Doble negación

Teorema de lógica proposicional

En lógica proposicional , la doble negación de un enunciado establece que "no es cierto que el enunciado no sea verdadero". En lógica clásica , todo enunciado es lógicamente equivalente a su doble negación, pero esto no es cierto en lógica intuicionista ; esto puede expresarse mediante la fórmula A ≡ ~(~A) donde el signo ≡ expresa equivalencia lógica y el signo ~ expresa negación .

Al igual que la ley del tercero excluido , este principio se considera una ley del pensamiento en la lógica clásica, ^{[1] pero} la lógica intuicionista lo rechaza . ^[2] El principio fue enunciado como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:

${\displaystyle \mathbf {*4\cdot 13} .\ \ \vdash .\ p\ \equiv \ \thicksim (\thicksim p)}$^[3]

"Éste es el principio de doble negación, es decir, una proposición es equivalente a la falsedad de su negación".

Eliminación e introducción

La eliminación de la doble negación y la introducción de la doble negación son dos reglas válidas de reemplazo . Son las inferencias de que, si no no-A es verdadero, entonces A es verdadero, y su recíproco , que, si A es verdadero, entonces no no-A es verdadero, respectivamente. La regla permite introducir o eliminar una negación de una prueba formal . La regla se basa en la equivalencia de, por ejemplo, Es falso que no esté lloviendo. y Está lloviendo.

La regla de introducción de la doble negación es:

P.P.​ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \neg }$

y la regla de eliminación de la doble negación es:

${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \neg }$P.P.​ ${\displaystyle \Rightarrow }$

Donde " " es un símbolo metalógico que representa "puede reemplazarse en una prueba con". ${\displaystyle \Rightarrow }$

En las lógicas que tienen ambas reglas, la negación es una involución .

Notación formal

La regla de introducción de la doble negación se puede escribir en notación secuencial :

${\displaystyle P\vdash \neg \neg P}$

La regla de eliminación de la doble negación se puede escribir como:

${\displaystyle \neg \neg P\vdash P}$

En forma de regla :

${\displaystyle {\frac {P}{\neg \neg P}}}$

y

${\displaystyle {\frac {\neg \neg P}{P}}}$

o como una tautología (oración simple de cálculo proposicional):

${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

y

${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

Estos se pueden combinar en una única fórmula bicondicional:

${\displaystyle \neg \neg P\leftrightarrow P}$.

Dado que la bicondicionalidad es una relación de equivalencia , cualquier instancia de ¬¬ A en una fórmula bien formada puede ser reemplazada por A , dejando sin cambios el valor de verdad de la fórmula bien formada.

La eliminación de la doble negación es un teorema de la lógica clásica , pero no de lógicas más débiles como la lógica intuicionista y la lógica mínima . La introducción de la doble negación es un teorema tanto de la lógica intuicionista como de la lógica mínima, al igual que . ${\displaystyle \neg \neg \neg A\vdash \neg A}$

Debido a su carácter constructivo, una afirmación como No es el caso que no esté lloviendo es más débil que Está lloviendo. La última requiere una prueba de que llueve, mientras que la primera solo requiere una prueba de que la lluvia no sería contradictoria. Esta distinción también surge en el lenguaje natural en forma de litotes .

Pruebas

En el sistema de cálculo proposicional clásico

En los sistemas deductivos de tipo Hilbert para la lógica proposicional, la doble negación no siempre se toma como un axioma (véase la lista de sistemas de Hilbert ), sino que es más bien un teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :

A1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

Utilizamos el lema demostrado aquí , al que nos referimos como (L1), y utilizamos el siguiente lema adicional, demostrado aquí : ${\displaystyle p\to p}$

(Nivel 2) ${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

Primero demostramos . Para abreviar, denotamos por φ ₀ . También usamos repetidamente el método del metateorema del silogismo hipotético como una forma abreviada de varios pasos de demostración. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$ ${\displaystyle q\to (r\to q)}$

(1)       (instancia de (A1)) ${\displaystyle \varphi _{0}}$

(2)       (instancia de (A3)) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})}$

(3)       (instancia de (A3)) ${\displaystyle (\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)}$

(4)       (de (2) y (3) por el metateorema del silogismo hipotético) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)}$

(5)       (instancia de (A1)) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)}$

(6)       (de (4) y (5) por el metateorema del silogismo hipotético) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)}$

(7)       (instancia de (L2)) ${\displaystyle \varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)}$

(8)       (de (1) y (7) por modus ponens) ${\displaystyle (\varphi _{0}\to p)\to p}$

(9)       (de (6) y (8) por el metateorema del silogismo hipotético) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

Ahora demostramos . ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(1)       (instancia de la primera parte del teorema que acabamos de demostrar) ${\displaystyle \neg \neg \neg p\to \neg p}$

(2)       (instancia de (A3)) ${\displaystyle (\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)}$

(3)       (de (1) y (2) por modus ponens) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

Y la prueba está completa.

Véase también

• Traducción negativa de Gödel-Gentzen

Referencias

1. Hamilton habla de Hegel en lo siguiente: "En los sistemas más recientes de filosofía, la universalidad y necesidad del axioma de la razón ha sido, junto con otras leyes lógicas, controvertida y rechazada por los especuladores sobre lo absoluto. [ Sobre el principio de la doble negación como otra ley del pensamiento , véase Fries, Logik , §41, pág. 190; Calker, Denkiehre odor Logic und Dialecktik , §165, pág. 453; Beneke, Lehrbuch der Logic , §64, pág. 41.]" (Hamilton 1860:68)
2. La ^o de la fórmula de Kleene *49 ^o indica "la demostración no es válida para ambos sistemas [sistema clásico y sistema intuicionista]", Kleene 1952:101.
3. Reimpresión de PM 1952 de la 2.ª edición de 1927, págs. 101–02, 117.

Bibliografía

• William Hamilton , 1860, Lecciones sobre metafísica y lógica, vol. II. Lógica; editado por Henry Mansel y John Veitch , Boston, Gould y Lincoln.
• Christoph Sigwart , 1895, Lógica: el juicio, el concepto y la inferencia; segunda edición, traducida por Helen Dendy , Macmillan & Co. Nueva York.
• Stephen C. Kleene , 1952, Introducción a las metamatemáticas , 6.ª reimpresión con correcciones 1971, North-Holland Publishing Company, Ámsterdam, Nueva York, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Stephen C. Kleene , 1967, Lógica matemática , edición Dover 2002, Dover Publications, Inc, Mineola NY ISBN 0-486-42533-9 
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell , Principia Mathematica hasta *56 , 2.ª edición 1927, reimpresión 1962, Cambridge en University Press.