Material condicional

Conectiva lógica

El condicional material (también conocido como implicación material ) es una operación que se utiliza habitualmente en lógica . Cuando el símbolo condicional se interpreta como implicación material, una fórmula es verdadera a menos que sea verdadera y sea falsa. La implicación material también se puede caracterizar inferencialmente mediante modus ponens , modus tollens , prueba condicional y reductio ad absurdum clásico . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

La implicación material se utiliza en todos los sistemas básicos de la lógica clásica , así como en algunas lógicas no clásicas . Se asume como un modelo de razonamiento condicional correcto dentro de las matemáticas y sirve como base para los comandos en muchos lenguajes de programación . Sin embargo, muchas lógicas reemplazan la implicación material con otros operadores como el condicional estricto y el condicional estricto variable . Debido a las paradojas de la implicación material y los problemas relacionados, la implicación material generalmente no se considera un análisis viable de las oraciones condicionales en el lenguaje natural .

Notación

En lógica y campos relacionados, el condicional material se suele escribir con un operador infijo . ^[1] El condicional material también se escribe con los infijos y . ^[2] En la notación polaca con prefijo , los condicionales se escriben como . En una fórmula condicional , la subfórmula se denomina antecedente y se denomina consecuente del condicional. Las declaraciones condicionales pueden estar anidadas de modo que el antecedente o el consecuente puedan ser en sí mismas declaraciones condicionales, como en la fórmula . ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Cpq}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$

Historia

En Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889), Peano expresó la proposición "Si , entonces " como Ɔ con el símbolo Ɔ, que es el opuesto de C. ^[3] También expresó la proposición como Ɔ . ^{[a] [4] [5]} Hilbert expresó la proposición "Si A , entonces B " como en 1918. ^[1] Russell siguió a Peano en su Principia Mathematica (1910-1913), en el que expresó la proposición "Si A , entonces B " como . Siguiendo a Russell, Gentzen expresó la proposición "Si A , entonces B " como . Heyting expresó la proposición "Si A , entonces B " como al principio pero luego llegó a expresarla como con una flecha que apunta hacia la derecha. Bourbaki expresó la proposición "Si A , entonces B " como en 1954. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$

Definiciones

Semántica

Desde una perspectiva semántica clásica , la implicación material es el operador funcional de verdad binario que devuelve "verdadero" a menos que su primer argumento sea verdadero y su segundo argumento sea falso. Esta semántica se puede mostrar gráficamente en una tabla de verdad como la que se muestra a continuación. También se puede considerar la equivalencia . ${\displaystyle A\to B\equiv \neg (A\land \neg B)\equiv \neg A\lor B}$

Tabla de verdad

La tabla de verdad de : ${\displaystyle A\rightarrow B}$

Los casos lógicos en los que el antecedente A es falso y A → B es verdadero se denominan " verdades vacías ". Algunos ejemplos son...

• ... con B falso: "Si Marie Curie es hermana de Galileo Galilei , entonces Galileo Galilei es hermano de Marie Curie" ,
• ... con B verdadero: "Si Marie Curie es hermana de Galileo Galilei , entonces Marie Curie tiene un hermano" .

Definición deductiva

La implicación material también puede caracterizarse deductivamente en términos de las siguientes reglas de inferencia . ^{[ cita requerida ]}

• Modus ponens
• Prueba condicional
• Contraposición clásica
• Reducción clásica al absurdo

A diferencia de la definición semántica, este enfoque de los conectivos lógicos permite el examen de formas proposicionales estructuralmente idénticas en varios sistemas lógicos , donde se pueden demostrar propiedades algo diferentes. Por ejemplo, en la lógica intuicionista , que rechaza las pruebas por contraposición como reglas válidas de inferencia, no es un teorema proposicional, pero se utiliza el condicional material para definir la negación . ^{[ Aclaración necesaria ]} ${\displaystyle (A\to B)\Rightarrow \neg A\lor B}$

Propiedades formales

Cuando la disyunción , la conjunción y la negación son clásicas, la implicación material valida las siguientes equivalencias:

• Contraposición: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P}$
• Importación-exportación : ${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• Condicionales negados: ${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• O-y-si: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• Conmutatividad de antecedentes: ${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• Distributividad izquierda : ${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

De manera similar, en las interpretaciones clásicas de los otros conectivos, la implicación material valida las siguientes implicancias :

• Fortalecimiento de antecedentes: ${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• Condicional vacuo : ${\displaystyle \neg P\models P\to Q}$
• Transitividad : ${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• Simplificación de antecedentes disyuntivos : ${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

Las tautologías que implican implicación material incluyen:

• Reflexividad : ${\displaystyle \models P\to P}$
• Totalidad : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• Condicional medio excluido : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

Discrepancias con el lenguaje natural

La implicación material no coincide estrechamente con el uso de oraciones condicionales en el lenguaje natural . Por ejemplo, aunque las condicionales materiales con antecedentes falsos son vacuamente verdaderas , la afirmación en lenguaje natural "Si 8 es impar, entonces 3 es primo" suele juzgarse falsa. De manera similar, cualquier condicional material con un consecuente verdadero es en sí mismo verdadero, pero los hablantes suelen rechazar oraciones como "Si tengo un centavo en mi bolsillo, entonces París está en Francia". Estos problemas clásicos se han denominado paradojas de la implicación material . ^[7] Además de las paradojas, se han dado una variedad de otros argumentos en contra de un análisis de implicación material. Por ejemplo, todas las condicionales contrafácticas serían vacuamente verdaderas en tal explicación. ^[8]

A mediados del siglo XX, varios investigadores, entre ellos H. P. Grice y Frank Jackson, propusieron que los principios pragmáticos podrían explicar las discrepancias entre los condicionales del lenguaje natural y el condicional material. Según sus teorías, los condicionales denotan implicación material pero terminan transmitiendo información adicional cuando interactúan con normas conversacionales como las máximas de Grice . ^{[7] [9]} Los trabajos recientes en semántica formal y filosofía del lenguaje generalmente han evitado la implicación material como análisis para los condicionales del lenguaje natural. ^[9] En particular, dichos trabajos a menudo han rechazado la suposición de que los condicionales del lenguaje natural son funcionales de la verdad en el sentido de que el valor de verdad de "Si P , entonces Q " está determinado únicamente por los valores de verdad de P y Q. [ ^7] Por lo tanto, los análisis semánticos de los condicionales suelen proponer interpretaciones alternativas basadas en fundamentos como la lógica modal , la lógica de la relevancia , la teoría de la probabilidad y los modelos causales . ^{[9] [7] [10]}

Los psicólogos que estudian el razonamiento condicional han observado discrepancias similares, por ejemplo, en el famoso estudio de la tarea de selección de Wason , en el que menos del 10% de los participantes razonaron de acuerdo con el condicional material. Algunos investigadores han interpretado este resultado como un fracaso de los participantes en ajustarse a las leyes normativas del razonamiento, mientras que otros interpretan que los participantes razonan normativamente de acuerdo con leyes no clásicas. ^{[11] [12] [13]}

Véase también

• Dominio booleano
• Función booleana
• Lógica booleana
• Cuantificador condicional
• Cálculo proposicional implicacional
• Leyes de la forma
• Gráfico lógico
• Equivalencia lógica
• Implicación material (regla de inferencia)
• Ley de Peirce
• Cálculo proposicional
• Único operador suficiente

Condicionales

• Condicional correspondiente
• Condicional contrafáctico
• Condicional indicativo
• Condicional estricto

Notas

1. Nótese que el símbolo de herradura Ɔ se ha invertido para convertirse en un símbolo de subconjunto ⊂.

Referencias

1. Hilbert, D. (1918). Prinzipien der Mathematik (Apuntes de conferencias editados por Bernays, P.) .
2. Mendelson, Elliott (2015). Introducción a la lógica matemática (6.ª ed.). Boca Raton: CRC Press/Taylor & Francis Group (Un libro de Chapman & Hall). pág. 2. ISBN 978-1-4822-3778-8.
3. Jean van Heijenoort, ed. (1967). De Frege a Gödel: un libro de consulta sobre lógica matemática, 1879-1931 . Harvard University Press. págs. 84-87. ISBN 0-674-32449-8.
4. Michael Nahas (25 de abril de 2022). «Traducción al inglés de 'Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita'» (PDF) . GitHub. pág. VI . Consultado el 10 de agosto de 2022 .
5. Mauro ALLEGRANZA (13 de febrero de 2015). "Teoría de conjuntos elementales: ¿existe alguna conexión entre el símbolo ⊃ cuando significa implicación y su significado como superconjunto?". Stack Exchange de matemáticas . Stack Exchange Inc. Respuesta . Consultado el 10 de agosto de 2022 .
6. Bourbaki, N. (1954). Teoría de los conjuntos . París: Hermann & Cie, Éditeurs. pag. 14.
7. Edgington, Dorothy (2008). "Condicionales". En Edward N. Zalta (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2008).
8. Starr, Will (2019). "Contrafactuales". En Zalta, Edward N. (ed.). La enciclopedia de filosofía de Stanford .
9. Gillies, Thony (2017). "Condicionales" (PDF) . En Hale, B.; Wright, C.; Miller, A. (eds.). Un compañero para la filosofía del lenguaje . Wiley Blackwell. págs. 401–436. doi :10.1002/9781118972090.ch17. ISBN. 9781118972090.
10. von Fintel, Kai (2011). "Condicionales" (PDF) . En von Heusinger, Klaus; Maienborn, Claudia; Portner, Paul (eds.). Semántica: un manual internacional de significado . de Gruyter Mouton. págs. 1515–1538. doi :10.1515/9783110255072.1515. hdl : 1721.1/95781 . ISBN . 978-3-11-018523-2.
11. Oaksford, M.; Chater, N. (1994). "Un análisis racional de la tarea de selección como selección óptima de datos". Psychological Review . 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . doi :10.1037/0033-295X.101.4.608. S2CID  2912209. 
12. Stenning, K.; van Lambalgen, M. (2004). "Un poco de lógica ayuda mucho: basar el experimento en la teoría semántica en la ciencia cognitiva del razonamiento condicional". Cognitive Science . 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . doi :10.1016/j.cogsci.2004.02.002. 
13. von Sydow, M. (2006). Hacia una lógica bayesiana y deóntica flexible para probar reglas descriptivas y prescriptivas (tesis doctoral). Göttingen: Göttingen University Press. doi : 10.53846/goediss-161 . S2CID  246924881.

Lectura adicional

• Brown, Frank Markham (2003), Razonamiento booleano: la lógica de las ecuaciones booleanas , 1.ª edición, Kluwer Academic Publishers, Norwell , MA. 2.ª edición, Dover Publications , Mineola , NY, 2003.
• Edgington, Dorothy (2001), "Condicionales", en Lou Goble (ed.), La guía Blackwell para la lógica filosófica , Blackwell .
• Quine, WV (1982), Métodos de lógica , (1.ª ed. 1950), (2.ª ed. 1959), (3.ª ed. 1972), 4.ª edición, Harvard University Press , Cambridge , MA.
• Stalnaker, Robert , "Condicionales indicativos", Philosophia , 5 (1975): 269–286.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Material condicional en Wikimedia Commons
• Edgington, Dorothy. "Condicionales". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .