En lógica proposicional , la transposición [1] [2] [3] es una regla válida de sustitución que permite cambiar el antecedente con el consecuente de un enunciado condicional en una prueba lógica si ambos también son negados . Es la inferencia de la verdad de " A implica B " a la verdad de "No- B implica no- A ", y viceversa. [4] [5] Está muy relacionado con la regla de inferencia modus tollens . Es la regla que
donde " " es un símbolo metalógico que representa "se puede reemplazar en una prueba con".
La regla de transposición puede expresarse como un secuente :
donde hay un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de en algún sistema lógico;
o como regla de inferencia:
donde la regla es que siempre que aparezca una instancia de " " en una línea de una prueba, se puede reemplazar con " ";
o como el enunciado de una tautología funcional de verdad o un teorema de lógica proposicional. Russell y Whitehead enunciaron el principio como teorema de la lógica proposicional en Principia Mathematica como:
donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal .
En la proposición inferida, el consecuente es el contradictorio del antecedente de la proposición original, y el antecedente de la proposición inferida es el contradictorio del consecuente de la proposición original. El símbolo de implicación material significa la proposición como una forma hipotética o "si-entonces", por ejemplo, "si P, entonces Q".
El enunciado bicondicional de la regla de transposición (↔) se refiere a la relación entre proposiciones hipotéticas (→) , donde cada proposición incluye un término antecente y consecuente. Como cuestión de inferencia lógica, transponer o convertir los términos de una proposición requiere la conversión de los términos de las proposiciones en ambos lados de la relación bicondicional. Es decir, transponer o convertir (P → Q) a (Q → P) requiere que la otra proposición, (~Q → ~P), se transponga o convierta a (~P → ~Q). De lo contrario, convertir los términos de una proposición y no la otra invalida la regla, violando la condición suficiente y la condición necesaria de los términos de las proposiciones, donde la violación es que la proposición cambiada comete la falacia de negar el antecedente o afirmar el consecuente mediante conversión ilícita .
La verdad de la regla de transposición depende de las relaciones de condición suficiente y condición necesaria en lógica.
En la proposición "Si P, entonces Q", la aparición de 'P' es razón suficiente para la aparición de 'Q'. 'P', como individuo o clase, implica materialmente a 'Q', pero la relación de 'Q' con 'P' es tal que la proposición inversa "Si Q entonces P" no tiene necesariamente una condición suficiente. La regla de inferencia para una condición suficiente es modus ponens , que es un argumento a favor de la implicación condicional:
Dado que lo contrario de la premisa (1) no es válido, todo lo que se puede afirmar de la relación entre 'P' y 'Q' es que en ausencia de 'Q', 'P' no ocurre, lo que significa que 'Q' es la condición necesaria para 'P'. La regla de inferencia para la condición necesaria es modus tollens :
Un ejemplo tradicionalmente utilizado por los lógicos que contrastan condiciones suficientes y necesarias es la afirmación "Si hay fuego, entonces hay oxígeno". Un ambiente oxigenado es necesario para el incendio o la combustión, pero el simple hecho de que exista un ambiente oxigenado no significa necesariamente que se esté produciendo un incendio o una combustión. Si bien se puede inferir que el fuego estipula la presencia de oxígeno, de la presencia de oxígeno no se puede inferir lo contrario: "Si hay oxígeno presente, entonces hay fuego". Todo lo que se puede inferir de la proposición original es que "si no hay oxígeno, entonces no puede haber fuego".
El símbolo del bicondicional ("↔") significa que la relación entre las proposiciones es necesaria y suficiente, y se verbaliza como " si y sólo si ", o, según el ejemplo, "Si P entonces Q 'si y sólo si' si no es Q, entonces no es P".
Las condiciones necesarias y suficientes pueden explicarse por analogía en términos de los conceptos y las reglas de inferencia inmediata de la lógica tradicional. En la proposición categórica "Todo S es P", se dice que el término sujeto 'S' está distribuido, es decir, todos los miembros de su clase están agotados en su expresión. A la inversa, no se puede decir que el término predicado 'P' esté distribuido o agotado en su expresión porque es indeterminado si cada instancia de un miembro de 'P' como clase es también miembro de 'S' como clase. Todo lo que se puede inferir válidamente es que "algunos P son S". Por tanto, la proposición de tipo 'A' "Todo P es S" no puede inferirse mediante conversión de la proposición de tipo 'A' original "Todo S es P". Todo lo que se puede inferir es la proposición de tipo "A" "Todo lo que no es P es no S" (tenga en cuenta que (P → Q) y (~Q → ~P) son proposiciones de tipo 'A'). Gramaticalmente, no se puede inferir "todos los mortales son hombres" de "Todos los hombres son mortales". Una proposición de tipo 'A' sólo puede inferirse inmediatamente mediante conversión cuando tanto el sujeto como el predicado están distribuidos, como en la inferencia "Todos los solteros son hombres solteros" a partir de "Todos los hombres solteros son solteros".
En la lógica tradicional, el proceso de razonamiento de transposición como regla de inferencia se aplica a proposiciones categóricas mediante contraposición y obversión , [6] una serie de inferencias inmediatas donde la regla de obversión se aplica primero a la proposición categórica original "Todo S es P" ; dando como resultado el anverso "No S es no P". En la conversión de la proposición original a una proposición de tipo 'E', ambos términos quedan distribuidos. Luego se convierte el anverso, lo que da como resultado "Ningún distinto de P es S", manteniendo la distribución de ambos términos. El "Ningún no-P es S" se obvierte nuevamente, lo que resulta en el [contrapositivo] "Todo lo que no es P es no-S". Dado que en la definición de contraposición no se dice nada con respecto al predicado de la proposición inferida, es permisible que pueda ser el sujeto original o su contradictorio, y el término predicado de la proposición tipo 'A' resultante nuevamente no está distribuido. Esto da como resultado dos contrapositivos, uno donde el término predicado está distribuido y otro donde el término predicado no está distribuido. [7]
Tenga en cuenta que no se debe confundir el método de transposición y contraposición. La contraposición es un tipo de inferencia inmediata en la que de una proposición categórica dada se infiere otra proposición categórica que tiene como sujeto el contradictorio del predicado original. Como en la definición de contraposición no se dice nada respecto del predicado de la proposición inferida, es lícito que pueda ser el sujeto original o su contradictorio. Esto contrasta con la forma de las proposiciones de transposición, que pueden ser una implicación material o una afirmación hipotética. La diferencia es que en su aplicación a proposiciones categóricas el resultado de la contraposición son dos contrapositivos, siendo cada uno el obverso del otro, [8] es decir, "Ningún no-P es S" y "Todo no-P es no-S". La distinción entre los dos contrapositivos es absorbida y eliminada en el principio de transposición, que presupone las "inferencias mediatas" [9] de la contraposición y que también se denomina "ley de contraposición". [10]
En los sistemas deductivos de lógica proposicional al estilo de Hilbert , sólo un lado de la transposición se toma como axioma y el otro como teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :
(A3) ya da una de las direcciones de la transposición. El otro lado, se prueba a continuación, utilizando los siguientes lemas probados aquí :
También utilizamos el método del metateorema del silogismo hipotético como abreviatura de varios pasos de demostración.
La prueba es como sigue:
