En el análisis funcional , un álgebra de operadores reflexiva A es un álgebra de operadores que tiene suficientes subespacios invariantes para caracterizarla. Formalmente, A es reflexiva si es igual al álgebra de operadores acotados que dejan invariante cada subespacio que deja invariante cada operador en A.
Esto no debe confundirse con un espacio reflexivo .
Las álgebras de nidos son ejemplos de álgebras de operadores reflexivos. En dimensiones finitas, son simplemente álgebras de todas las matrices de un tamaño determinado cuyas entradas distintas de cero se encuentran en un patrón triangular superior.
De hecho, si fijamos cualquier patrón de entradas en una matriz n por n que contenga la diagonal, entonces el conjunto de todas las matrices n por n cuyas entradas distintas de cero se encuentran en este patrón forma un álgebra reflexiva.
Un ejemplo de un álgebra que no es reflexiva es el conjunto de matrices de 2 × 2
Esta álgebra es más pequeña que el álgebra de Nest.
pero tiene los mismos subespacios invariantes, por lo que no es reflexivo.
Si T es una matriz fija de n por n , entonces el conjunto de todos los polinomios en T y el operador identidad forman un álgebra de operadores unitarios. Un teorema de Deddens y Fillmore establece que esta álgebra es reflexiva si y solo si los dos bloques más grandes en la forma normal de Jordan de T difieren en tamaño como máximo en uno. Por ejemplo, el álgebra
que es igual al conjunto de todos los polinomios en
y la identidad es reflexiva.
Sea un álgebra de operadores débilmente*-cerrada contenida en B ( H ), el conjunto de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert H y para T cualquier operador en B ( H ), sea
Obsérvese que P es una proyección involucrada en este supremo precisamente si el rango de P es un subespacio invariante de .
El álgebra es reflexiva si y sólo si para cada T en B ( H ):
Observamos que para cualquier T en B(H) se satisface la siguiente desigualdad:
Aquí está la distancia de T desde el álgebra, es decir, la norma más pequeña de un operador TA donde A recorre el álgebra. Llamamos hiperreflexivo si hay una constante K tal que para cada operador T en B ( H ),
La K más pequeña de estas se denomina constante de distancia para . Un álgebra de operadores hiperreflexiva es automáticamente reflexiva.
En el caso de un álgebra reflexiva de matrices con entradas distintas de cero especificadas por un patrón dado, el problema de encontrar la constante de distancia puede reformularse como un problema de llenado de matrices: si llenamos las entradas en el complemento del patrón con entradas arbitrarias, ¿qué elección de entradas en el patrón da la norma del operador más pequeña?
