Conjunto de subespacios n-dimensionales de un espacio normado convertidos en un espacio métrico compacto.
En el estudio matemático del análisis funcional , la distancia de Banach-Mazur es una forma de definir una distancia en el conjunto de espacios normados de dimensiones . Con esta distancia, el conjunto de clases de isometría de espacios normados -dimensionales se convierte en un espacio métrico compacto , llamado compacto de Banach-Mazur .
Definiciones
Si y son dos espacios normados de dimensión finita con la misma dimensión, denotemos la colección de todos los isomorfismos lineales. Denotemos por la norma del operador de dicha aplicación lineal: el factor máximo por el cual "alarga" los vectores. La distancia entre Banach-Mazur y está definida por
Tenemos si y sólo si los espacios y son isométricamente isomorfos. Equipado con la métrica δ , el espacio de clases de isometría de espacios normados de dimensiones se convierte en un espacio métrico compacto , llamado compacto de Banach-Mazur.
Muchos autores prefieren trabajar con la distancia multiplicativa de Banach-Mazur.
Propiedades
El teorema de F. John sobre el elipsoide máximo contenido en un cuerpo convexo da la estimación:
- [1]
donde denota con la norma euclidiana (ver el artículo sobre espacios ).
De esto se deduce que para todos los espacios clásicos, sin embargo, este límite superior para el diámetro de está lejos de ser alcanzado. Por ejemplo, la distancia entre y es (sólo) de orden (hasta una constante multiplicativa independiente de la dimensión ).
Un logro importante en la estimación del diámetro se debe a E. Gluskin, quien demostró en 1981 que el diámetro (multiplicativo) del compacto de Banach-Mazur está acotado por debajo de para algún universal
El método de Gluskin introduce una clase de politopos simétricos aleatorios en los espacios normados que tienen como unidad la bola (el espacio vectorial es y la norma es el calibre de ). La prueba consiste en demostrar que la estimación requerida es verdadera con gran probabilidad para dos copias independientes del espacio normado.
es un extensor absoluto. [2] Por otro lado, no es homeomorfo a un cubo de Hilbert .
Ver también
Notas
- ^ Cubo
- ^ "El compacto de Banach-Mazur no es homeomórfico con respecto al cubo de Hilbert" (PDF) . www.iop.org .
Referencias
- Giannopoulos, AA (2001) [1994], "Banach-Mazur compactum", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Gluskin, Efim D. (1981). "El diámetro del compacto de Minkowski es aproximadamente igual a n (en ruso)". Funcional. Anal. Yo Prilozhen . 15 (1): 72–73. doi :10.1007/BF01082381. SEÑOR 0609798. S2CID 123649549.
- Tomczak-Jaegermann, Nicole (1989). Distancias de Banach-Mazur e ideales de operadores de dimensión finita . Monografías y estudios de Pitman en matemáticas puras y aplicadas 38. Longman Scientific & Technical, Harlow; Publicado conjuntamente en Estados Unidos con John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. págs. xii+395. ISBN 0-582-01374-7. SEÑOR 0993774.
- Compacto de Banach-Mazur
- Una nota sobre la distancia de Banach-Mazur al cubo
- El compactum de Banach-Mazur es la compactación de Alexandroff de una variedad cúbica de Hilbert