Biyección, inyección y sobreyección

Propiedades de las funciones matemáticas

En matemáticas , las inyecciones , sobreyecciones y biyecciones son clases de funciones que se distinguen por la manera en que los argumentos ( expresiones de entrada del dominio ) y las imágenes (expresiones de salida del codominio ) se relacionan o asignan entre sí.

Una función asigna elementos de su dominio a elementos de su codominio. Dada una función : ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• La función es inyectiva , o biunívoca , si cada elemento del codominio se asigna a, como máximo, un elemento del dominio, o, equivalentemente, si elementos distintos del dominio se asignan a elementos distintos en el codominio. Una función inyectiva también se denomina inyección . ^[1] Notacionalmente:

${\displaystyle \forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\implies x=x',}$

o, equivalentemente (usando transposición lógica ),

${\displaystyle \forall x,x'\in X,x\neq x'\implies f(x)\neq f(x').}$^{[2] [3] [4]}

• La función es sobreyectiva o sobreyectiva si cada elemento del codominio se corresponde con al menos un elemento del dominio; es decir, si la imagen y el codominio de la función son iguales. Una función sobreyectiva es una sobreyección . ^[1] Notacionalmente:

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X,y=f(x).}$^{[2] [3] [4]}

• La función es biyectiva ( uno a uno y sobreyectiva , correspondencia uno a uno o invertible ) si cada elemento del codominio se mapea a exactamente un elemento del dominio; es decir, si la función es tanto inyectiva como sobreyectiva. Una función biyectiva también se denomina biyección . ^{[1] [2] [3] [4]} Es decir, combinando las definiciones de inyectiva y sobreyectiva,

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists !x\in X,y=f(x),}$

donde significa " existe exactamente un x ". ${\displaystyle \exists !x}$

• En cualquier caso (para cualquier función), se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y,y=f(x).}$

Una función inyectiva no necesita ser sobreyectiva (no todos los elementos del codominio pueden estar asociados con argumentos), y una función sobreyectiva no necesita ser inyectiva (algunas imágenes pueden estar asociadas con más de un argumento). Las cuatro combinaciones posibles de características inyectivas y sobreyectivas se ilustran en los diagramas adyacentes.

Inyección

Composición inyectiva: la segunda función no necesita ser inyectiva.

Una función es inyectiva ( uno a uno ) si cada elemento posible del codominio se asigna a, como máximo, un argumento. De manera equivalente, una función es inyectiva si asigna argumentos distintos a imágenes distintas. Una función inyectiva es una inyección . ^[1] La definición formal es la siguiente.

La función es inyectiva, si para todo , ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'.}$

A continuación se presentan algunos datos relacionados con las inyecciones:

• Una función es inyectiva si y sólo si está vacía o es invertible por la izquierda ; es decir, existe una función tal que función identidad en X . Aquí, es la imagen de . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\colon f(X)\to X}$ ${\displaystyle g\circ f=}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$
• Puesto que cada función es sobreyectiva cuando su codominio está restringido a su imagen , cada inyección induce una biyección sobre su imagen. Más precisamente, cada inyección puede factorizarse como una biyección seguida de una inclusión de la siguiente manera. Sea con codominio restringido a su imagen, y sea la función de inclusión de en . Entonces . A continuación se da una factorización dual para sobreyecciones. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f_{R}\colon X\rightarrow f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i\colon f(X)\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f=i\circ f_{R}}$
• La composición de dos inyecciones es nuevamente una inyección, pero si es inyectiva, entonces solo se puede concluir que es inyectiva (ver figura). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$
• Toda incrustación es inyectiva.

Sobreyección

Composición sobreyectiva: la primera función no necesita ser sobreyectiva.

Una función es sobreyectiva o sobreyectiva si cada elemento del codominio se corresponde con al menos un elemento del dominio . En otras palabras, cada elemento del codominio tiene una preimagen no vacía . De manera equivalente, una función es sobreyectiva si su imagen es igual a su codominio. Una función sobreyectiva es una sobreyección . ^[1] La definición formal es la siguiente.

La función es sobreyectiva, si para todo , existe tal que ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$

A continuación se presentan algunos datos relacionados con las sobreyecciones:

• Una función es sobreyectiva si y sólo si es invertible por la derecha; es decir, si y sólo si existe una función tal que función identidad en . (Esta afirmación es equivalente al axioma de elección .) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=}$ ${\displaystyle Y}$
• Al colapsar todos los argumentos que se asignan a una imagen fija dada, cada sobreyección induce una biyección de un conjunto cociente de su dominio a su codominio. Más precisamente, las preimágenes bajo f de los elementos de la imagen de son las clases de equivalencia de una relación de equivalencia en el dominio de , tal que x e y son equivalentes si y solo tienen la misma imagen bajo . Como todos los elementos de cualquiera de estas clases de equivalencia se asignan por en el mismo elemento del codominio, esto induce una biyección entre el conjunto cociente por esta relación de equivalencia (el conjunto de las clases de equivalencia) y la imagen de (que es su codominio cuando es sobreyectiva). Además, f es la composición de la proyección canónica de f al conjunto cociente, y la biyección entre el conjunto cociente y el codominio de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• La composición de dos sobreyecciones es nuevamente una sobreyección, pero si es sobreyectiva, entonces solo se puede concluir que es sobreyectiva (ver figura). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle g}$

Biyección

Composición biyectiva: la primera función no necesita ser sobreyectiva y la segunda función no necesita ser inyectiva.

Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Una función biyectiva también se denomina biyección o correspondencia uno a uno (no debe confundirse con función uno a uno , que se refiere a la inyección). Una función es biyectiva si y solo si cada imagen posible se asigna a exactamente un argumento. ^[1] Esta condición equivalente se expresa formalmente de la siguiente manera:

La función es biyectiva, si para todo , existe un único tal que ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$

A continuación se presentan algunos datos relacionados con las biyecciones:

• Una función es biyectiva si y solo si es invertible, es decir, existe una función tal que función identidad en y función identidad en . Esta función asigna cada imagen a su preimagen única. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ ${\displaystyle g\circ f=}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ g=}$ ${\displaystyle Y}$
• La composición de dos biyecciones es nuevamente una biyección, pero si es una biyección, entonces solo se puede concluir que es inyectiva y es sobreyectiva (ver la figura de la derecha y las observaciones anteriores sobre inyecciones y sobreyecciones). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• Las biyecciones de un conjunto hacia sí mismo forman un grupo bajo composición, llamado grupo simétrico .

Cardinalidad

Supongamos que se desea definir qué significa que dos conjuntos "tengan el mismo número de elementos". Una forma de hacerlo es decir que dos conjuntos "tienen el mismo número de elementos", si y solo si todos los elementos de un conjunto pueden emparejarse con los elementos del otro, de tal manera que cada elemento esté emparejado con exactamente un elemento. En consecuencia, se puede definir que dos conjuntos "tienen el mismo número de elementos", si existe una biyección entre ellos. En cuyo caso, se dice que los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad .

De la misma manera, se puede decir que un conjunto "tiene menos o el mismo número de elementos" que el conjunto , si hay una inyección de a ; también se puede decir que un conjunto "tiene menos que el número de elementos" en el conjunto , si hay una inyección de a , pero no una biyección entre y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplos

Es importante especificar el dominio y el codominio de cada función, ya que al cambiarlos, funciones que parecen iguales pueden tener propiedades diferentes.

Inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

• La función identidad id _X para cada conjunto no vacío X , y por lo tanto específicamente ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x.}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}}$, y por tanto también su inversa ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.}$
• La función exponencial (es decir, la función exponencial con su codominio restringido a su imagen), y por tanto también su inversa el logaritmo natural Aquí, denota los números reales positivos . ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}.}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}}$

Inyectiva y no sobreyectiva

• La función exponencial ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}.}$

No inyectiva y sobreyectiva

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).}$

No inyectiva y no sobreyectiva

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{2}}$

Propiedades

• Para cada función f , sea X un subconjunto del dominio e Y un subconjunto del codominio. Siempre se tiene X ⊆ f ⁻¹ ( f ( X )) y f ( f ⁻¹ ( Y )) ⊆ Y , donde f ( X ) es la imagen de X y f ⁻¹ ( Y ) es la preimagen de Y bajo f . Si f es inyectiva, entonces X = f ⁻¹ ( f ( X )) , y si f es sobreyectiva, entonces f ( f ⁻¹ ( Y )) = Y .
• Para cada función h  : X → Y , se puede definir una sobreyección H  : X → h ( X ) : x → h ( x ) y una inyección I  : h ( X ) → Y  : y → y . De ello se sigue que ⁠ ⁠ ${\displaystyle h=I\circ H}$ . Esta descomposición como composición de una sobreyección y una inyección es única salvo un isomorfismo, en el sentido de que, dada tal descomposición, existe una única biyección tal que y para cada ${\displaystyle \varphi :h(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle H(x)=\varphi (h(x))}$ ${\displaystyle I(\varphi (h(x)))=h(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Teoría de categorías

En la categoría de conjuntos , las inyecciones, sobreyecciones y biyecciones corresponden precisamente a monomorfismos , epimorfismos e isomorfismos , respectivamente. ^[5]

Historia

El Oxford English Dictionary registra el uso de la palabra inyección como sustantivo por S. Mac Lane en Bulletin of the American Mathematical Society (1950), y de inyectivo como adjetivo por Eilenberg y Steenrod en Foundations of Algebraic Topology (1952). ^[6]

Sin embargo, no fue hasta que el grupo francés Bourbaki acuñó la terminología inyectiva-sobreyectiva-biyectiva (tanto como sustantivos como adjetivos) que lograron una adopción generalizada. ^[7]

Véase también

• Prueba de línea horizontal
• Módulo inyectivo
• Permutación

Referencias

1. "Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva". www.mathsisfun.com . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
2. "Biyección, inyección y sobreyección | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
3. Farlow, SJ "Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . math.umaine.edu . Archivado desde el original (PDF) el 2020-01-10 . Consultado el 2019-12-06 .
4. «6.3: Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones». Mathematics LibreTexts . 2017-09-20 . Consultado el 2019-12-07 .
5. "Sección 7.3 (00V5): Mapas inyectivos y sobreyectivos de prehaces: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
6. "Usos más antiguos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (I)". jeff560.tripod.com . Consultado el 11 de junio de 2022 .
7. Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki. Sociedad Americana de Matemáticas. pág. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

Enlaces externos

• Usos más tempranos de algunas palabras de las matemáticas: la entrada sobre inyección, sobreyección y biyección tiene la historia de la inyección y términos relacionados.