En matemáticas , la propiedad del límite mínimo superior (a veces llamada integridad , propiedad suprema o propiedad lub ) [1] es una propiedad fundamental de los números reales . De manera más general, un conjunto X parcialmente ordenado tiene la propiedad de límite superior mínimo si cada subconjunto no vacío de X con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremo) en X . No todos los conjuntos (parcialmente) ordenados tienen la propiedad de límite superior mínimo. Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales con su orden natural no tiene la propiedad de límite superior mínimo.
La propiedad del límite mínimo superior es una forma del axioma de completitud de los números reales y, a veces, se la denomina completitud de Dedekind . [2] Puede utilizarse para demostrar muchos de los resultados fundamentales del análisis real , como el teorema del valor intermedio , el teorema de Bolzano-Weierstrass , el teorema del valor extremo y el teorema de Heine-Borel . Suele tomarse como axioma en construcciones sintéticas de los números reales , y también está íntimamente relacionado con la construcción de los números reales mediante cortes de Dedekind .
En la teoría del orden , esta propiedad se puede generalizar a una noción de completitud para cualquier conjunto parcialmente ordenado . Un conjunto linealmente ordenado que es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo se llama continuo lineal .
Sea S un conjunto no vacío de números reales .
La propiedad del límite superior mínimo establece que cualquier conjunto no vacío de números reales que tenga un límite superior debe tener un límite superior mínimo en números reales .
De manera más general, se pueden definir el límite superior y el límite superior mínimo para cualquier subconjunto de un conjunto X parcialmente ordenado , reemplazando "número real" por "elemento de X ". En este caso, decimos que X tiene la propiedad de límite superior mínimo si cada subconjunto no vacío de X con un límite superior tiene un límite superior mínimo en X.
Por ejemplo, el conjunto Q de números racionales no tiene la propiedad del límite superior mínimo en el orden habitual. Por ejemplo, el conjunto
tiene un límite superior en Q , pero no tiene un límite superior mínimo en Q (ya que la raíz cuadrada de dos es irracional ). La construcción de los números reales utilizando cortes de Dedekind aprovecha este fracaso al definir los números irracionales como los límites superiores mínimos de ciertos subconjuntos de los racionales.
La propiedad del límite mínimo superior es equivalente a otras formas del axioma de completitud , como la convergencia de secuencias de Cauchy o el teorema de intervalos anidados . El estado lógico de la propiedad depende de la construcción de los números reales utilizados: en el enfoque sintético , la propiedad generalmente se toma como un axioma para los números reales (ver axioma del límite superior mínimo ); en un enfoque constructivo, la propiedad debe demostrarse como un teorema , ya sea directamente a partir de la construcción o como consecuencia de alguna otra forma de completitud.
Es posible demostrar la propiedad del límite superior mínimo suponiendo que toda secuencia de números reales de Cauchy converge. Sea S un conjunto no vacío de números reales. Si S tiene exactamente un elemento, entonces su único elemento es un límite superior mínimo. Consideremos entonces S con más de un elemento y supongamos que S tiene un límite superior B 1 . Dado que S no está vacío y tiene más de un elemento, existe un número real A 1 que no es un límite superior para S. Defina las secuencias A 1 , A 2 , A 3 , ... y B 1 , B 2 , B 3 , ... recursivamente de la siguiente manera:
Entonces A 1 ≤ A 2 ≤ A 3 ≤ ⋯ ≤ B 3 ≤ B 2 ≤ B 1 y | Un norte - B norte | → 0 como norte → ∞ . De ello se deduce que ambas secuencias son de Cauchy y tienen el mismo límite L , que debe ser el límite superior mínimo para S.
La propiedad del límite mínimo superior de R se puede utilizar para demostrar muchos de los principales teoremas fundamentales en el análisis real .
Sea f : [ a , b ] → R una función continua y supongamos que f ( a ) < 0 y f ( b ) > 0 . En este caso, el teorema del valor intermedio establece que f debe tener una raíz en el intervalo [ a , b ] . Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto
Es decir, S es el segmento inicial de [ a , b ] que toma valores negativos bajo f . Entonces b es un límite superior para S , y el límite superior mínimo debe ser una raíz de f .
El teorema de Bolzano-Weierstrass para R establece que toda secuencia x n de números reales en un intervalo cerrado [ a , b ] debe tener una subsecuencia convergente . Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto
Claramente, y S no está vacío. Además, b es un límite superior para S , por lo que S tiene un límite superior mínimo c . Entonces c debe ser un punto límite de la secuencia x n , y se deduce que x n tiene una subsecuencia que converge a c .
Sea f : [ a , b ] → R una función continua y sea M = sup f ([ a , b ]) , donde M = ∞ si f ([ a , b ]) no tiene límite superior. El teorema del valor extremo establece que M es finito y f ( c ) = M para algún c ∈ [ a , b ] . Esto se puede demostrar considerando el conjunto
Por definición de M , a ∈ S , y por su propia definición, S está acotado por b . Si c es el límite superior mínimo de S , entonces se deduce de la continuidad que f ( c ) = M.
Sea [ a , b ] un intervalo cerrado en R , y sea { U α } una colección de conjuntos abiertos que cubre [ a , b ] . Entonces, el teorema de Heine-Borel establece que alguna subcolección finita de { U α } cubre también [ a , b ] . Esta afirmación se puede probar considerando el conjunto
El conjunto S obviamente contiene a y está acotado por b por construcción. Por la propiedad del límite superior mínimo, S tiene un límite superior mínimo c ∈ [ a , b ] . Por lo tanto, c es en sí mismo un elemento de algún conjunto abierto U α , y se deduce que para c < b que [ a , c + δ ] puede ser cubierto por un número finito de U α para algún δ > 0 suficientemente pequeño . Esto prueba que c + δ ∈ S y c no es un límite superior para S. En consecuencia, c = b .
La importancia de la propiedad del límite mínimo superior fue reconocida por primera vez por Bernard Bolzano en su artículo de 1817 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege . [3]
