Modo de peaje

Regla de inferencia lógica

En lógica proposicional , modus tollens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ), también conocido como modus tollendo tollens ( en latín "método de quitar quitando") ^[2] y negar el consecuente , ^[3] es una forma de argumento deductivo y una regla de inferencia . Modus tollens es un silogismo hipotético mixto que toma la forma de "Si P , entonces Q. No Q. Por lo tanto, no P ". Es una aplicación de la verdad general de que si un enunciado es verdadero, también lo es su contrapositivo . La forma muestra que la inferencia de P implica Q y la negación de Q implica la negación de P es un argumento válido .

La historia de la regla de inferencia modus tollens se remonta a la antigüedad . ^[4] El primero en describir explícitamente la forma argumental modus tollens fue Teofrasto . ^[5]

El modus tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens . Hay dos formas de argumentación similares, pero inválidas : afirmar el consecuente y negar el antecedente . Véase también contraposición y prueba por contrapositiva .

Explicación

La forma de un argumento modus tollens es un silogismo hipotético mixto , con dos premisas y una conclusión:

Si P , entonces Q .

No Q.​

Por lo tanto, no P.

La primera premisa es una afirmación condicional ("si-entonces") , como P implica Q. La segunda premisa es una afirmación de que Q , el consecuente de la afirmación condicional, no es el caso. A partir de estas dos premisas se puede concluir lógicamente que P , el antecedente de la afirmación condicional, tampoco es el caso.

Por ejemplo:

Si el perro detecta un intruso, ladrará.

El perro no ladró.

Por lo tanto, el perro no detectó ningún intruso.

Suponiendo que ambas premisas sean verdaderas (el perro ladrará si detecta un intruso y, de hecho, no ladra), se deduce que no se ha detectado ningún intruso. Este es un argumento válido ya que no es posible que la conclusión sea falsa si las premisas son verdaderas. (Es concebible que haya habido un intruso que el perro no detectó, pero eso no invalida el argumento; la primera premisa es "si el perro detecta un intruso". Lo importante es que el perro detecte o no no detectar un intruso, no si hay uno.)

Ejemplo 1:

Si soy el ladrón, entonces puedo abrir una caja fuerte.

No puedo abrir una caja fuerte.

Por tanto, yo no soy el ladrón.

Ejemplo 2:

Si Rex es una gallina, entonces es un pájaro.

Rex no es un pájaro.

Por tanto, Rex no es una gallina.

Relación con el modus ponens

Todo uso del modus tollens puede convertirse en un uso del modus ponens y en un uso de transposición a la premisa que es una implicación material. Por ejemplo:

Si P , entonces Q . (premisa – implicación material)

Si no es Q , entonces no es P. (derivado por transposición)

No Q. ​(premisa)

Por lo tanto, no P. (derivado por modus ponens )

Asimismo, todo uso del modus ponens puede convertirse en un uso del modus tollens y de la transposición.

Notación formal

La regla del modus tollens se puede expresar formalmente como:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

donde representa la afirmación "P implica Q". significa "no es el caso que Q" (o en resumen "no Q"). Luego, siempre que " " y " " aparezcan por sí mismos como una línea de prueba , entonces " " puede colocarse válidamente en una línea posterior. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle \neg P}$

La regla del modus tollens puede escribirse en notación secuencial :

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

donde es un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de y en algún sistema lógico ; ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$

o como enunciado de una tautología funcional o teorema de lógica proposicional:

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal ; ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

o incluyendo supuestos:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$

aunque como la regla no cambia el conjunto de supuestos, esto no es estrictamente necesario.

A menudo se ven reescrituras más complejas que involucran modus tollens , por ejemplo en la teoría de conjuntos :

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

("P es un subconjunto de Q. x no está en Q. Por lo tanto, x no está en P.")

También en lógica de predicados de primer orden :

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \neg Q(y)}$

${\displaystyle \therefore ~\neg P(y)}$

("Para todo x, si x es P, entonces x es Q. y no es Q. Por lo tanto, y no es P.")

Estrictamente hablando, estos no son casos de modus tollens , pero pueden derivarse de modus tollens mediante algunos pasos adicionales.

Justificación mediante tabla de verdad

La validez del modus tollens se puede demostrar claramente mediante una tabla de verdad .

En casos de modus tollens asumimos como premisas que p → q es verdadero y q es falso. Sólo hay una línea de la tabla de verdad (la cuarta línea) que satisface estas dos condiciones. En esta línea, p es falso. Por lo tanto, en cada caso en el que p → q es verdadero y q es falso, p también debe ser falso.

prueba formal

A través del silogismo disyuntivo

Vía reducción al absurdo

Vía contraposición

Correspondencia con otros marcos matemáticos.

calculo de probabilidad

Modus tollens representa un ejemplo de la ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes expresado como:

$${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,}$$

donde los condicionales y se obtienen con (la forma extendida del) teorema de Bayes expresado como: ${\displaystyle \Pr(P\mid Q)}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)}$

$${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$$

$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}.}$$

En las ecuaciones anteriores, denota la probabilidad de y denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de . La probabilidad condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO también podemos asignar cualquier probabilidad al enunciado. Supongamos que eso equivale a ser VERDADERO y que equivale a ser FALSO. Entonces es fácil ver que cuándo y . Esto se debe a que en la última ecuación. Por lo tanto, los términos del producto en la primera ecuación siempre tienen un factor cero, por lo que equivale a ser FALSO. Por tanto, la ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes representa una generalización del modus tollens . ^[6] ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle P}$

Lógica subjetiva

Modus tollens representa una instancia del operador de abducción en lógica subjetiva expresada como:

$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,,}$$

donde denota la opinión subjetiva sobre y denota un par de opiniones condicionales binomiales, expresadas por la fuente . El parámetro denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de . Se denota la opinión marginal abducida sobre . La opinión condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO la fuente puede asignar cualquier opinión subjetiva al enunciado. El caso en el que es una opinión absoluta VERDADERA es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERA, y el caso en el que es una opinión absolutamente FALSA es equivalente a que la fuente diga que es FALSA. El operador de abducción de la lógica subjetiva produce una opinión abducida FALSA absoluta cuando la opinión condicional es VERDADERA absoluta y la opinión consecuente es FALSA absoluta. Por tanto, la abducción lógica subjetiva representa una generalización tanto del modus tollens como de la Ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes . ^[7] ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$

Ver también

• Evidencia de ausencia  – Falacia de relevancia
• frases latinas
• Modus operandi  – Hábitos de trabajo
• Modus ponens  – Regla de inferencia lógica
• Modus vivendi  : acuerdo que permite a las partes en conflicto coexistir en paz.
• Non sequitur  – Razonamiento deductivo defectuoso debido a un defecto lógicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Prueba por contradicción  : prueba demostrando que la negación es imposible.
• Prueba por contrapositiva  – Concepto de lógica matemáticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lógica estoica  : sistema de lógica proposicional desarrollado por los filósofos estoicos

Notas

1. Mateo C. Harris. "Negar el antecedente". Academia Khan .
2. Piedra, Jon R. (1996). Latín para analfabetos: exorcizar los fantasmas de una lengua muerta . Londres: Routledge. pag. 60.ISBN​ 978-0-415-91775-9.
3. Sanford, David Hawley (2003). Si P, entonces Q: condicionales y fundamentos del razonamiento (2ª ed.). Londres: Routledge. pag. 39.ISBN​ 978-0-415-28368-7. [Modus] tollens es siempre una abreviatura de modus tollendo tollens, el estado de ánimo que al negar niega.
4. Susanne Bobzien (2002). "El desarrollo del Modus Ponens en la Antigüedad", Phronesis 47.
5. "Lógica antigua: precursores de Modus Ponens y Modus Tollens". Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
6. Audun Jøsang 2016: p.2
7. Audun Jøsang 2016:p.92

Fuentes

• Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva; Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 

enlaces externos

• Modus Tollens en Wolfram MathWorld