material condicional

Conectivo lógico

El condicional material (también conocido como implicación material ) es una operación comúnmente utilizada en lógica . Cuando el símbolo condicional se interpreta como una implicación material, una fórmula es verdadera a menos que sea verdadera y falsa. La implicación material también puede caracterizarse inferencialmente mediante el modus ponens , el modus tollens , la prueba condicional y la reductio ad absurdum clásica . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

La implicación material se utiliza en todos los sistemas básicos de la lógica clásica , así como en algunas lógicas no clásicas . Se asume como modelo de razonamiento condicional correcto dentro de las matemáticas y sirve como base para comandos en muchos lenguajes de programación . Sin embargo, muchas lógicas reemplazan la implicación material con otros operadores como el condicional estricto y el condicional variablemente estricto . Debido a las paradojas de la implicación material y los problemas relacionados, la implicación material generalmente no se considera un análisis viable de oraciones condicionales en lenguaje natural .

Notación

En lógica y campos relacionados, el condicional material habitualmente se anota con un operador infijo . ^[1] El condicional material también se anota utilizando los infijos y . En la notación polaca con prefijo , los condicionales se anotan como . En una fórmula condicional , la subfórmula se denomina antecedente y se denomina consecuente del condicional. Las declaraciones condicionales pueden anidarse de manera que el antecedente o el consecuente puedan ser ellos mismos declaraciones condicionales, como en la fórmula . ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Cpq}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$

Historia

En Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889), Peano expresó la proposición "Si entonces " como Ɔ con el símbolo Ɔ, que es lo opuesto a C. ^[2] También expresó la proposición como Ɔ . ^{[a] [3] [4]} Hilbert expresó la proposición "Si A, entonces B" como en 1918. ^[1] Russell siguió a Peano en sus Principia Mathematica (1910-1913), en los que expresó la proposición "Si A, entonces B " como . Siguiendo a Russell, Gentzen expresó la proposición "Si A, entonces B" como . Heyting expresó la proposición "Si A, entonces B" como al principio, pero luego llegó a expresarla como con una flecha que apunta hacia la derecha. Bourbaki expresó la proposición "Si A, entonces B" como en 1954. ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$

Definiciones

Semántica

Desde una perspectiva semántica , la implicación material es el operador funcional de verdad binaria que devuelve "verdadero" a menos que su primer argumento sea verdadero y su segundo argumento sea falso. Esta semántica se puede mostrar gráficamente en una tabla de verdad como la siguiente.

Mesa de la verdad

La tabla de verdad de p → q:

El tercer y cuarto caso lógico de esta tabla de verdad, donde el antecedente p es falso y p → q es verdadero, se denominan " verdades vacías ". Un ejemplo para el cuarto caso es "Si Marie Curie es hermana de Galileo Galilei , entonces Galileo Galilei es hermano de Marie Curie" .

Definición deductiva

La implicación material también se puede caracterizar deductivamente en términos de las siguientes reglas de inferencia . ^{[ cita necesaria ]}

• Modus ponens
• prueba condicional
• Contraposición clásica
• Reducción clásica al absurdo

A diferencia de la definición semántica, este enfoque de los conectivos lógicos permite el examen de formas proposicionales estructuralmente idénticas en varios sistemas lógicos , donde se pueden demostrar propiedades algo diferentes. Por ejemplo, en la lógica intuicionista , que rechaza las pruebas por contraposición como reglas de inferencia válidas, ( p  →  q ) ⇒ ¬ p  ∨  q no es un teorema proposicional, pero el condicional material se utiliza para definir la negación . ^{[ se necesita aclaración ]}

Propiedades formales

Cuando la disyunción , la conjunción y la negación son clásicas, la implicación material valida las siguientes equivalencias:

• Contraposición: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P}$
• Importación y exportación : ${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• Condicionales negados: ${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• O-y-si: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• Conmutatividad de antecedentes: ${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• Distributividad izquierda : ${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

De manera similar, en las interpretaciones clásicas de los otros conectivos, la implicación material valida las siguientes implicaciones :

• Fortalecimiento de antecedentes: ${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• Condicional vacío : ${\displaystyle \neg P\models P\to Q}$
• Transitividad : ${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• Simplificación de antecedentes disyuntivos : ${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

Las tautologías que implican implicaciones materiales incluyen:

• Reflexividad : ${\displaystyle \models P\to P}$
• Totalidad : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• Medio excluido condicional : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

Discrepancias con el lenguaje natural.

La implicación material no coincide estrechamente con el uso de oraciones condicionales en el lenguaje natural . Por ejemplo, aunque los condicionales materiales con antecedentes falsos son vacuamente verdaderos , la afirmación en lenguaje natural "Si 8 es impar, entonces 3 es primo" normalmente se considera falsa. De manera similar, cualquier condicional material con un consecuente verdadero es en sí mismo verdadero, pero los hablantes suelen rechazar oraciones como "Si tengo un centavo en el bolsillo, entonces París está en Francia". Estos problemas clásicos han sido llamados las paradojas de la implicación material . ^[6] Además de las paradojas, se han dado una variedad de otros argumentos en contra de un análisis de implicaciones materiales. Por ejemplo, todos los condicionales contrafácticos serían vacuamente verdaderos según tal explicación. ^[7]

A mediados del siglo XX, varios investigadores, incluidos H. P. Grice y Frank Jackson, propusieron que los principios pragmáticos podrían explicar las discrepancias entre los condicionales del lenguaje natural y el condicional material. En su opinión, los condicionales denotan implicaciones materiales, pero terminan transmitiendo información adicional cuando interactúan con normas conversacionales como las máximas de Grice . ^{[6] [8]} El trabajo reciente en semántica formal y filosofía del lenguaje generalmente ha evitado la implicación material como análisis de los condicionales del lenguaje natural. ^[8] En particular, dicho trabajo a menudo ha rechazado la suposición de que los condicionales del lenguaje natural son funcionales de verdad en el sentido de que el valor de verdad de "Si P , entonces Q " está determinado únicamente por los valores de verdad de P y Q. ^[6] Así, los análisis semánticos de condicionales suelen proponer interpretaciones alternativas basadas en fundamentos como la lógica modal , la lógica de relevancia , la teoría de la probabilidad y los modelos causales . ^{[8] [6] [9]}

Los psicólogos que estudian el razonamiento condicional han observado discrepancias similares, por ejemplo, en el famoso estudio de tareas de selección de Wason , donde menos del 10% de los participantes razonaron de acuerdo con el condicional material. Algunos investigadores han interpretado este resultado como una falla de los participantes para ajustarse a las leyes normativas del razonamiento, mientras que otros interpretan que los participantes razonan normativamente de acuerdo con leyes no clásicas. ^{[10] [11] [12]}

Ver también

• dominio booleano
• función booleana
• lógica booleana
• Cuantificador condicional
• Cálculo proposicional implicacional
• Leyes de forma
• gráfico lógico
• Equivalencia lógica
• Implicación material (regla de inferencia)
• ley de peirce
• Cálculo proposicional
• Único operador suficiente

Condicionales

• Condicional correspondiente
• Condicional contrafactual
• Condicional indicativo
• Condicional estricto

Notas

1. Tenga en cuenta que el símbolo de herradura Ɔ se ha invertido para convertirse en un símbolo de subconjunto ⊂.

Referencias

1. Hilbert, D. (1918). Prinzipien der Mathematik (Apuntes de conferencias editados por Bernays, P.) .
2. Jean van Heijenoort, ed. (1967). De Frege a Gödel: un libro de consulta sobre lógica matemática, 1879-1931 . Prensa de la Universidad de Harvard. págs. 84–87. ISBN 0-674-32449-8.
3. Michael Nahas (25 de abril de 2022). "Traducción al inglés de" Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita"" (PDF) . GitHub. pag. VI . Consultado el 10 de agosto de 2022 .
4. Mauro ALLEGRANZA (13 de febrero de 2015). "Teoría de conjuntos elementales: ¿Existe alguna conexión entre el símbolo ⊃ cuando significa implicación y su significado como superconjunto?". Intercambio de pilas de matemáticas . Respuesta de Stack Exchange Inc. . Consultado el 10 de agosto de 2022 .
5. Bourbaki, N. (1954). Teoría de los conjuntos . París: Hermann & Cie, Éditeurs. pag. 14.
6. Edgington, Dorothy (2008). "Condicionales". En Edward N. Zalta (ed.). La Enciclopedia de Filosofía de Stanford (edición de invierno de 2008).
7. Starr, voluntad (2019). "Contrafácticos". En Zalta, Edward N. (ed.). La Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
8. Gillies, Thony (2017). "Condicionales" (PDF) . En Hale, B.; Wright, C.; Molinero, A. (eds.). Un compañero de la filosofía del lenguaje . Wiley Blackwell. págs. 401–436. doi :10.1002/9781118972090.ch17. ISBN 9781118972090.
9. von Fintel, Kai (2011). "Condicionales" (PDF) . En von Heusinger, Klaus; Maienborn, Claudia; Portner, Paul (eds.). Semántica: un manual internacional de significado . de Gruyter Mouton. págs. 1515-1538. doi :10.1515/9783110255072.1515. hdl : 1721.1/95781 . ISBN 978-3-11-018523-2.
10. Oaksford, M.; Chater, N. (1994). "Un análisis racional de la tarea de selección como selección óptima de datos". Revisión psicológica . 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . doi :10.1037/0033-295X.101.4.608. S2CID  2912209. 
11. Stenning, K.; van Lambalgen, M. (2004). "Un poco de lógica ayuda mucho: basar el experimento en la teoría semántica en la ciencia cognitiva del razonamiento condicional". Ciencia cognitiva . 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . doi :10.1016/j.cogsci.2004.02.002. 
12. von Sydow, M. (2006). Hacia una lógica bayesiana y deóntica flexible para probar reglas descriptivas y prescriptivas (tesis doctoral). Gotinga: Prensa Universitaria de Gotinga. doi : 10.53846/goediss-161 . S2CID  246924881.

Otras lecturas

• Brown, Frank Markham (2003), Razonamiento booleano: la lógica de las ecuaciones booleanas , primera edición, Kluwer Academic Publishers, Norwell , MA. 2.ª edición, Dover Publications , Mineola , Nueva York, 2003.
• Edgington, Dorothy (2001), "Condicionales", en Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell .
• Quine, WV (1982), Methods of Logic , (1.ª ed. 1950), (2.ª ed. 1959), (3.ª ed. 1972), 4.ª edición, Harvard University Press , Cambridge , MA.
• Stalnaker, Robert , "Condicionales indicativos", Philosophia , 5 (1975): 269–286.

enlaces externos

• Medios relacionados con Material condicional en Wikimedia Commons
• Edgington, Dorothy. "Condicionales". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .