En matemáticas , un teorema es un enunciado que ha sido demostrado o puede ser demostrado. [a] [2] [3] La demostración de un teorema es un argumento lógico que utiliza las reglas de inferencia de un sistema deductivo para establecer que el teorema es una consecuencia lógica de los axiomas y teoremas previamente demostrados.
En las matemáticas convencionales, los axiomas y las reglas de inferencia suelen dejarse implícitos y, en este caso, casi siempre son los de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), o los de una teoría menos poderosa, como la Aritmética de Peano . [b] Generalmente, una afirmación que se denomina explícitamente teorema es un resultado demostrado que no es una consecuencia inmediata de otros teoremas conocidos. Es más, muchos autores califican como teoremas sólo los resultados más importantes, y utilizan los términos lema , proposición y corolario para teoremas menos importantes.
En lógica matemática , los conceptos de teoremas y demostraciones se han formalizado con el fin de permitir el razonamiento matemático sobre los mismos. En este contexto, los enunciados se convierten en fórmulas bien formadas de algún lenguaje formal . Una teoría consta de algunos enunciados básicos llamados axiomas y algunas reglas de deducción (a veces incluidas en los axiomas). Los teoremas de la teoría son los enunciados que se pueden derivar de los axiomas utilizando las reglas de deducción. [c] Esta formalización condujo a la teoría de la prueba , que permite demostrar teoremas generales sobre teoremas y demostraciones. En particular, los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que toda teoría consistente que contiene números naturales tiene enunciados verdaderos sobre números naturales que no son teoremas de la teoría (es decir, no pueden demostrarse dentro de la teoría).
Como los axiomas son a menudo abstracciones de propiedades del mundo físico , se puede considerar que los teoremas expresan alguna verdad, pero a diferencia de la noción de ley científica , que es experimental , la justificación de la verdad de un teorema es puramente deductiva . [6] [7]
Hasta finales del siglo XIX y la crisis fundacional de las matemáticas , todas las teorías matemáticas se construían a partir de unas pocas propiedades básicas que se consideraban evidentes; por ejemplo, el hecho de que todo número natural tiene un sucesor y que hay exactamente una recta que pasa por dos puntos distintos dados. Estas propiedades básicas que se consideraban absolutamente evidentes se denominaron postulados o axiomas ; por ejemplo los postulados de Euclides . Todos los teoremas se demostraron utilizando implícita o explícitamente estas propiedades básicas y, debido a la evidencia de estas propiedades básicas, un teorema probado se consideró como una verdad definitiva, a menos que hubiera un error en la demostración. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, y esto se consideraba un hecho indudable.
Un aspecto de la crisis fundacional de las matemáticas fue el descubrimiento de geometrías no euclidianas que no conducen a ninguna contradicción, aunque, en tales geometrías, la suma de los ángulos de un triángulo es diferente de 180°. Entonces, la propiedad "la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°" es verdadera o falsa, dependiendo de si se asume o niega el quinto postulado de Euclides. De manera similar, el uso de propiedades básicas "evidentes" de los conjuntos conduce a la contradicción de la paradoja de Russell . Esto se ha resuelto elaborando las reglas que se permiten para manipular conjuntos.
Esta crisis se ha resuelto revisando los fundamentos de las matemáticas para hacerlos más rigurosos . En estos nuevos fundamentos, un teorema es una fórmula bien formada de una teoría matemática que puede demostrarse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría. Entonces, el teorema anterior sobre la suma de los ángulos de un triángulo se convierte en: Según los axiomas y las reglas de inferencia de la geometría euclidiana , la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° . De manera similar, la paradoja de Russell desaparece porque, en una teoría de conjuntos axiomatizada, el conjunto de todos los conjuntos no puede expresarse con una fórmula bien formada. Más precisamente, si el conjunto de todos los conjuntos puede expresarse con una fórmula bien formada, esto implica que la teoría es inconsistente , y toda afirmación bien formada, así como su negación, es un teorema.
En este contexto, la validez de un teorema depende únicamente de la exactitud de su demostración. Es independiente de la verdad, o incluso del significado de los axiomas. Esto no significa que la importancia de los axiomas carezca de interés, sino sólo que la validez de un teorema es independiente de la importancia de los axiomas. Esta independencia puede resultar útil al permitir el uso de resultados de algún área de las matemáticas en áreas aparentemente no relacionadas.
Una consecuencia importante de esta forma de pensar las matemáticas es que permite definir teorías y teoremas matemáticos como objetos matemáticos , y demostrar teoremas sobre ellos. Algunos ejemplos son los teoremas de incompletitud de Gödel . En particular, hay afirmaciones bien formadas que se puede demostrar que no son un teorema de la teoría ambiental, aunque se pueden demostrar en una teoría más amplia. Un ejemplo es el teorema de Goodstein , que puede enunciarse en la aritmética de Peano , pero que se ha demostrado que no es demostrable en la aritmética de Peano. Sin embargo, es demostrable en algunas teorías más generales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .
Muchos teoremas matemáticos son enunciados condicionales, cuyas pruebas deducen conclusiones a partir de condiciones conocidas como hipótesis o premisas . A la luz de la interpretación de la prueba como justificación de la verdad, la conclusión suele verse como una consecuencia necesaria de las hipótesis. Es decir, que la conclusión es verdadera en caso de que las hipótesis sean verdaderas, sin más suposiciones. Sin embargo, el condicional también podría interpretarse de manera diferente en ciertos sistemas deductivos , dependiendo de los significados asignados a las reglas de derivación y al símbolo condicional (p. ej., lógica no clásica ).
Aunque los teoremas pueden escribirse en una forma completamente simbólica (por ejemplo, como proposiciones en cálculo proposicional ), a menudo se expresan informalmente en un lenguaje natural como el inglés para una mejor legibilidad. Lo mismo se aplica a las pruebas, que a menudo se expresan como argumentos informales lógicamente organizados y claramente redactados, destinados a convencer a los lectores de la verdad del enunciado del teorema más allá de cualquier duda, y a partir de los cuales, en principio, se puede construir una prueba simbólica formal.
Además de ser más legibles, los argumentos informales suelen ser más fáciles de comprobar que los puramente simbólicos; de hecho, muchos matemáticos expresarían su preferencia por una demostración que no sólo demuestre la validez de un teorema, sino que también explique de alguna manera por qué es obviamente verdadero. En algunos casos, incluso se podría fundamentar un teorema utilizando una imagen como prueba.
Dado que los teoremas son el núcleo de las matemáticas, también son fundamentales para su estética . Los teoremas a menudo se describen como "triviales", "difíciles", "profundos" o incluso "hermosos". Estos juicios subjetivos varían no sólo de persona a persona, sino también con el tiempo y la cultura: por ejemplo, a medida que se obtiene, simplifica o comprende mejor una prueba, un teorema que alguna vez fue difícil puede volverse trivial. [8] Por otro lado, un teorema profundo puede enunciarse de forma sencilla, pero su demostración puede implicar conexiones sorprendentes y sutiles entre áreas dispares de las matemáticas. El último teorema de Fermat es un ejemplo particularmente conocido de tal teorema. [9]
Lógicamente , muchos teoremas tienen la forma de un condicional indicativo : Si A, entonces B. Tal teorema no afirma B , sólo que B es una consecuencia necesaria de A.En este caso, A se llama hipótesis del teorema ("hipótesis" aquí significa algo muy diferente de una conjetura ), y B , conclusión del teorema. Los dos juntos (sin la demostración) se denominan proposición o enunciado del teorema (por ejemplo, " Si A, entonces B " es la proposición ). Alternativamente, A y B también pueden denominarse antecedente y consecuente , respectivamente. [10] El teorema "Si n es un número natural par , entonces n /2 es un número natural" es un ejemplo típico en el que la hipótesis es " n es un número natural par" y la conclusión es " n /2 es también un número natural".
Para que un teorema pueda ser demostrado, debe poder expresarse en principio como un enunciado formal preciso. Sin embargo, los teoremas suelen expresarse en lenguaje natural y no de forma completamente simbólica, con la presunción de que se puede derivar un enunciado formal a partir de uno informal.
Es común en matemáticas elegir una serie de hipótesis dentro de un lenguaje determinado y declarar que la teoría consta de todos los enunciados demostrables a partir de estas hipótesis. Estas hipótesis forman la base fundamental de la teoría y se denominan axiomas o postulados. El campo de las matemáticas conocido como teoría de la prueba estudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las pruebas.
Algunos teoremas son " triviales ", en el sentido de que se derivan de definiciones, axiomas y otros teoremas de manera obvia y no contienen ninguna información sorprendente. Algunos, por otro lado, pueden llamarse "profundos", porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de las matemáticas superficialmente distintas del enunciado del teorema mismo o mostrar conexiones sorprendentes entre áreas dispares de las matemáticas. [11] Un teorema puede ser simple de enunciar y, sin embargo, profundo. Un excelente ejemplo es el último teorema de Fermat , [9] y hay muchos otros ejemplos de teoremas simples pero profundos en teoría de números y combinatoria , entre otras áreas.
Otros teoremas tienen una demostración conocida que no se puede escribir fácilmente. Los ejemplos más destacados son el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler . Sólo se sabe que ambos teoremas son verdaderos reduciéndolos a una búsqueda computacional que luego es verificada por un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de demostración, pero se ha vuelto más aceptada. El matemático Doron Zeilberger ha llegado incluso a afirmar que estos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos hayan demostrado jamás. [12] Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a cálculos más sencillos, incluidas identidades polinómicas, identidades trigonométricas [13] e identidades hipergeométricas. [14] [ página necesaria ]
Los teoremas en matemáticas y las teorías en ciencias son fundamentalmente diferentes en su epistemología . No se puede probar una teoría científica; su atributo clave es que es falsable , es decir, hace predicciones sobre el mundo natural que son comprobables mediante experimentos . Cualquier desacuerdo entre predicción y experimento demuestra la incorrección de la teoría científica, o al menos limita su precisión o ámbito de validez. Los teoremas matemáticos, por otra parte, son enunciados formales puramente abstractos: la demostración de un teorema no puede implicar experimentos u otra evidencia empírica de la misma manera que dicha evidencia se utiliza para respaldar teorías científicas. [6]
No obstante, existe cierto grado de empirismo y recopilación de datos involucrados en el descubrimiento de teoremas matemáticos. Al establecer un patrón, a veces con el uso de una computadora poderosa, los matemáticos pueden tener una idea de qué demostrar y, en algunos casos, incluso un plan sobre cómo comenzar a realizar la demostración. También es posible encontrar un único contraejemplo y así establecer la imposibilidad de una prueba para la proposición tal como está enunciada, y posiblemente sugerir formas restringidas de la proposición original que podrían tener pruebas factibles.
Por ejemplo, tanto la conjetura de Collatz como la hipótesis de Riemann son problemas no resueltos bien conocidos; se han estudiado exhaustivamente mediante comprobaciones empíricas, pero aún no se han demostrado. La conjetura de Collatz se ha verificado para valores iniciales de hasta aproximadamente 2,88 × 10 18 . Se ha verificado que la hipótesis de Riemann se cumple para los primeros 10 billones de ceros no triviales de la función zeta . Aunque la mayoría de los matemáticos pueden tolerar suponer que la conjetura y la hipótesis son verdaderas, ninguna de estas proposiciones se considera probada.
Tal evidencia no constituye prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens es una afirmación sobre números naturales que ahora se sabe que es falsa, pero no hay un contraejemplo explícito (es decir, un número natural n para el cual la función de Mertens M ( n ) es igual o excede la raíz cuadrada de n ) es conocido: todos los números menores de 10 14 tienen la propiedad de Mertens, y solo se sabe que el número más pequeño que no tiene esta propiedad es menor que el exponencial de 1,59 × 10 40 , que es aproximadamente 10 elevado a 4,3 × 10 39 . Dado que el número de partículas en el universo generalmente se considera menor que 10 elevado a 100 (un googol ), no hay esperanza de encontrar un contraejemplo explícito mediante una búsqueda exhaustiva .
La palabra "teoría" también existe en matemáticas, para denotar un conjunto de axiomas, definiciones y teoremas matemáticos, como en, por ejemplo, la teoría de grupos (ver teoría matemática ). También hay "teoremas" en la ciencia, particularmente en la física, y en la ingeniería, pero a menudo tienen declaraciones y pruebas en las que los supuestos físicos y la intuición desempeñan un papel importante; los axiomas físicos en los que se basan tales "teoremas" son en sí mismos falsables.
Existen varios términos diferentes para enunciados matemáticos; Estos términos indican el papel que desempeñan las declaraciones en un tema en particular. La distinción entre diferentes términos es a veces bastante arbitraria y el uso de algunos términos ha evolucionado con el tiempo.
También se pueden utilizar otros términos por razones históricas o habituales, por ejemplo:
Algunos teoremas bien conocidos tienen nombres aún más idiosincrásicos, por ejemplo, el algoritmo de división , la fórmula de Euler y la paradoja de Banach-Tarski .
Un teorema y su demostración normalmente se presentan de la siguiente manera:
El final de la prueba puede estar señalado por las letras QED ( quod erat demonstrandum ) o por una de las marcas de lápida , como "□" o "∎", que significa "fin de la prueba", introducida por Paul Halmos después de su uso en revistas para marcar el final de un artículo. [17]
El estilo exacto depende del autor o publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones o macros para la composición tipográfica al estilo propio .
Es común que un teorema vaya precedido de definiciones que describan el significado exacto de los términos utilizados en el teorema. También es común que un teorema esté precedido por una serie de proposiciones o lemas que luego se utilizan en la demostración. Sin embargo, los lemas a veces están integrados en la demostración de un teorema, ya sea con demostraciones anidadas o con sus demostraciones presentadas después de la demostración del teorema.
Los corolarios de un teorema se presentan entre el teorema y la demostración, o directamente después de la demostración. A veces, los corolarios tienen sus propias demostraciones que explican por qué se derivan del teorema.
Se ha estimado que cada año se demuestran más de un cuarto de millón de teoremas. [18]
El conocido aforismo , "Un matemático es un dispositivo para convertir el café en teoremas", se debe probablemente a Alfréd Rényi , aunque a menudo se atribuye al colega de Rényi, Paul Erdős (y Rényi puede haber estado pensando en Erdős), que era famoso por los numerosos teoremas que produjo, el número de sus colaboraciones y su consumo de café. [19]
Algunos consideran que la clasificación de grupos finitos simples es la prueba más larga de un teorema. Comprende decenas de miles de páginas en 500 artículos de revistas de unos 100 autores. Se cree que estos artículos en conjunto brindan una prueba completa, y varios proyectos en curso esperan acortar y simplificar esta prueba. [20] Otro teorema de este tipo es el teorema de los cuatro colores cuya demostración generada por computadora es demasiado larga para que la lea un ser humano. Se encuentra entre las demostraciones más largas conocidas de un teorema cuyo enunciado puede ser fácilmente comprendido por un profano. [ cita necesaria ]
En lógica matemática , una teoría formal es un conjunto de oraciones dentro de un lenguaje formal . Una oración es una fórmula bien formada sin variables libres. Una oración que es miembro de una teoría es uno de sus teoremas, y la teoría es el conjunto de sus teoremas. Habitualmente se entiende que una teoría está cerrada bajo la relación de consecuencia lógica . Algunas explicaciones definen una teoría como cerrada bajo la relación de consecuencia semántica ( ), mientras que otras la definen como cerrada bajo la consecuencia sintáctica o relación de derivabilidad ( ). [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30]
Para que una teoría esté cerrada bajo una relación de derivabilidad, debe estar asociada con un sistema deductivo que especifique cómo se derivan los teoremas. El sistema deductivo puede enunciarse explícitamente o puede quedar claro a partir del contexto. El cierre del conjunto vacío bajo la relación de consecuencia lógica produce el conjunto que contiene precisamente aquellas oraciones que son los teoremas del sistema deductivo.
En el sentido amplio en que se usa el término dentro de la lógica, un teorema no tiene por qué ser verdadero, ya que la teoría que lo contiene puede ser errónea en relación con una semántica determinada, o en relación con la interpretación estándar del lenguaje subyacente. Una teoría que es inconsistente tiene todas las oraciones como teoremas.
La definición de teoremas como oraciones de un lenguaje formal es útil dentro de la teoría de la prueba , que es una rama de las matemáticas que estudia la estructura de las pruebas formales y la estructura de las fórmulas demostrables. También es importante en la teoría de modelos , que se ocupa de la relación entre las teorías formales y las estructuras que pueden proporcionarles una semántica a través de la interpretación .
Aunque los teoremas pueden ser oraciones no interpretadas, en la práctica los matemáticos están más interesados en los significados de las oraciones, es decir, en las proposiciones que expresan. Lo que hace que los teoremas formales sean útiles e interesantes es que pueden interpretarse como proposiciones verdaderas y sus derivaciones pueden interpretarse como una prueba de su verdad. Un teorema cuya interpretación es una afirmación verdadera sobre un sistema formal (a diferencia de dentro de un sistema formal) se llama metateorema .
Algunos teoremas importantes en lógica matemática son:
El concepto de teorema formal es fundamentalmente sintáctico, en contraste con la noción de proposición verdadera, que introduce la semántica . Diferentes sistemas deductivos pueden producir otras interpretaciones, dependiendo de las presunciones de las reglas de derivación (es decir, creencia , justificación u otras modalidades ). La solidez de un sistema formal depende de si todos sus teoremas son también válidos o no . Una validez es una fórmula que es verdadera bajo cualquier interpretación posible (por ejemplo, en la lógica proposicional clásica, las validezes son tautologías ). Un sistema formal se considera semánticamente completo cuando todos sus teoremas son también tautologías.
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