Prueba de línea horizontal

Prueba de la inyectividad de una función

En matemáticas , la prueba de la línea horizontal es una prueba que se utiliza para determinar si una función es inyectiva (es decir, uno a uno). ^[1]

En cálculo

Una línea horizontal es una línea recta y plana que va de izquierda a derecha. Dada una función (es decir, de los números reales a los números reales), podemos decidir si es inyectiva observando las líneas horizontales que intersecan el gráfico de la función . Si alguna línea horizontal interseca el gráfico en más de un punto, la función no es inyectiva. Para ver esto, observe que los puntos de intersección tienen el mismo valor de y (porque se encuentran en la línea ) pero diferentes valores de x, lo que por definición significa que la función no puede ser inyectiva. ^[1] ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y=c}$ ${\displaystyle y=c}$

Se pueden utilizar variaciones de la prueba de la línea horizontal para determinar si una función es sobreyectiva o biyectiva :

• La función f es sobreyectiva (es decir, sobre) si y sólo si su gráfica interseca alguna línea horizontal al menos una vez.
• f es biyectiva si y sólo si cualquier línea horizontal intersectará el gráfico exactamente una vez.

En la teoría de conjuntos

Consideremos una función con su gráfico correspondiente como un subconjunto del producto cartesiano . Consideremos las líneas horizontales en  : . La función f es inyectiva si y solo si cada línea horizontal interseca el gráfico como máximo una vez. En este caso, se dice que el gráfico pasa la prueba de la línea horizontal. Si alguna línea horizontal interseca el gráfico más de una vez, la función no pasa la prueba de la línea horizontal y no es inyectiva. ^[2] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \{(x,y_{0})\in X\times Y:y_{0}{\text{ is constant}}\}=X\times \{y_{0}\}}$

Véase también

• Prueba de línea vertical
• Función inversa
• Función monótona

Referencias

1. Stewart, James (2003). Cálculo de una variable: trascendentales tempranos (5.ª ed.). Toronto, Ontario: Brook/Cole. pp. 64. ISBN 0-534-39330-6. Recuperado el 15 de julio de 2012 . Por lo tanto, tenemos el siguiente método geométrico para determinar si una función es biunívoca.
2. Zorn, Paul; Ostebee, Arnold (2002). Cálculo desde puntos de vista gráfico, numérico y simbólico (2.ª ed.). Australia: Brooks/Cole/Thomson Learning. pág. 185. ISBN 0-03-025681-XNinguna línea horizontal cruza el f-gráfico más de una vez.