En semántica formal , la semántica del valor de verdad es una alternativa a la semántica tarskiana . Ha sido defendido principalmente por Ruth Barcan Marcus , [1] H. Leblanc, J. Michael Dunn y Nuel Belnap . [2] También se le llama interpretación de sustitución (de los cuantificadores) o cuantificación sustitutiva.
La idea de esta semántica es que un cuantificador universal (respectivamente, existencial ) puede leerse como una conjunción (respectivamente, disyunción ) de fórmulas en las que las constantes reemplazan a las variables en el alcance del cuantificador. Por ejemplo, se puede leer ( ) donde las constantes individuales reemplazan todas las apariciones de en .
La principal diferencia entre la semántica del valor de verdad y la semántica estándar de la lógica de predicados es que no existen dominios para la semántica del valor de verdad. Sólo las cláusulas de verdad de las fórmulas atómicas y cuantificacionales difieren de las de la semántica estándar. Mientras que en la semántica estándar las fórmulas atómicas como o son verdaderas si y solo si (el referente de) es miembro de la extensión del predicado , respectivamente, si y solo si el par es miembro de la extensión de , en la semántica del valor de verdad los valores de verdad de las fórmulas atómicas son básicos. Una fórmula universal (existencial) es verdadera si y sólo si todos (algunos) casos de sustitución fundamental de la subfórmula no cuantificada son verdaderos. Compárese esto con la semántica estándar, que dice que una fórmula universal (existencial) es verdadera si y sólo si para todos (algunos) miembros del dominio, la fórmula es válida para todos (algunos) de ellos; por ejemplo, es verdadero (bajo una interpretación) si y sólo si para todos en el dominio , es verdadero (donde está el resultado de sustituir todas las apariciones de en ). (Aquí suponemos que las constantes son nombres en sí mismas, es decir, también son miembros del dominio).
La semántica del valor de verdad no está exenta de problemas. En primer lugar, el teorema de completitud fuerte y la compacidad fallan. Para ver esto considere el conjunto . Claramente, la fórmula es una consecuencia lógica del conjunto, pero no es consecuencia de ningún subconjunto finito del mismo (y, por tanto, no es deducible de él). De ello se deduce inmediatamente que tanto el teorema de la compacidad como el de la completitud fuerte fallan en la semántica del valor de verdad. Esto se rectifica mediante una definición modificada de consecuencia lógica dada en Dunn y Belnap 1968. [2]
Otro problema ocurre en la lógica libre . Consideremos un lenguaje con una constante individual que no es designante y un predicado que significa "no existe". Entonces es falso incluso aunque un caso de sustitución (de hecho, cada caso bajo esta interpretación) sea verdadero. Para resolver este problema simplemente agregamos la condición de que un enunciado existencialmente cuantificado sea verdadero bajo una interpretación para al menos un caso de sustitución en el que la constante designa algo que existe.
