonces un subconjunto de está acotado en si y sólo si está acotado en ^[14] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Metrizabilidad

Teorema de Birkhoff-Kakutani  :  sies un espacio vectorial topológico, entonces las siguientes cuatro condiciones son equivalentes: ^{[16] [nota 3]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. El origen está cerrado y hay una base contable de barrios en el origen en ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$es metrizable (como espacio topológico).
3. Hay una métrica invariante de traducción que induce en la topología que es la topología dada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio vectorial topológico metrizable . ^{[nota 4]}

Del teorema de Birkhoff-Kakutani se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante a la traducción.

Un TVS es pseudometrizable si y solo si tiene una base de vecindad contable en el origen, o equivalente, si y solo si su topología es generada por una F -seminorma . Un TVS es metrizable si y solo si es Hausdorff y pseudometrizable.

Más fuertemente: se dice que un espacio vectorial topológico es normable si su topología puede ser inducida por una norma. Un espacio vectorial topológico es normable si y sólo si es de Hausdorff y tiene un entorno convexo acotado del origen. ^[17]

Sea un campo topológico localmente compacto no discreto , por ejemplo los números reales o complejos. Un espacio vectorial topológico de Hausdorff sobre es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita , es decir, isomorfo a para algún número natural ^[18] ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Integridad y estructura uniforme

La uniformidad canónica ^[19] en un TVS es la uniformidad única invariante de traducción que induce la topología en ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Se supone que todo TVS está dotado de esta uniformidad canónica, lo que convierte a todos los TVS en espacios uniformes . Esto permite hablar ^{[ aclaración necesaria ]} sobre nociones relacionadas como completitud , convergencia uniforme , redes de Cauchy y continuidad uniforme , etc., que siempre se suponen con respecto a esta uniformidad (a menos que se indique lo contrario). Esto implica que todo espacio vectorial topológico de Hausdorff es de Tichonoff . ^[20] Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado (para los TVS de Hausdorff, que un conjunto esté totalmente acotado equivale a que sea precompacto ). Pero si el TVS no es de Hausdorff, entonces existen subconjuntos compactos que no están cerrados. Sin embargo, la clausura de un subconjunto compacto de un TVS que no es de Hausdorff es nuevamente compacta (por lo que los subconjuntos compactos son relativamente compactos ).

Con respecto a esta uniformidad, una red (o secuencia ) es de Cauchy si y sólo si para cada vecindad de existe algún índice tal que siempre que y ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$ ${\displaystyle i\geq n}$ ${\displaystyle j\geq n.}$

Toda sucesión de Cauchy está acotada, aunque las redes de Cauchy y los filtros de Cauchy pueden no estarlo. Un espacio vectorial topológico en el que converge toda sucesión de Cauchy se denomina secuencialmente completo ; en general, puede no ser completo (en el sentido de que todos los filtros de Cauchy convergen).

La operación de adición en el espacio vectorial es uniformemente continua y una función abierta. La multiplicación escalar es continua en el sentido de Cauchy , pero en general casi nunca es uniformemente continua. Por ello, todo espacio vectorial topológico puede completarse y, por tanto, es un subespacio lineal denso de un espacio vectorial topológico completo .

• Cada TVS tiene una completitud y cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff. ^[6] Cada TVS (incluso aquellos que son de Hausdorff y/o completos) tiene infinitas completitudes no isomorfas no Hausdorff.
• Un subconjunto compacto de un TVS (no necesariamente de Hausdorff) es completo. ^[21] Un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff es cerrado. ^[21]
• Si es un subconjunto completo de un TVS entonces cualquier subconjunto del mismo que esté cerrado en él es completo. ^[21] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Una secuencia de Cauchy en una TVS de Hausdorff no es necesariamente relativamente compacta (es decir, su clausura no es necesariamente compacta). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si un filtro de Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación , entonces converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Si una serie converge ^{[nota 5]} en una TVS entonces en ^[22] ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

Topología vectorial más fina y más gruesa

Sea un espacio vectorial real o complejo. ${\displaystyle X}$

Topología trivial

La topología trivial o topología indiscreta es siempre una topología TVS en cualquier espacio vectorial y es la topología TVS más burda posible. Una consecuencia importante de esto es que la intersección de cualquier colección de topologías TVS en siempre contiene una topología TVS. Cualquier espacio vectorial (incluidos aquellos que son de dimensión infinita) dotado con la topología trivial es un espacio vectorial topológico localmente convexo , seminormable , pseudometrizable y compacto (y, por lo tanto, localmente compacto ) . Es de Hausdorff si y solo si ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$

Topología vectorial más fina

Existe una topología TVS llamada ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle X,}$La topología vectorial más fina enque es más fina que cualquier otra topología TVS en(es decir, cualquier topología TVS enes necesariamente un subconjunto de).^[23][24]Toda función lineal deen otra TVS es necesariamente continua. Sibase de Hamelincontable,entoncesnoeslocalmente convexaynometrizable.^[24] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$

Productos cartesianos

Un producto cartesiano de una familia de espacios vectoriales topológicos, cuando está dotado de la topología de producto , es un espacio vectorial topológico. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todas las funciones donde lleva su topología euclidiana habitual . Este conjunto es un espacio vectorial real (donde la adición y la multiplicación escalar se definen puntualmente, como es habitual) que se puede identificar con (y, de hecho, a menudo se define como) el producto cartesiano que lleva la topología de producto natural . Con esta topología de producto, se convierte en un espacio vectorial topológico cuya topología se llama topología de convergencia puntual en La razón de este nombre es la siguiente: si es una secuencia (o más generalmente, una red ) de elementos en y si entonces converge a en si y solo si para cada número real converge a en Este TVS es completo , Hausdorff y localmente convexo pero no metrizable y, en consecuencia, no normable ; De hecho, cada vecindad del origen en la topología del producto contiene líneas (es decir, subespacios vectoriales unidimensionales, que son subconjuntos de la forma con ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$

Espacios de dimensión finita

Por el teorema de F. Riesz , un espacio vectorial topológico de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto , lo que sucede si y solo si tiene un vecindario compacto del origen.

Sea o y dote de su topología euclidiana normalizada de Hausdorff habitual . Sea un espacio vectorial sobre de dimensión finita y por lo que es espacio vectorial isomorfo a (explícitamente, esto significa que existe un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales y ). Este espacio vectorial de dimensión finita siempre tiene una topología vectorial de Hausdorff única , lo que lo hace isomorfo por TVS a donde está dotado de la topología euclidiana habitual (que es la misma que la topología producto ). Esta topología vectorial de Hausdorff es también la topología vectorial (única) más fina en tiene una topología vectorial única si y solo si Si entonces, aunque no tiene una topología vectorial única, sí tiene una topología vectorial de Hausdorff única . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle n:=\dim X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$

• Si entonces tiene exactamente una topología vectorial: la topología trivial , que en este caso (y solo en este caso) es de Hausdorff. La topología trivial en un espacio vectorial es de Hausdorff si y solo si el espacio vectorial tiene dimensión ${\displaystyle \dim X=0}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$
• Entonces tiene dos topologías vectoriales: la topología euclidiana habitual y la topología trivial ( no Hausdorff). ${\displaystyle \dim X=1}$ ${\displaystyle X}$
  • Dado que el campo es en sí mismo un espacio vectorial topológico de dimensión 1 y dado que juega un papel importante en la definición de espacios vectoriales topológicos, esta dicotomía juega un papel importante en la definición de un conjunto absorbente y tiene consecuencias que resuenan en todo el análisis funcional . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Esquema de prueba

La prueba de esta dicotomía (es decir, que una topología vectorial es trivial o isomorfa a ) es sencilla, por lo que solo se da un esquema con las observaciones importantes. Como es habitual, se supone que tiene la topología euclidiana (normada). Sea para todo Sea un espacio vectorial -dimensional sobre Si y es una bola centrada en entonces siempre que contiene una "secuencia ilimitada", por lo que se entiende una secuencia de la forma donde y es ilimitada en el espacio normado (en el sentido habitual). Cualquier topología vectorial en será invariante en la traslación e invariante bajo una multiplicación escalar distinta de cero, y para cada la función dada por es una biyección lineal continua. Porque para cualquier tal cada subconjunto de puede escribirse como para algún subconjunto único Y si esta topología vectorial en tiene una vecindad del origen que no es igual a todos los de entonces la continuidad de la multiplicación escalar en el origen garantiza la existencia de una bola abierta centrada en y una vecindad abierta del origen en tal que lo que implica que no contiene ninguna "secuencia ilimitada". Esto implica que para cada existe algún entero positivo tal que De esto, se puede deducir que si no lleva la topología trivial y si entonces para cualquier centro de bola en 0 en contiene un entorno abierto del origen en el que entonces demuestra que es un homeomorfismo lineal . QED ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}}$ ${\displaystyle r>0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\cdot S=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle M_{x}:\mathbb {K} \to X}$ ${\displaystyle M_{x}(a):=ax}$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Fx=M_{x}(F)}$ ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle B_{r}\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{n}x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle M_{x}(B)=Bx}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M_{x}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

• Si entonces tiene infinitas topologías vectoriales distintas: ${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$ ${\displaystyle X}$
  • Ahora se describen algunas de estas topologías: Cada funcional lineal en el que es un espacio vectorial isomorfo a induce una seminorma definida por donde Cada seminorma induce una topología vectorial ( pseudometrizable localmente convexa ) en y las seminormas con núcleos distintos inducen topologías distintas de modo que, en particular, las seminormas en que son inducidas por funcionales lineales con núcleos distintos inducirán topologías vectoriales distintas en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
  • Sin embargo, mientras que hay infinitas topologías vectoriales en cuando hay, hasta el isomorfismo TVS , solo topologías vectoriales en Por ejemplo, si entonces las topologías vectoriales en consisten en la topología trivial, la topología euclidiana de Hausdorff, y luego las infinitas topologías vectoriales no triviales no euclidianas restantes en son todas TVS-isomorfas entre sí. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X\geq 2,}$ ${\displaystyle 1+\dim X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle n:=\dim X=2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Topologías no vectoriales

Topologías discretas y cofinitas

Si es un espacio vectorial no trivial (es decir, de dimensión distinta de cero), entonces la topología discreta en (que siempre es metrizable ) no es una topología TVS porque, a pesar de hacer que la adición y la negación sean continuas (lo que la convierte en un grupo topológico bajo la adición), no logra hacer que la multiplicación escalar sea continua. La topología cofinita en (donde un subconjunto es abierto si y solo si su complemento es finito) tampoco es una topología TVS en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Mapas lineales

Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos que es continuo en un punto es continuo en todo el dominio. Además, un operador lineal es continuo si está acotado (como se define a continuación) en algún entorno del origen. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$

Un hiperplano en un espacio vectorial topológico es denso o cerrado. Un funcional lineal en un espacio vectorial topológico tiene núcleo denso o cerrado. Además, es continuo si y solo si su núcleo es cerrado . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Tipos

Dependiendo de la aplicación, se suelen imponer restricciones adicionales a la estructura topológica del espacio. De hecho, varios resultados principales del análisis funcional no se cumplen en general para los espacios vectoriales topológicos: el teorema del grafo cerrado , el teorema de aplicación abierta y el hecho de que el espacio dual del espacio separa puntos en el espacio.

A continuación se presentan algunos espacios vectoriales topológicos comunes, aproximadamente en orden de creciente "amabilidad".

• Los espacios F son espacios vectoriales topológicos completos con una métrica invariante a la traslación. ^[25] Estos incluyen espacios para todos ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>0.}$
• Espacios vectoriales topológicos localmente convexos : aquí cada punto tiene una base local que consiste en conjuntos convexos . ^[25] Mediante una técnica conocida como funcionales de Minkowski se puede demostrar que un espacio es localmente convexo si y solo si su topología puede definirse mediante una familia de seminormas. ^[26] La convexidad local es el requisito mínimo para argumentos "geométricos" como el teorema de Hahn-Banach . Los espacios son localmente convexos (de hecho, espacios de Banach) para todos , pero no para ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$
• Espacios en barril : espacios localmente convexos donde se cumple el teorema de Banach-Steinhaus .
• Espacio bornológico : un espacio localmente convexo donde los operadores lineales continuos de cualquier espacio localmente convexo son exactamente los operadores lineales acotados .
• Espacio estereotipo : un espacio localmente convexo que satisface una variante de la condición de reflexividad , donde el espacio dual está dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados .
• Espacio de Montel : un espacio en forma de barril donde cada conjunto cerrado y acotado es compacto
• Espacios de Fréchet : son espacios completos localmente convexos en los que la topología proviene de una métrica invariante a la traslación o, equivalentemente, de una familia contable de seminormas. Muchos espacios interesantes de funciones caen en esta clase: es un espacio de Fréchet bajo las seminormas Un F-espacio localmente convexo es un espacio de Fréchet. ^[25] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
• Los espacios LF son límites de los espacios de Fréchet . Los espacios ILH son límites inversos de los espacios de Hilbert.
• Espacios nucleares : son espacios localmente convexos con la propiedad de que toda función acotada del espacio nuclear a un espacio de Banach arbitrario es un operador nuclear .
• Espacios normados y espacios seminormados : espacios localmente convexos en los que la topología puede describirse mediante una única norma o seminorma. En los espacios normados, un operador lineal es continuo si y solo si está acotado.
• Espacios de Banach : espacios vectoriales normados completos . La mayor parte del análisis funcional está formulado para espacios de Banach. Esta clase incluye los espacios con el espacio de funciones de variación acotada y ciertos espacios de medidas. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle BV}$
• Espacios de Banach reflexivos : los espacios de Banach son naturalmente isomorfos a su dual doble (ver más abajo), lo que garantiza que se puedan llevar a cabo algunos argumentos geométricos. Un ejemplo importante que no es reflexivo es , cuyo dual es pero está estrictamente contenido en el dual de ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$
• Espacios de Hilbert : tienen un producto interno ; aunque estos espacios pueden ser de dimensión infinita, la mayoría de los razonamientos geométricos conocidos en dimensiones finitas se pueden llevar a cabo en ellos. Entre ellos se encuentran los espacios de Sobolev y los espacios de Hardy . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle W^{2,k},}$
• Espacios euclidianos : o con la topología inducida por el producto interno estándar. Como se señaló en la sección anterior, para un finito dado solo hay un espacio vectorial topológico unidimensional, salvo isomorfismo. De esto se deduce que cualquier subespacio de dimensión finita de un TVS es cerrado. Una caracterización de la dimensionalidad finita es que un TVS de Hausdorff es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita (por lo tanto isomorfo a algún espacio euclidiano). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

Espacio dual

Cada espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo —el conjunto de todos los funcionales lineales continuos, es decir, aplicaciones lineales continuas del espacio en el cuerpo base—. Una topología en el dual puede definirse como la topología más burda tal que el emparejamiento dual de cada evaluación de punto es continuo. Esto convierte al dual en un espacio vectorial topológico localmente convexo. Esta topología se llama topología débil-* . ^[27] Esta puede no ser la única topología natural en el espacio dual; por ejemplo, el dual de un espacio normado tiene una norma natural definida en él. Sin embargo, es muy importante en aplicaciones debido a sus propiedades de compacidad (véase el teorema de Banach-Alaoglu ). Precaución: Siempre que sea un espacio localmente convexo no normalizable, entonces la aplicación de emparejamiento nunca es continua, sin importar en qué topología de espacio vectorial se elija. Un espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo no trivial si y solo si tiene una vecindad convexa apropiada del origen. ^[28] ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X'\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'\times X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'.}$

Propiedades

Para cualquier TVS, la envoltura convexa (resp. equilibrada , en disco , convexa cerrada, equilibrada cerrada, en disco cerrada ) de es el subconjunto más pequeño de que tiene esta propiedad y contiene El cierre (respectivamente, interior, envoltura convexa , envoltura equilibrada, envoltura en disco) de un conjunto a veces se denota por (respectivamente, ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

La envoltura convexa de un subconjunto es igual al conjunto de todas las combinaciones convexas de elementos en los que son combinaciones lineales finitas de la forma donde es un entero y suman ^[29] La intersección de cualquier familia de conjuntos convexos es convexa y la envoltura convexa de un subconjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos convexos que lo contienen. ^[29] ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Barrios y espacios abiertos

Propiedades de los vecindarios y conjuntos abiertos

Todo TVS está conectado ^[6] y localmente conectado ^[30] y cualquier subconjunto abierto conectado de un TVS está conectado en el arco . Si y es un subconjunto abierto de entonces es un conjunto abierto en ^[6] y si tiene un interior no vacío entonces es un entorno del origen. ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S-S}$

Los subconjuntos convexos abiertos de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexos) son exactamente aquellos que tienen la forma para algunos y algunos funcionales sublineales continuos positivos en ^[28] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un disco absorbente en un TVS y si es la funcional de Minkowski de entonces ^[31] donde, de manera importante, no se asumió que tenía propiedades topológicas ni que era continuo (lo que sucede si y solo si es un vecindario del origen). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

Sean y dos topologías vectoriales en Entonces, si y solo si, siempre que una red en converge en entonces en ^[32] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Sea una base de vecindad del origen en sea y sea Entonces, si y solo si existe una red en (indexada por ) tal que en ^[33] Esto muestra, en particular, que a menudo será suficiente considerar redes indexadas por una base de vecindad del origen en lugar de redes en conjuntos dirigidos arbitrarios. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un TVS que es de la segunda categoría en sí mismo (es decir, un espacio no magro ), entonces cualquier subconjunto absorbente convexo cerrado de es un vecindario del origen. ^[34] Esto ya no está garantizado si el conjunto no es convexo (existe un contraejemplo incluso en ) o si no es de la segunda categoría en sí mismo. ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

Interior

Si y tiene interior no vacío entonces y ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

El interior topológico de un disco no está vacío si y solo si este interior contiene el origen. ^[35] De manera más general, si es un conjunto balanceado con interior no vacío en un TVS entonces necesariamente estará balanceado; ^[6] en consecuencia, estará balanceado si y solo si contiene el origen. ^{[prueba 2]} Para que esto (es decir ) sea verdadero, basta con que también sea convexo (además de estar balanceado y tener interior no vacío).; ^[6] La conclusión podría ser falsa si no es también convexo; ^[35] por ejemplo, en el interior del conjunto cerrado y balanceado es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

Si es convexo y entonces ^[36] Explícitamente, esto significa que si es un subconjunto convexo de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo), y entonces el segmento de línea abierto que une y pertenece al interior de ese es, ^{[37] [38] [prueba 3]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$

Si hay un vecindario equilibrado del origen en entonces donde es el conjunto de todos los escalares tales que ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1.}$

Si pertenece al interior de un conjunto convexo y entonces el segmento de línea semiabierto y ^[37] Si es un entorno equilibrado de en y entonces al considerar intersecciones de la forma (que son entornos simétricos convexos de en el TVS real ) se sigue que: y además, si entonces y si entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$ $${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$ $${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},}$ ${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$ ${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$

Los espacios no hausdorffianos y el cierre del origen

Un espacio vectorial topológico es de Hausdorff si y solo si es un subconjunto cerrado de o, equivalentemente, si y solo si Porque es un subespacio vectorial de lo mismo es cierto de su clausura , que se conoce como la clausura del origen en Este espacio vectorial satisface de modo que, en particular, cada entorno del origen en contiene el espacio vectorial como un subconjunto. La topología del subespacio en es siempre la topología trivial , lo que en particular implica que el espacio vectorial topológico es un espacio compacto (incluso si su dimensión es distinta de cero o incluso infinita) y, en consecuencia, también un subconjunto acotado de De hecho, un subespacio vectorial de un TVS está acotado si y solo si está contenido en la clausura de ^[14] Cada subconjunto de también lleva la topología trivial y, por lo tanto, es en sí mismo un subespacio compacto y, por lo tanto, también completo (véase la nota al pie para una prueba). ^{[prueba 4]} En particular, si no es de Hausdorff, entonces existen subconjuntos que son compactos y completos pero no cerrados en ; ^[39] por ejemplo, esto será cierto para cualquier subconjunto propio no vacío de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Si es compacto, entonces y este conjunto es compacto. Por lo tanto, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS es compacto (dicho de otra manera, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos ), ^{[40] lo cual no está garantizado para} espacios topológicos arbitrarios que no sean de Hausdorff . ^{[nota 6]} ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Para cada subconjunto y, en consecuencia, si es abierto o cerrado en entonces ^{[prueba 5]} (de modo que este subconjunto arbitrario abierto o cerrado puede describirse como un "tubo" cuyo lado vertical es el espacio vectorial ). Para cualquier subconjunto de este TVS son equivalentes: ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle S}$está totalmente delimitado .
• ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$está totalmente acotado. ^[41]
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$está totalmente acotado. ^{[42] [43]}
• La imagen si está bajo el mapa cociente canónico está totalmente acotada. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$

Si es un subespacio vectorial de un TVS entonces es Hausdorff si y sólo si es cerrado en Además, la función cociente es siempre una función cerrada sobre el TVS (necesariamente) de Hausdorff. ^[44] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Todo subespacio vectorial de que es un complemento algebraico de (es decir, un subespacio vectorial que satisface y ) es un complemento topológico de En consecuencia, si es un complemento algebraico de en entonces la función de adición definida por es un isomorfismo TVS, donde es necesariamente Hausdorff y tiene la topología indiscreta . ^[45] Además, si es una completitud de Hausdorff de entonces es una completitud de ^[41] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,}$ ${\displaystyle (h,n)\mapsto h+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Conjuntos cerrados y compactos

Conjuntos compactos y totalmente acotados

Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado . ^[39] Por lo tanto, en un espacio vectorial topológico completo , un subconjunto cerrado y totalmente acotado es compacto. ^[39] Un subconjunto de un TVS es totalmente acotado si y solo si es totalmente acotado, ^{[42] [43]} si y solo si su imagen bajo la función cociente canónica es totalmente acotada. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ $${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$$

Todo conjunto relativamente compacto está totalmente acotado ^[39] y el cierre de un conjunto totalmente acotado está totalmente acotado. ^[39] La imagen de un conjunto totalmente acotado bajo una función uniformemente continua (como, por ejemplo, una función lineal continua) está totalmente acotada. ^[39] Si es un subconjunto de un TVS tal que cada secuencia en tiene un punto de clúster en entonces está totalmente acotado. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Si es un subconjunto compacto de un TVS y es un subconjunto abierto de los que lo contienen , entonces existe un entorno de 0 tal que ^[46] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K+N\subseteq U.}$

Clausura y conjunto cerrado

El cierre de cualquier subconjunto convexo (respectivamente, balanceado y absorbente) de cualquier TVS tiene esta misma propiedad. En particular, el cierre de cualquier subconjunto convexo, balanceado y absorbente es un barril .

El cierre de un subespacio vectorial de un TVS es un subespacio vectorial. Todo subespacio vectorial de dimensión finita de un TVS de Hausdorff es cerrado. La suma de un subespacio vectorial cerrado y un subespacio vectorial de dimensión finita es cerrada. ^[6] Si es un subespacio vectorial de y es un entorno cerrado del origen en tal que es cerrado en entonces es cerrado en ^[46] La suma de un conjunto compacto y un conjunto cerrado es cerrada. Sin embargo, la suma de dos subconjuntos cerrados puede no ser cerrada ^[6] (véase esta nota al pie ^{[nota 7]} para ejemplos). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Si y es un escalar entonces donde si es Hausdorff, entonces se cumple la igualdad: En particular, todo múltiplo escalar distinto de cero de un conjunto cerrado es cerrado. Si y si es un conjunto de escalares tales que ninguno contiene cero entonces ^[47] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).}$

Si entonces es convexo. ^[47] ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$

Si entonces ^[6] y por consiguiente, si es cerrado, entonces también lo es ^[47]. ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)}$$ ${\displaystyle R+S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).}$

Si es un TVS real y entonces donde el lado izquierdo es independiente de la topología y además, si es un vecindario convexo del origen, entonces se cumple la igualdad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$

Para cualquier subconjunto donde es cualquier base de vecindad en el origen para ^[48] Sin embargo, y es posible que esta contención sea propia ^[49] (por ejemplo, si y son los números racionales). Se deduce que para cada vecindad del origen en ^[50] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Cascos cerrados

En un espacio localmente convexo, las envolturas convexas de conjuntos acotados están acotadas. Esto no es cierto para los sistemas de transmisión de valores transitorios en general. ^[14]

• La envoltura convexa cerrada de un conjunto es igual al cierre de la envoltura convexa de ese conjunto; es decir, igual a ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$
• La envoltura cerrada y equilibrada de un conjunto es igual al cierre de la envoltura equilibrada de ese conjunto; es decir, igual a ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).}$
• La envoltura discal cerrada de un conjunto es igual al cierre de la envoltura discal de ese conjunto; es decir, igual a ^[51] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).}$

Si y la envoltura convexa cerrada de uno de los conjuntos o es compacta entonces ^[51] Si cada uno tiene una envoltura convexa cerrada que es compacta (es decir, y son compactos) entonces ^[51] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].}$$

Cascos y compacidad

En un sistema de ecuaciones diferenciales general, la envoltura convexa cerrada de un conjunto compacto puede no ser compacta. La envoltura equilibrada de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente acotado ) tiene esa misma propiedad. ^{[6] La envoltura convexa de una unión finita de conjuntos} convexos compactos es nuevamente compacta y convexa. ^[6]

Otras propiedades

Magro, en ninguna parte denso, y Baire

Un disco en un TVS no es denso en ninguna parte si y solo si su cierre es un vecindario del origen. ^[9] Un subespacio vectorial de un TVS que está cerrado pero no abierto no es denso en ninguna parte . ^[9]

Supongamos que es un TVS que no lleva la topología indiscreta . Entonces es un espacio de Baire si y solo si no tiene ningún subconjunto denso absorbente balanceado en ninguna parte. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un TVS es un espacio de Baire si y solo si es no magro , lo que sucede si y solo si no existe un conjunto denso en ninguna parte tal que ^[9] Todo TVS localmente convexo no magro es un espacio en barril . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$

Datos algebraicos importantes y conceptos erróneos comunes

Si entonces ; si es convexo entonces se cumple la igualdad. Para un ejemplo donde la igualdad no se cumple, sea distinto de cero y el conjunto también funciona. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle 2S\subseteq S+S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{-x,x\};}$ ${\displaystyle S=\{x,2x\}}$

Un subconjunto es convexo si y sólo si para todos los reales positivos ^[29] o equivalentemente, si y sólo si para todos ^[52] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

La envoltura convexa equilibrada de un conjunto es igual a la envoltura convexa de la envoltura equilibrada de es decir, es igual a Pero, en general, donde la inclusión puede ser estricta ya que la envoltura equilibrada de un conjunto convexo no necesita ser convexa (existen contraejemplos incluso en ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Si y es un escalar entonces ^[6] Si son conjuntos disjuntos no vacíos convexos y entonces o ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.}$$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\not \in R\cup S,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing }$ ${\displaystyle R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .}$

En cualquier espacio vectorial no trivial existen dos subconjuntos convexos no vacíos disjuntos cuya unión es ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Otras propiedades

Cada topología TVS puede ser generada por una familia de F -semiformas . ^[53]

Si es un predicado unario (una declaración verdadera o falsa que depende de ), entonces para cualquier ^{[prueba 6]} Así, por ejemplo, si denota " ", entonces para cualquier De manera similar, si es un escalar, entonces Los elementos de estos conjuntos deben abarcar un espacio vectorial (es decir, sobre ) en lugar de no solo un subconjunto o, de lo contrario, estas igualdades ya no están garantizadas; de manera similar, deben pertenecer a este espacio vectorial (es decir, ). ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in X}$

Propiedades preservadas por los operadores de conjuntos

• La envoltura equilibrada de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente acotado , abierto) tiene esa misma propiedad. ^[6]
• La suma (de Minkowski) de dos conjuntos compactos (respectivamente, acotados, equilibrados y convexos) tiene esa misma propiedad. ^[6] Pero la suma de dos conjuntos cerrados no necesita ser cerrada.
• La envoltura convexa de un conjunto equilibrado (o abierto) está equilibrada (o sea, abierta). Sin embargo, la envoltura convexa de un conjunto cerrado no necesita estar cerrada. ^[6] Y la envoltura convexa de un conjunto acotado no necesita estar acotada.

En la siguiente tabla, el color de cada celda indica si una propiedad dada de los subconjuntos de (indicada por el nombre de la columna, "convexa", por ejemplo) se conserva bajo el operador de conjunto (indicado por el nombre de la fila, "cierre", por ejemplo). Si en cada TVS, una propiedad se conserva bajo el operador de conjunto indicado, entonces esa celda será de color verde; de ​​lo contrario, será de color rojo. ${\displaystyle X}$

Por ejemplo, dado que la unión de dos conjuntos absorbentes es a su vez absorbente, la celda de la fila " " y la columna "Absorbente" se colorea de verde. Pero dado que la intersección arbitraria de conjuntos absorbentes no tiene por qué ser absorbente, la celda de la fila "Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 conjunto)" y la columna "Absorbente" se colorea de rojo. Si una celda no está coloreada, esa información aún no se ha completado. ${\displaystyle R\cup S}$

Véase también

• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que es completo
• Campo completo  : estructura algebraica que es completa en relación con una métrica.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio vectorial líquido  : concepto de matemáticas condensadas
• Espacio normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Campo localmente compacto
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico para el cual la topología subyacente es localmente compacta y de Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de HaarPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo cuántico localmente compacto  : un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo para los grupos cuánticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Grupo abeliano topológico  : grupo topológico cuyo grupo es abeliano.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo topológico  – Estructura algebraica con adición, multiplicación y divisiónPages displaying short descriptions of redirect targets
• Grupo topológico  – Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
• Módulo topológico
• Anillo topológico  : anillo en el que las operaciones del anillo son continuas.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Semigrupo topológico  – semigrupo con funcionamiento continuoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Red vectorial topológica

Notas

1. Las propiedades topológicas, por supuesto, también requieren que sea un TVS. ${\displaystyle X}$
2. En particular, es Hausdorff si y sólo si el conjunto está cerrado (es decir, es un espacio T 1 ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$
3. De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no utiliza las multiplicaciones escalares.
4. También llamado espacio lineal métrico , lo que significa que es un espacio vectorial real o complejo junto con una métrica invariante a la traslación para el cual la suma y la multiplicación escalar son continuas.
5. Se dice que una serie converge en una TVS si la secuencia de sumas parciales converge. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$
6. En topología general, el cierre de un subconjunto compacto de un espacio no hausdorffiano puede no ser compacto (por ejemplo, la topología puntual particular en un conjunto infinito). Este resultado muestra que esto no sucede en los TVS no hausdorffianos. es compacto porque es la imagen del conjunto compacto bajo la función de adición continua. Recordemos también que la suma de un conjunto compacto (es decir, ) y un conjunto cerrado es cerrado, por lo que es cerrado en ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$
7. En la suma del eje y cuyo gráfico es el complemento del eje , es abierto en En la suma de Minkowski es un subconjunto denso contable de por lo que no está cerrado en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Pruebas

1. Esta condición se cumple si denota el conjunto de todas las cadenas topológicas en ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
2. Esto se debe a que todo conjunto equilibrado no vacío debe contener el origen y porque si y solo si ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.}$
3. Arreglar de modo que queda por demostrar que pertenece a Reemplazando con si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que y de modo que queda por demostrar que es un entorno del origen. Sea de modo que Dado que la multiplicación escalar por es un homeomorfismo lineal Dado que y se sigue que donde debido a que es abierto, existe algún que satisface Definir por que es un homeomorfismo porque El conjunto es, por tanto, un subconjunto abierto de que además contiene Si entonces dado que es convexo, y que prueba que Por tanto, es un subconjunto abierto de que contiene el origen y está contenido en QED ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$
4. Como tiene la topología trivial, también la tiene cada uno de sus subconjuntos, lo que los hace a todos compactos. Se sabe que un subconjunto de cualquier espacio uniforme es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$
5. Si entonces Porque si es cerrado entonces se cumple la igualdad. Usando el hecho de que es un espacio vectorial, se verifica fácilmente que el complemento en de cualquier conjunto que satisfaga la igualdad también debe satisfacer esta igualdad (cuando se sustituye por ). ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S}$
6. y así usando y el hecho de que esto es igual a QED $${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}}$$ ${\displaystyle y=z+x}$ ${\displaystyle z+X=X,}$ $${\displaystyle \{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.}$$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Rudin 1991, pág. 4-5 §1.3.
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4. Grothendieck 1973, págs. 34-36.
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11. Wilansky 2013, pág. 53.
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26. Rudin 1991, pág. 27 Teorema 1.36.
27. Rudin 1991, pág. 62-68 §3.8-3.14.
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Bibliografía

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Medios relacionados con Espacios vectoriales topológicos en Wikimedia Commons