En lógica y matemáticas , un valor de verdad , a veces llamado valor lógico , es un valor que indica la relación de una proposición con la verdad , que en lógica clásica tiene sólo dos valores posibles ( verdadero o falso ). [1] [2]
En algunos lenguajes de programación, cualquier expresión se puede evaluar en un contexto que espera un tipo de datos booleano . Normalmente (aunque esto varía según el lenguaje de programación) expresiones como el número cero , la cadena vacía , las listas vacías y null se evalúan como falso, y las cadenas con contenido (como "abc"), otros números y objetos se evalúan como verdadero. A veces, estas clases de expresiones se denominan "verdaderas" y "falsas"/"falsas".
En lógica clásica , con su semántica prevista, los valores de verdad son verdaderos (denotados por 1 o verum ⊤) y falsos o falsos (denotados por 0 o falsum ⊥); es decir, la lógica clásica es una lógica bivaluada . Este conjunto de dos valores también se denomina dominio booleano . La semántica correspondiente de los conectivos lógicos son funciones de verdad , cuyos valores se expresan en forma de tablas de verdad . El bicondicional lógico se convierte en la relación binaria de igualdad , y la negación se convierte en una biyección que permuta verdadero y falso. La conjunción y la disyunción son duales respecto de la negación, la cual se expresa mediante las leyes de De Morgan :
Las variables proposicionales se convierten en variables en el dominio booleano. La asignación de valores a variables proposicionales se denomina valoración .
En la lógica intuicionista y, más generalmente, en las matemáticas constructivas , a los enunciados se les asigna un valor de verdad sólo si se les puede dar una prueba constructiva. Comienza con un conjunto de axiomas, y un enunciado es verdadero si se puede construir una prueba del enunciado a partir de esos axiomas. Un enunciado es falso si de él se puede deducir una contradicción. Esto deja abierta la posibilidad de afirmaciones a las que aún no se les ha asignado un valor de verdad. A los enunciados no probados en la lógica intuicionista no se les da un valor de verdad intermedio (como a veces se afirma erróneamente). De hecho, se puede demostrar que no tienen un valor de tercera verdad, un resultado que se remonta a Glivenko en 1928. [3]
En cambio, las declaraciones simplemente siguen teniendo un valor de verdad desconocido, hasta que sean probadas o refutadas.
Hay varias formas de interpretar la lógica intuicionista, incluida la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov . Véase también Lógica intuicionista § Semántica .
Las lógicas de valores múltiples (como la lógica difusa y la lógica de relevancia ) permiten más de dos valores de verdad, y posiblemente contengan alguna estructura interna. Por ejemplo, en el intervalo unitario [0,1] dicha estructura es un orden total ; esto puede expresarse como la existencia de varios grados de verdad .
No todos los sistemas lógicos valoran la verdad en el sentido de que los conectivos lógicos puedan interpretarse como funciones de verdad. Por ejemplo, la lógica intuicionista carece de un conjunto completo de valores de verdad porque su semántica, la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov , se especifica en términos de condiciones de demostrabilidad y no directamente en términos de la verdad necesaria de las fórmulas.
Pero incluso las lógicas que no valoran la verdad pueden asociar valores con fórmulas lógicas, como se hace en la semántica algebraica . La semántica algebraica de la lógica intuicionista se da en términos de álgebras de Heyting , en comparación con la semántica del álgebra booleana del cálculo proposicional clásico.
La teoría de tipos intuicionista utiliza tipos en lugar de valores de verdad.
La teoría del topos utiliza los valores de verdad en un sentido especial: los valores de verdad de un topos son los elementos globales del clasificador de subobjetos . Tener valores de verdad en este sentido no hace que una verdad lógica sea valorativa.
