Clase de seguimiento

Operador compacto para el que se puede definir una traza finita

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , un operador de clase de traza es un operador lineal para el cual se puede definir una traza , de modo que la traza sea un número finito independiente de la elección de la base utilizada para calcular la traza. Esta traza de operadores de clase de traza generaliza la traza de matrices estudiadas en álgebra lineal. Todos los operadores de clase de seguimiento son operadores compactos .

En mecánica cuántica, los estados mixtos se describen mediante matrices de densidad , que son ciertos operadores de clases de trazas.

Los operadores de clase de traza son esencialmente los mismos que los operadores nucleares , aunque muchos autores reservan el término "operador de clase de traza" para el caso especial de operadores nucleares en espacios de Hilbert y utilizan el término "operador nuclear" en espacios vectoriales topológicos más generales (como como espacios de Banach ).

Tenga en cuenta que el operador de traza estudiado en ecuaciones diferenciales parciales es un concepto no relacionado.

Definición

Sea un espacio de Hilbert separable , una base ortonormal y un operador lineal acotado positivo en . La traza de se denota y se define como ^{[1] [2]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} T}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Te_{k},e_{k}\right\rangle ,}$

independiente de la elección de la base ortonormal. El operador se llama clase de seguimiento si y sólo si ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} |T|<\infty ,}$

donde denota la raíz cuadrada hermitiana positiva-semidefinida . ^[3] ${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$

La norma de seguimiento de un operador de clase de seguimiento T se define como

$${\displaystyle \|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).}$$

normaespacio de Banach ${\displaystyle B_{1}(H)}$ ${\displaystyle B_{1}(H)}$

Cuando H es de dimensión finita, cada operador es clase de traza y esta definición de traza de T coincide con la definición de traza de una matriz . Si H es complejo, entonces siempre es autoadjunto (es decir ), aunque lo contrario no es necesariamente cierto. ^[4] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T^{*}=|T|}$

Formulaciones equivalentes

Dado un operador lineal acotado , cada una de las siguientes declaraciones equivale a estar en la clase de seguimiento: ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T}$

• ${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$es finito para cada base ortonormal de H . ^[1] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$
• T es un operador nuclear ^{[5] [6]}

Existen dos sucesiones ortogonales y en y números reales positivos en tales que y ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$

${\displaystyle x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,}$

¿Dónde están los valores singulares de T (o, de manera equivalente, los valores propios de ), repitiéndose cada valor con tanta frecuencia como su multiplicidad? ^[7] ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle |T|}$

• T es un operador compacto con ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty .}$

Si T es una clase de traza, entonces ^[8]

${\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.}$

• T es un operador integral . ^[9]
• T es igual a la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt . ^[10]
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$es un operador de Hilbert-Schmidt . ^[10]

Ejemplos

Teorema espectral

Sea un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert. Entonces es una clase de traza si y solo si tiene un espectro de puntos puro con valores propios tales que ^[11] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .}$

teorema de mercer

El teorema de Mercer proporciona otro ejemplo de operador de clase de traza. Es decir, supongamos que hay un núcleo definido positivo simétrico continuo en , definido como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

entonces el operador integral de Hilbert-Schmidt asociado es la clase de traza, es decir, ${\displaystyle T_{K}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

Operadores de rango finito

Todo operador de rango finito es un operador de clase de rastreo. Además, el espacio de todos los operadores de rango finito es un subespacio denso de (cuando está dotado de la norma de traza). ^[8] ${\displaystyle B_{1}(H)}$

Dado cualquiera, defina el operador por Entonces es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, es una clase de traza; además, para cualquier operador lineal acotado A en H (y en H ), ^[8] ${\displaystyle x,y\in H,}$ ${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$ ${\displaystyle (x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .}$

Propiedades

1. Si es un operador autoadjunto no negativo , entonces es clase de rastreo si y solo si. Por lo tanto, un operador autoadjunto es clase de rastreo si y solo si su parte positiva y su parte negativa son ambas de clase de rastreo. (Las partes positiva y negativa de un operador autoadjunto se obtienen mediante el cálculo funcional continuo ). ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{-}}$
2. La traza es una funcional lineal en el espacio de operadores de clase de traza, es decir,
   $${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).}$$
   El mapa bilineal
   $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$$
   es un producto interno de la clase de traza; la norma correspondiente se llama norma de Hilbert-Schmidt . La finalización de los operadores de clase de traza en la norma Hilbert-Schmidt se denomina operadores Hilbert-Schmidt.
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$es un funcional lineal positivo tal que si es un operador de clase de traza que satisface entonces ^[10] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,}$ ${\displaystyle T=0.}$
4. Si es clase de seguimiento, entonces también lo es y ^[10] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}$
5. Si está acotado y es de clase de rastreo, entonces y también son de clase de rastreo (es decir, el espacio de operadores de clase de rastreo en H es un ideal en el álgebra de operadores lineales acotados en H ), y ^{[10] [12]} ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle AT}$ ${\displaystyle TA}$
   $${\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.}$$
   Además, bajo la misma hipótesis, ^[10]
   $${\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}$$
   y La última afirmación también es válida bajo la hipótesis más débil de que A y T son Hilbert-Schmidt. ${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.}$
6. Si y son dos bases ortonormales de H y si T es una clase de trazas, entonces ^[8] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
7. Si A es de clase traza, entonces se puede definir el determinante de Fredholm de : ${\displaystyle I+A}$
   $${\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$$
   ¿Dónde está el espectro de La condición de clase traza en garantiza que el producto infinito es finito: de hecho, ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$
   $${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.}$$
   También implica que si y sólo si es invertible. ${\displaystyle \det(I+A)\neq 0}$ ${\displaystyle (I+A)}$
8. Si es una clase de trazas, entonces para cualquier base ortonormal la suma de términos positivos es finita. ^[10] ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$
9. Si se cumple para algunos operadores de Hilbert-Schmidt y luego para cualquier vector normal . ^[10] ${\displaystyle A=B^{*}C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e\in H,}$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |={\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$

teorema de lidskii

Sea un operador de clase de traza en un espacio de Hilbert separable y sean los valores propios de Supongamos que se enumeran teniendo en cuenta las multiplicidades algebraicas (es decir, si la multiplicidad algebraica de es entonces se repite veces en la lista ). El teorema de Lidskii (llamado así por Victor Borisovich Lidskii ) establece que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }$

$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)}$$

Tenga en cuenta que la serie de la derecha converge absolutamente debido a la desigualdad de Weyl.

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$$

valores singulares^[13] ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$ ${\displaystyle A.}$

Relación entre clases comunes de operadores.

Se pueden ver ciertas clases de operadores acotados como análogos no conmutativos de los espacios de secuencia clásicos , con operadores de clase de traza como análogos no conmutativos del espacio de secuencia. ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$

De hecho, es posible aplicar el teorema espectral para demostrar que cada operador de clase de traza normal en un espacio de Hilbert separable puede realizarse de cierta manera como una secuencia con respecto a alguna elección de un par de bases de Hilbert. En la misma línea, los operadores acotados son versiones no conmutativas de los operadores compactos de (las secuencias convergentes a 0), los operadores de Hilbert-Schmidt corresponden a y los operadores de rango finito a (las secuencias que solo tienen un número finito de términos distintos de cero) . Hasta cierto punto, las relaciones entre estas clases de operadores son similares a las relaciones entre sus contrapartes conmutativas. ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{00}}$

Recuerde que todo operador compacto en un espacio de Hilbert toma la siguiente forma canónica: existen bases ortonormales y y una secuencia de números no negativos tal que ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\to 0}$

$${\displaystyle Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.}$$

${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert-Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.}$$

A los operadores de clase de traza se les da la norma de traza. La norma correspondiente al producto interno de Hilbert-Schmidt es ${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$

$${\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.}$$

norma habitual del operador ${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$

$${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$$

${\displaystyle T.}$

También está claro que los operadores de rango finito son densos tanto en la clase de traza como en Hilbert-Schmidt en sus respectivas normas.

Clase Trace como dual de los operadores compactos.

El espacio dual de es De manera similar, tenemos que el dual de los operadores compactos, denotado por es los operadores de clase traza, denotado por El argumento, que ahora esbozamos, recuerda al de los espacios de secuencia correspondientes. Identifiquemos con el operador definido por ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle K(H)^{*},}$ ${\displaystyle B_{1}.}$ ${\displaystyle f\in K(H)^{*},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$

$${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),}$$

${\displaystyle S_{x,y}}$

$${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$$

Esta identificación funciona porque los operadores de rango finito son densos en normas. En el caso de que sea un operador positivo, para cualquier base ortonormal que se tenga ${\displaystyle K(H).}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle u_{i},}$

$${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$$

${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$$

Pero esto significa que es clase de rastreo. Una apelación a la descomposición polar extiende esto al caso general, donde no es necesario que sea positivo. ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{f}}$

Un argumento limitante que utiliza operadores de rango finito muestra que Así es isométricamente isomorfo a ${\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}$ ${\displaystyle K(H)^{*}}$ ${\displaystyle C_{1}.}$

Como el predual de los operadores acotados

Recuerde que el dual de es En el contexto actual, el dual de los operadores de clase traza son los operadores acotados. Más precisamente, el conjunto es un ideal bilateral en Entonces, dado cualquier operador, podemos definir una funcional lineal continua en por Esta correspondencia entre operadores lineales acotados y elementos del espacio dual de es un isomorfismo isométrico . Se deduce que es el espacio dual de Esto se puede utilizar para definir la topología débil-* en ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle T\in B(H),}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle C_{1}.}$ ${\displaystyle B(H).}$

Ver también

• Operador nuclear
• Operadores nucleares entre espacios de Banach
• Operador de seguimiento

Referencias

1. Conway 2000, pág. 86.
2. Reed y Simon 1980, pág. 206.
3. Reed y Simon 1980, pág. 196.
4. Reed y Simon 1980, pág. 195.
5. Tréves 2006, pag. 494.
6. Conway 2000, pag. 89.
7. Reed y Simon 1980, págs. 203-204, 209.
8. Conway 1990, pag. 268.
9. Trèves 2006, págs. 502–508.
10. Conway 1990, pag. 267.
11. Simón 2010, pag. 21.
12. Reed y Simon 1980, pág. 218.
13. Simon, B. (2005) Trace ideales y sus aplicaciones , segunda edición, American Mathematical Society.

Bibliografía

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• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien . Gauthier-Villars.
• Caña, M .; Simón, B. (1980). Métodos de la física matemática moderna: Vol 1: Análisis funcional . Prensa académica. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 3. Nueva York, Nueva York: Springer New York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
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