Contraposición

Concepto de lógica matemática

En lógica y matemáticas , la contraposición o transposición se refiere a la inferencia de pasar de un enunciado condicional a su contrapositivo lógicamente equivalente , y a un método de prueba asociado conocido como § Prueba por contrapositivo. El contrapositivo de un enunciado tiene su antecedente y su consecuente invertidos y volteados .

Enunciado condicional . En fórmulas : el contrapositivo dees. ^[1] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Si P , entonces Q. — Si no Q , entonces no P. " Si está lloviendo, entonces me pongo mi abrigo" . — "Si no me pongo mi abrigo, entonces no está lloviendo".

La ley de contraposición dice que un enunciado condicional es verdadero si, y sólo si, su contrapositivo es verdadero. ^[2]

La contraposición ( ) se puede comparar con otras tres operaciones: ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Inversión (la inversa ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

"Si no llueve, no me pongo el abrigo " . A diferencia de la proposición contrapositiva, el valor de verdad de la proposición inversa no depende en absoluto de si la proposición original era verdadera o no, como se evidencia aquí.

Conversión (lo inverso ), ${\displaystyle Q\rightarrow P}$

"Si llevo mi abrigo, entonces está lloviendo ". La recíproca es en realidad la contrapositiva de la inversa, y por lo tanto siempre tiene el mismo valor de verdad que la inversa (que, como se dijo anteriormente, no siempre comparte el mismo valor de verdad que el de la proposición original).

Negación (el complemento lógico ), ${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

" No es el caso que si llueve me pongo el abrigo ", o equivalentemente, " A veces, cuando llueve, no me pongo el abrigo ". Si la negación es verdadera, entonces la proposición original (y por extensión la contrapositiva) es falsa.

Nótese que si es verdadero y se da uno que es falso (es decir, ), entonces se puede concluir lógicamente que también debe ser falso (es decir, ). Esto a menudo se denomina ley de contraposición o regla de inferencia modus tollens . ^[3] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$

Explicación intuitiva

En el diagrama de Euler que se muestra, si algo está en A, debe estar también en B. Por lo tanto, podemos interpretar "todo A está en B" como:

${\displaystyle A\to B}$

También está claro que todo lo que no está dentro de B (la región azul) tampoco puede estar dentro de A. Esta afirmación, que se puede expresar como:

${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

es la contraposición de la afirmación anterior. Por lo tanto, se puede decir que

${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).}$

En la práctica, esta equivalencia se puede utilizar para facilitar la demostración de una afirmación. Por ejemplo, si se desea demostrar que todas las niñas de los Estados Unidos (A) tienen el pelo castaño (B), se puede intentar demostrarlo directamente comprobando que todas las niñas de los Estados Unidos tienen efectivamente el pelo castaño, o bien intentar demostrarlo comprobando que todas las niñas sin pelo castaño están efectivamente fuera de los Estados Unidos. En particular, si se encontrara al menos una niña sin pelo castaño dentro de los Estados Unidos, se habría refutado , y equivalentemente . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle A\to B}$

En general, para cualquier afirmación donde A implica B , no B siempre implica no A. Como resultado, probar o refutar cualquiera de estas afirmaciones automáticamente prueba o refuta la otra, ya que son lógicamente equivalentes entre sí.

Definición formal

Una proposición Q está implicada por una proposición P cuando se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle (P\to Q)}$

Esto establece que, "si , entonces ", o, "si Sócrates es un hombre , entonces Sócrates es humano ". En un condicional como este, es el antecedente y es el consecuente . Un enunciado es el contrapositivo del otro solo cuando su antecedente es el consecuente negado del otro, y viceversa. Por lo tanto, un contrapositivo generalmente toma la forma: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle (\neg Q\to \neg P).}$

Es decir, "Si no- , entonces no- ", o, más claramente, "Si no es el caso, entonces P no es el caso". Usando nuestro ejemplo, esto se traduce como "Si Sócrates no es humano , entonces Sócrates no es un hombre ". Se dice que esta afirmación está contrapuesta a la original y es lógicamente equivalente a ella. Debido a su equivalencia lógica , afirmar una afirma efectivamente la otra; cuando una es verdadera , la otra también es verdadera, y cuando una es falsa, la otra también es falsa. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Estrictamente hablando, una contraposición sólo puede existir en dos condicionales simples. Sin embargo, una contraposición también puede existir en dos condicionales universales complejos, si son similares. Así, , o "Todos los s son s", se contrapone a , o "Todos los no- s son no- s". ^[4] ${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Notación secuencial

La regla de transposición puede expresarse como una secuencia :

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),}$

donde es un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de en algún sistema lógico; o como regla de inferencia: ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$ ${\displaystyle (P\to Q)}$

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},}$

donde la regla es que siempre que aparezca una instancia de " " en una línea de una prueba, puede reemplazarse por " "; o como el enunciado de una tautología veritativo-funcional o teorema de lógica proposicional. El principio fue enunciado como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),}$

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Pruebas

Demostración simple por definición de un condicional

En lógica de primer orden , el condicional se define como:

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

que puede hacerse equivalente a su contrapositivo, como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}}$

Prueba simple por contradicción

Dejar:

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

Se da por sentado que, si A es verdadero, entonces B es verdadero, y también se da por sentado que B no es verdadero. Podemos entonces demostrar que A no debe ser verdadero por contradicción. Porque si A fuera verdadero, entonces B también tendría que ser verdadero (por Modus Ponens ). Sin embargo, se da por sentado que B no es verdadero, por lo que tenemos una contradicción. Por lo tanto, A no es verdadero (suponiendo que estamos tratando con enunciados bivalentes que son verdaderos o falsos):

${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$

Podemos aplicar el mismo proceso en sentido inverso, partiendo de los supuestos de que:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\land A}$

Aquí también sabemos que B es verdadero o falso. Si B no es verdadero, entonces A tampoco es verdadero. Sin embargo, se da que A es verdadero, por lo que la suposición de que B no es verdadero conduce a una contradicción, lo que significa que no es cierto que B no sea verdadero. Por lo tanto, B debe ser verdadero:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

Combinando las dos afirmaciones probadas, obtenemos la equivalencia lógica buscada entre un condicional y su contrapositivo:

${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$

Prueba más rigurosa de la equivalencia de los contrapositivos

La equivalencia lógica entre dos proposiciones significa que son verdaderas juntas o falsas juntas. Para demostrar que las contrapositivas son lógicamente equivalentes , necesitamos entender cuándo la implicación material es verdadera o falsa.

${\displaystyle P\to Q}$

Esto sólo es falso cuando es verdadero y es falso. Por lo tanto, podemos reducir esta proposición al enunciado “Falso cuando y no- ” (es decir, “Verdadero cuando no se da el caso de que y no- ”): ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

Los elementos de una conjunción se pueden invertir sin efecto (por conmutatividad ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

Definimos como igual a " ", y como igual a (de aquí, es igual a , que es igual a simplemente ): ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle \neg S}$ ${\displaystyle \neg \neg P}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

Esto dice "No es el caso que ( R sea verdadero y S sea falso)", que es la definición de un condicional material. Podemos entonces hacer esta sustitución:

${\displaystyle R\to S}$

Al revertir R y S nuevamente en y , obtenemos el contrapositivo deseado: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

En el sistema de cálculo proposicional clásico

En los sistemas deductivos de tipo Hilbert para la lógica proposicional, sólo un lado de la transposición se toma como axioma y el otro como teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :

A1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A3) ya da una de las direcciones de la transposición. El otro lado, , se demuestra a continuación, utilizando los siguientes lemas demostrados aquí : ${\displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )}$

(DN1) - Doble negación (una dirección) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(DN2) - Doble negación (otra dirección) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(HS1) - una forma de silogismo hipotético ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(HS2) - otra forma de silogismo hipotético . ${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$

También utilizamos el método del metateorema del silogismo hipotético como abreviatura de varios pasos de prueba.

La prueba es la siguiente:

1. ${\displaystyle q\to \neg \neg q}$       (instancia del (DN2))
2. ${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$       (instancia del (HS1)
3. ${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$       (de (1) y (2) por modus ponens)
4. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$       (instancia del (DN1))
5. ${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$       (instancia del (HS2))
6. ${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       (de (4) y (5) por modus ponens)
7. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       (de (3) y (6) utilizando el metateorema del silogismo hipotético)
8. ${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$       (instancia de (A3))
9. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$       (de (7) y (8) utilizando el metateorema del silogismo hipotético)

Comparaciones

Ejemplos

Tomemos la afirmación " Todos los objetos rojos tienen color ". Esto se puede expresar de forma equivalente como " Si un objeto es rojo, entonces tiene color " .

• La contraposición es: " Si un objeto no tiene color, entonces no es rojo ". Esto se desprende lógicamente de nuestra afirmación inicial y, como ella, es evidentemente cierto.
• La inversa es " Si un objeto no es rojo, entonces no tiene color ". Un objeto que es azul no es rojo y aun así tiene color. Por lo tanto, en este caso la inversa es falsa.
• La inversa es " Si un objeto tiene color, entonces es rojo ". Los objetos pueden tener otros colores, por lo que la inversa de nuestra afirmación es falsa.
• La negación es " Existe un objeto rojo que no tiene color ". Esta afirmación es falsa porque la afirmación inicial que niega es verdadera.

En otras palabras, el contrapositivo es lógicamente equivalente a un enunciado condicional dado , aunque no es suficiente para un bicondicional .

De manera similar, tomemos la afirmación " Todos los cuadriláteros tienen cuatro lados ", o, expresado de manera equivalente, " Si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados " .

• El contrapositivo es " Si un polígono no tiene cuatro lados, entonces no es un cuadrilátero ". Esto se sigue lógicamente y, por regla general, los contrapositivos comparten el valor de verdad de su condicional.
• La inversa es " Si un polígono no es un cuadrilátero, entonces no tiene cuatro lados ". En este caso, a diferencia del último ejemplo, la inversa de la afirmación es verdadera.
• La inversa es: " Si un polígono tiene cuatro lados, entonces es un cuadrilátero ". Nuevamente, en este caso, a diferencia del último ejemplo, la inversa de la afirmación es verdadera.
• La negación es " Hay al menos un cuadrilátero que no tiene cuatro lados ". Esta afirmación es claramente falsa.

Como tanto la afirmación como la recíproca son verdaderas, se denomina bicondicional y se puede expresar como " Un polígono es un cuadrilátero si, y solo si, tiene cuatro lados ". (La frase si y solo si a veces se abrevia como si y solo si ). Es decir, tener cuatro lados es necesario para ser un cuadrilátero y suficiente por sí solo para considerarlo un cuadrilátero.

Verdad

• Si una afirmación es verdadera, entonces su contrapositiva es verdadera (y viceversa).
• Si una afirmación es falsa, entonces su contrapositiva es falsa (y viceversa).
• Si la inversa de una afirmación es verdadera, entonces su recíproco es verdadero (y viceversa).
• Si la inversa de una afirmación es falsa, entonces su recíproca es falsa (y viceversa).
• Si la negación de un enunciado es falsa, entonces el enunciado es verdadero (y viceversa).
• Si una afirmación (o su contrapositiva) y la inversa (o la recíproca) son ambas verdaderas o ambas falsas, entonces se la conoce como bicondicional lógica .

Lógica tradicional

En la lógica tradicional , la contraposición es una forma de inferencia inmediata en la que una proposición se infiere de otra y donde la primera tiene por sujeto lo contradictorio del predicado de la proposición lógica original . En algunos casos, la contraposición implica un cambio de la cualidad de la primera (es decir, afirmación o negación). ^[5] Para su expresión simbólica en la lógica moderna, véase la regla de transposición . La contraposición también tiene una aplicación filosófica distinta de los otros procesos de inferencia tradicionales de conversión y obversión donde la equivocación varía con diferentes tipos de proposiciones.

En la lógica tradicional , el proceso de contraposición es un esquema compuesto de varios pasos de inferencia que involucran proposiciones categóricas y clases . ^[6] Una proposición categórica contiene un sujeto y un predicado donde el impacto existencial de la cópula implica que la proposición se refiere a una clase con al menos un miembro , en contraste con la forma condicional de proposiciones hipotéticas o materialmente implicativas , que son compuestos de otras proposiciones, por ejemplo, "Si P, entonces Q" (P y Q son ambas proposiciones), y su impacto existencial depende de otras proposiciones donde se instancia la existencia de cuantificación (instanciación existencial), no de las proposiciones hipotéticas o materialmente implicativas en sí mismas.

La contraposición completa es el intercambio y negación simultáneos del sujeto y predicado, y es válida sólo para las proposiciones de tipo "A" y tipo "O" de la lógica aristotélica , mientras que es condicionalmente válida para las proposiciones de tipo "E" si se realiza un cambio en la cantidad de universal a particular ( contraposición parcial ). Dado que el reverso válido se obtiene para los cuatro tipos (tipos A, E, I y O) de proposiciones tradicionales, produciendo proposiciones con el contradictorio del predicado original, la contraposición (completa) se obtiene convirtiendo el obvertido de la proposición original. Para los enunciados "E", la contraposición parcial se puede obtener haciendo además un cambio en la cantidad. Dado que no se dice nada en la definición de contraposición con respecto al predicado de la proposición inferida , puede ser el sujeto original o su contradictorio, lo que resulta en dos contrapositivos que son los obvertidos uno del otro en las proposiciones de tipo "A", "O" y "E". ^[7]

Por ejemplo: a partir de una proposición categórica original, de tipo 'A',

Todos los residentes son votantes ,

lo que presupone que todas las clases tienen miembros y el significado existencial se presume en forma de proposiciones categóricas, se puede derivar primero por obversión la proposición de tipo 'E',

Ningún residente es no votante .

La contrapositiva de la proposición original se deriva entonces por conversión a otra proposición de tipo 'E',

No son residentes los no votantes .

El proceso se completa con una obversión adicional que da como resultado la proposición de tipo "A", que es la contrapositiva obvertida de la proposición original.

Todos los no votantes son no residentes .

El esquema de contraposición: ^[8]

Obsérvese que la contraposición es una forma válida de inferencia inmediata solo cuando se aplica a las proposiciones "A" y "O". No es válida para las proposiciones "I", donde el reverso es una proposición "O" que no tiene un recíproco válido . La contraposición de la proposición "E" es válida solo con limitaciones ( per accidens ). Esto se debe a que el reverso de la proposición "E" es una proposición "A" que no se puede convertir válidamente excepto por limitación, es decir, contraposición más un cambio en la cantidad de la proposición de universal a particular .

Además, nótese que la contraposición es un método de inferencia que puede requerir el uso de otras reglas de inferencia. El contrapositivo es el producto del método de contraposición, con diferentes resultados según que la contraposición sea total o parcial. Las aplicaciones sucesivas de la conversión y la obversión dentro del proceso de contraposición pueden recibir diversos nombres.

El proceso de equivalencia lógica de un enunciado y su contrapositivo, tal como se define en la lógica de clases tradicional, no es uno de los axiomas de la lógica proposicional . En la lógica tradicional se infiere más de un contrapositivo de cada enunciado original. En lo que respecta a la proposición "A", esto se evita en el simbolismo de la lógica moderna mediante la regla de transposición o la ley de contraposición. En su uso técnico dentro del campo de la lógica filosófica, los lógicos (por ejemplo, Irving Copi , Susan Stebbing ) pueden limitar el término "contraposición" a la lógica tradicional y a las proposiciones categóricas. En este sentido, el uso del término "contraposición" suele denominarse "transposición" cuando se aplica a proposiciones hipotéticas o implicaciones materiales.

Forma de transposición

En la proposición inferida, el consecuente es el contradictorio del antecedente en la proposición original, y el antecedente de la proposición inferida es el contradictorio del consecuente de la proposición original. El símbolo de implicación material significa que la proposición es hipotética o en forma "si-entonces", por ejemplo, "si P , entonces Q ".

El enunciado bicondicional de la regla de transposición (↔) se refiere a la relación entre proposiciones hipotéticas (→) , en la que cada proposición incluye un término antecedente y consecuente. Como cuestión de inferencia lógica, transponer o convertir los términos de una proposición requiere la conversión de los términos de las proposiciones de ambos lados de la relación bicondicional, lo que significa que transponer o convertir ( P → Q ) en ( Q → P ) requiere que la otra proposición, (¬ Q → ¬ P ), se transponga o convierta en (¬ P → ¬ Q ). De lo contrario, convertir los términos de una proposición y no de la otra hace que la regla sea inválida, violando la condición suficiente y la condición necesaria de los términos de las proposiciones, donde la violación es que la proposición cambiada comete la falacia de negar el antecedente o afirmar el consecuente por medio de una conversión ilícita .

La verdad de la regla de transposición depende de las relaciones de condición suficiente y condición necesaria en lógica.

Condición suficiente

En la proposición “Si P , entonces Q ”, la ocurrencia de P es razón suficiente para la ocurrencia de Q. P , como individuo o como clase, implica materialmente a Q , pero la relación de Q con P es tal que la proposición inversa “Si Q , entonces P ” no tiene necesariamente condición suficiente. La regla de inferencia para la condición suficiente es modus ponens , que es un argumento para la implicación condicional:

1. Premisa (1): Si P , entonces Q
2. Premisa (2): P
3. Conclusión: Por lo tanto, Q

Condición necesaria

Como la inversa de la premisa (1) no es válida, todo lo que se puede afirmar de la relación entre P y Q es que en ausencia de Q , P no ocurre, lo que significa que Q es la condición necesaria para P. La regla de inferencia para la condición necesaria es modus tollens :

1. Premisa (1): Si P , entonces Q
2. Premisa (2): no Q
3. Conclusión: Por lo tanto, no P

Ejemplo de necesidad y suficiencia

Un ejemplo que los lógicos utilizan tradicionalmente para contrastar las condiciones necesarias y suficientes es la afirmación "Si hay fuego, entonces hay oxígeno presente". Un ambiente oxigenado es necesario para que haya fuego o combustión, pero el simple hecho de que haya un ambiente oxigenado no significa necesariamente que haya fuego o combustión. Si bien se puede inferir que el fuego estipula la presencia de oxígeno, de la presencia de oxígeno no se puede inferir la inversa "Si hay oxígeno presente, entonces hay fuego". Todo lo que se puede inferir de la proposición original es que "Si no hay oxígeno presente, entonces no puede haber fuego".

Relación de proposiciones

El símbolo del bicondicional ("↔") significa que la relación entre las proposiciones es a la vez necesaria y suficiente, y se verbaliza como " si y sólo si ", o, según el ejemplo "Si P , entonces Q 'si y sólo si' si no Q , entonces no P ".

Las condiciones necesarias y suficientes pueden explicarse por analogía en términos de los conceptos y las reglas de inferencia inmediata de la lógica tradicional. En la proposición categórica "Todo S es P ", se dice que el término sujeto S está distribuido, es decir, todos los miembros de su clase se agotan en su expresión. A la inversa, no se puede decir que el término predicado P esté distribuido o agotado en su expresión porque es indeterminado si cada instancia de un miembro de P como clase es también un miembro de S como clase. Todo lo que se puede inferir válidamente es que "Algunos P son S ". Por lo tanto, la proposición de tipo "A" "Todo P es S " no se puede inferir por conversión de la proposición de tipo "A" original "Todo S es P ". Todo lo que se puede inferir es la proposición de tipo "A" "Todo no- P es no -S " (nótese que ( P → Q ) y (¬ Q → ¬ P ) son ambas proposiciones de tipo "A"). Gramaticalmente, no se puede inferir "todos los mortales son hombres" a partir de "todos los hombres son mortales". Una proposición de tipo "A" solo se puede inferir inmediatamente por conversión cuando tanto el sujeto como el predicado están distribuidos, como en la inferencia "todos los solteros son hombres solteros" a partir de "todos los hombres solteros son solteros".

Se distingue de la transposición

Aunque la mayoría de los autores utilizan los términos para lo mismo, algunos autores distinguen transposición de contraposición. En la lógica tradicional, el proceso de razonamiento de transposición como regla de inferencia se aplica a proposiciones categóricas a través de contraposición y obversión , ^[9] una serie de inferencias inmediatas donde la regla de obversión se aplica primero a la proposición categórica original "Todo S es P "; produciendo el reverso "Ningún S es no- P ". En la obversión de la proposición original a una proposición de tipo "E", ambos términos se distribuyen. El reverso se convierte entonces, dando como resultado "Ningún no- P es S ", manteniendo la distribución de ambos términos. El "Ningún no -P es S " se vuelve a obvertir, dando como resultado el [contrapositivo] "Todo no- P es no- S ". Dado que nada se dice en la definición de contraposición con respecto al predicado de la proposición inferida, es permisible que pueda ser el sujeto original o su contradictorio, y el término predicado de la proposición de tipo "A" resultante vuelve a ser no distribuido. Esto da como resultado dos contrapositivos, uno en el que el término predicado está distribuido y otro en el que el término predicado no está distribuido. ^[10]

La contraposición es un tipo de inferencia inmediata en la que a partir de una proposición categórica dada se infiere otra proposición categórica que tiene como sujeto el contradictorio del predicado original. Como nada se dice en la definición de contraposición con respecto al predicado de la proposición inferida, es admisible que pueda ser el sujeto original o su contradictorio. Esto está en contraposición con la forma de las proposiciones de transposición, que pueden ser implicación material o un enunciado hipotético. La diferencia es que en su aplicación a las proposiciones categóricas el resultado de la contraposición son dos contrapositivos, cada uno de los cuales es el obverso del otro, ^[11] es decir, "Ningún no -P es S " y "Todo no- P es no- S ". La distinción entre los dos contrapositivos es absorbida y eliminada en el principio de transposición, que presupone las "inferencias mediatas" ^[12] de la contraposición y también se conoce como la "ley de contraposición". ^[13]

Prueba por contraposición

Debido a que el contrapositivo de un enunciado siempre tiene el mismo valor de verdad (verdad o falsedad) que el enunciado mismo, puede ser una herramienta poderosa para probar teoremas matemáticos (especialmente si la verdad del contrapositivo es más fácil de establecer que la verdad del enunciado mismo). Una prueba por contrapositivo es una prueba directa del contrapositivo de un enunciado. ^[14] Sin embargo, los métodos indirectos como la prueba por contradicción también se pueden utilizar con la contraposición, como, por ejemplo, en la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Por la definición de un número racional , se puede hacer la afirmación de que " Si es racional, entonces puede expresarse como una fracción irreducible ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ". Esta afirmación es verdadera porque es una reformulación de una definición. El contrapositivo de esta afirmación es " Si no puede expresarse como una fracción irreducible, entonces no es racional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ". Esta contrapositiva, al igual que la afirmación original, también es verdadera. Por lo tanto, si se puede demostrar que no se puede expresar como fracción irreducible, entonces debe darse el caso de que no sea un número racional. Esto último se puede demostrar por contradicción. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El ejemplo anterior empleó el contrapositivo de una definición para demostrar un teorema. También se puede demostrar un teorema demostrando el contrapositivo del enunciado del teorema. Para demostrar que si un entero positivo N es un número no cuadrado , su raíz cuadrada es irracional , podemos demostrar de manera equivalente su contrapositivo, que si un entero positivo N tiene una raíz cuadrada que es racional, entonces N es un número cuadrado. Esto se puede demostrar haciendo √ N igual a la expresión racional a/b con a y b siendo enteros positivos sin factor primo común, y elevando al cuadrado para obtener N = a ² / b ² y notando que dado que N es un entero positivo b =1 de modo que N = a ² , un número cuadrado.

En matemáticas , la prueba por contraposición o prueba por contraposición es una regla de inferencia utilizada en demostraciones , donde se infiere un enunciado condicional a partir de su contraposición. ^[15] En otras palabras, la conclusión "si A , entonces B " se infiere construyendo una prueba de la afirmación "si no B , entonces no A ". En la mayoría de los casos, se prefiere este enfoque si el contrapositivo es más fácil de demostrar que el enunciado condicional original.

Lógicamente, la validez de la prueba por contraposición se puede demostrar mediante el uso de la siguiente tabla de verdad , donde se muestra que p → q y q → p comparten los mismos valores de verdad en todos los escenarios: ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle \lnot }$

Diferencia con la prueba por contradicción

Demostración por contradicción : Supongamos (por contradicción) quees verdad. Usemos esta suposición para demostrar una contradicción . De ello se deduce quees falso, por lo quees verdadero. ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A}$

Demostración por contraposición : Para demostrar , prueba su enunciado contrapositivo, que es . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

Ejemplo

Sea un número entero. ${\displaystyle x}$

Para demostrar: Si es par, entonces es par. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

Aunque se puede dar una prueba directa , optamos por demostrar esta afirmación por contraposición. La contraposición de la afirmación anterior es:

Si no es par, entonces no es par. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Esta última afirmación se puede demostrar de la siguiente manera: supongamos que x no es par, entonces x es impar. El producto de dos números impares es impar, por lo tanto es impar. Por lo tanto, no es par. ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Habiendo demostrado el contrapositivo, podemos entonces inferir que el enunciado original es verdadero. ^[16]

En lógicas no clásicas

Lógica intuicionista

En la lógica intuicionista , no se puede demostrar que el enunciado sea equivalente a . Podemos demostrar que implica (ver más abajo), pero la implicación inversa, de a , requiere la ley del tercero excluido o un axioma equivalente. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$

Supongamos (suposición inicial) ${\displaystyle P\to Q}$

Asumir ${\displaystyle Q\to \bot }$

De y , concluimos ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to \bot }$ ${\displaystyle P\to \bot }$

Supuesto de descarga; concluir ${\displaystyle (Q\to \bot )\to (P\to \bot )}$

Convirtiéndose en , concluir ${\displaystyle (A\to \bot )}$ ${\displaystyle \lnot A}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Supuesto de descarga; concluir . ${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$

Lógica subjetiva

La contraposición representa una instancia del teorema de Bayes subjetivo en la lógica subjetiva expresada como:

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,}$

donde denota un par de opiniones condicionales binomiales dadas por la fuente . El parámetro denota la tasa base (también conocida como la probabilidad previa ) de . El par de opiniones condicionales derivadas invertidas se denota . La opinión condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO, la fuente puede asignar cualquier opinión subjetiva al enunciado. El caso donde es una opinión VERDADERA absoluta es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERA, y el caso donde es una opinión FALSA absoluta es equivalente a que la fuente diga que es FALSA. En el caso en que la opinión condicional es VERDADERA absoluta, el operador del teorema de Bayes subjetivo de la lógica subjetiva produce una opinión condicional derivada absolutamente FALSA y, por lo tanto, una opinión condicional derivada absolutamente VERDADERA que es equivalente a ser VERDADERA. Por lo tanto, el teorema de Bayes subjetivo representa una generalización tanto de la contraposición como del teorema de Bayes . ^[17] ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

En la teoría de la probabilidad

La contraposición representa una instancia del teorema de Bayes que en una forma específica puede expresarse como:

${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.}$

En la ecuación anterior, la probabilidad condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO, también podemos asignar cualquier probabilidad al enunciado. El término denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de . Supongamos que es equivalente a ser VERDADERO, y que es equivalente a ser FALSO. Entonces es fácil ver que cuando , es decir, cuando es VERDADERO. Esto se debe a que de modo que la fracción en el lado derecho de la ecuación anterior es igual a 1, y por lo tanto que es equivalente a ser VERDADERO. Por lo tanto, el teorema de Bayes representa una generalización de la contraposición . ^[18] ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Véase también

• Reducción al absurdo
• Equivalencia lógica

Referencias

1. "Definición de CONTRAPOSITIVO". www.merriam-webster.com . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
2. "La ley de contraposición". beisecker.faculty.unlv.edu . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
3. "Modus ponens y modus tollens | lógica". Enciclopedia Británica . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
4. "Predicados y enunciados cuantificados II". www.csm.ornl.gov . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
5. Brody, Bobuch A. "Glosario de términos lógicos". Enciclopedia de filosofía . Vol. 5-6, pág. 61. Macmillan, 1973. También, Stebbing, L. Susan. Una introducción moderna a la lógica . Séptima edición, págs. 65-66. Harper, 1961, e Introducción a la lógica de Irving Copi , pág. 141, Macmillan, 1953. Todas las fuentes dan definiciones prácticamente idénticas.
6. Introducción a la lógica de Irving Copi , págs. 123-157, Macmillan, 1953.
7. Brody, pág. 61. Macmillan, 1973. También, Stebbing, págs. 65-66, Harper, 1961, y Copi, págs. 141-143, Macmillan, 1953.
8. Stebbing, L. Susan. Una introducción moderna a la lógica . Séptima edición, pág. 66. Harper, 1961.
9. Stebbing 1961, pp. 65-66. Para una referencia al paso inicial de la contraposición como obversión y conversión, véase Copi 1953, p. 141.
10. Véase Stebbing 1961, pp. 65-66. Asimismo, para una referencia a las inferencias inmediatas de obversión, conversión y nuevamente obversión, véase Copi 1953, p. 141.
11. Véase Stebbing 1961, págs. 66.
12. Para una explicación de la absorción de la obversión y la conversión como "inferencias mediatas", véase: Copi 1979, pp. 171-174.
13. Antes de 1973.
14. Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001), Una transición a las matemáticas avanzadas (5.ª ed.), Brooks/Cole, pág. 37, ISBN 0-534-38214-2
15. Cusick, Larry. "Pruebas por contraposición". zimmer.csufresno.edu . Consultado el 26 de octubre de 2019 .
16. Franklin, J .; A. Daoud (2011). Demostración en matemáticas: una introducción. Sydney: Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.(pág. 50).
17. Audun Jøsang 2016:92
18. Audun Jøsang 2016:2

• Brody, Bobuch A. (1973). "Glosario de términos lógicos". Enciclopedia de filosofía . Vol. 5-6. Macmillan. pág. 61 y siguientes.
• Copi, Irving M. (1953). Introducción a la lógica. Macmillan.
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introducción a la lógica . Prentice Hall.
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl; Rodych, Victor (2016). Introducción a la lógica. Taylor & Francis. ISBN 978-1-315-51087-3.
• Copi, Irving M. (1979). Lógica simbólica (5ª ed.). MacMillan.
• Hurley, Patrick J. (2011). Una introducción concisa a la lógica (11.ª ed.). Cengage Learning. ISBN 9780840034175.
• Moore, Brooke Noel; Parker, Richard Burl (2020) [1986]. Pensamiento crítico (13.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill Education. ISBN 978-1-260-80787-5.OCLC 1122695276  .
• Prior, Arthur Norman (1973). "Lógica tradicional". Enciclopedia de filosofía . Vol. 5. Macmillan.
• Stebbing, L. Susan (1961). Una introducción moderna a la lógica (7.ª ed.). Harper.

Fuentes

• Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva: un formalismo para razonar bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 
• Blumberg, Albert E. "Lógica moderna". Enciclopedia de filosofía , vol. 5, Macmillan, 1973.
• Brody, Bobuch A. "Glosario de términos lógicos". Enciclopedia de filosofía. Vol. 5-6, pág. 61. Macmillan, 1973.
• Copi, Irving. Introducción a la lógica . MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Lógica simbólica . MacMillan, 1979, quinta edición.
• Prior, AN "Lógica tradicional". Enciclopedia de filosofía , vol. 5, Macmillan, 1973.
• Stebbing, Susan. Una introducción moderna a la lógica . Cromwell Company, 1931.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Contraposición en Wikimedia Commons
• Transposición incorrecta (archivos de falacias)