En lógica y matemáticas , lo contrario de un enunciado categórico o implicacional es el resultado de invertir sus dos enunciados constituyentes. Para la implicación P → Q , lo inverso es Q → P. Para la proposición categórica Todos los S son P , lo contrario es Todos los P son S. De cualquier manera, la verdad de lo contrario es generalmente independiente de la de la afirmación original. [1]
Sea S un enunciado de la forma P implica Q ( P → Q ). Entonces lo inverso de S es el enunciado Q implica P ( Q → P ). En general, la verdad de S no dice nada acerca de la verdad de su inverso, [2] a menos que el antecedente P y el consecuente Q sean lógicamente equivalentes.
Por ejemplo, considere la afirmación verdadera: "Si soy humano, entonces soy mortal". Lo contrario de esa afirmación es "Si soy mortal, entonces soy humano", lo cual no es necesariamente cierto .
Sin embargo, lo contrario de un enunciado con términos mutuamente inclusivos sigue siendo cierto, dada la verdad de la proposición original. Esto equivale a decir que lo contrario de una definición es verdadero. Por lo tanto, la afirmación "Si soy un triángulo, entonces soy un polígono de tres lados" es lógicamente equivalente a "Si soy un polígono de tres lados, entonces soy un triángulo", porque la definición de "triángulo" es " polígono de tres lados".
Una tabla de verdad deja claro que S y el recíproco de S no son lógicamente equivalentes, a menos que ambos términos se impliquen entre sí:
Pasar de un enunciado a su inverso es la falacia de afirmar el consecuente . Sin embargo, si el enunciado S y su inverso son equivalentes (es decir, P es verdadero si y sólo si Q también es verdadero), entonces afirmar el consecuente será válido.
La implicación inversa es lógicamente equivalente a la disyunción de y
En lenguaje natural, esto podría traducirse como "no Q sin P ".
En matemáticas, lo inverso de un teorema de la forma P → Q será Q → P . Lo contrario puede ser cierto o no, e incluso si fuera cierto, la prueba puede ser difícil. Por ejemplo, el teorema de los cuatro vértices se demostró en 1912, pero su recíproco no se demostró hasta 1997. [3]
En la práctica, al determinar el inverso de un teorema matemático, se pueden tomar aspectos del antecedente como contexto establecido. Es decir, lo inverso de "Dado P, si Q entonces R " será "Dado P, si R entonces Q " . Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se puede expresar como:
Dado un triángulo con lados de longitud , y , si el ángulo opuesto al lado de longitud es un ángulo recto, entonces .
Lo contrario, que también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), puede enunciarse como:
Dado un triángulo con lados de longitud , y , si , entonces el ángulo opuesto al lado de longitud es un ángulo recto.
Si es una relación binaria con entonces la relación inversa también se llama transpuesta . [4]
Lo contrario de la implicación P → Q puede escribirse Q → P , pero también puede anotarse , o "B pq " (en notación de Bocheński ). [ cita necesaria ]
En lógica tradicional, el proceso de cambiar el término sujeto por el término predicado se llama conversión . Por ejemplo, pasar de "No S son P" a su inverso "No P son S" . En palabras de Asa Mahan :
"La proposición original se llama exposita; cuando se convierte, se denomina recíproca. La conversión es válida cuando, y sólo cuando, no se afirma nada en la recíproca que no esté afirmado o implícito en la exposita". [5]
La "exposita" se suele llamar "convertida". En su forma simple, la conversión es válida sólo para las proposiciones E e I : [6]
La validez de la conversión simple sólo para las proposiciones E e I puede expresarse mediante la restricción de que "Ningún término debe distribuirse en el inverso que no esté distribuido en el convertendo". [7] Para las proposiciones E , tanto el sujeto como el predicado están distribuidos , mientras que para las proposiciones I , ninguno de los dos lo está.
Para las proposiciones A , el sujeto está distribuido mientras que el predicado no, por lo que la inferencia de un enunciado A a su inverso no es válida. Como ejemplo, para la proposición A "Todos los gatos son mamíferos", lo contrario "Todos los mamíferos son gatos" es obviamente falso. Sin embargo, la afirmación más débil "Algunos mamíferos son gatos" es cierta. Los lógicos definen la conversión por accidente como el proceso de producir esta declaración más débil. La inferencia de una declaración a su recíproca por accidente es generalmente válida. Sin embargo, como ocurre con los silogismos , este cambio de lo universal a lo particular causa problemas con las categorías vacías: "Todos los unicornios son mamíferos" a menudo se considera cierto, mientras que lo contrario per accidentalmente "Algunos mamíferos son unicornios" es claramente falso.
En el cálculo de predicados de primer orden , todos los S son P se pueden representar como . [8] Por lo tanto, está claro que el recíproco categórico está estrechamente relacionado con el recíproco implicacional, y que S y P no pueden intercambiarse en Todos los S son P.
