Espacio uniformemente convexo

Concepto en matemáticas de espacios vectoriales

En matemáticas , los espacios uniformemente convexos (o espacios uniformemente rotundos ) son ejemplos comunes de espacios de Banach reflexivos . El concepto de convexidad uniforme fue introducido por primera vez por James A. Clarkson en 1936.

Definición

Un espacio uniformemente convexo es un espacio vectorial normado tal que, para cada uno , existe algún vector tal que para cualesquiera dos vectores con y la condición ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x\|=1}$ ${\displaystyle \|y\|=1,}$

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$

implica que:

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .}$

Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la bola unitaria debe estar profundamente dentro de la bola unitaria a menos que el segmento sea corto.

Propiedades

• La esfera unitaria puede reemplazarse por la bola unitaria cerrada en la definición. Es decir, un espacio vectorial normado es uniformemente convexo si y solo si para cada hay algún vector tal que, para cualesquiera dos vectores y en la bola unitaria cerrada (es decir , y ) con , se tiene (nótese que, dado , el valor correspondiente de podría ser menor que el proporcionado por la definición más débil original). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|y\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$ ${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$

• El teorema de Milman-Pettis establece que todo espacio de Banach uniformemente convexo es reflexivo , mientras que lo inverso no es cierto.
• Todo espacio de Banach uniformemente convexo es un espacio de Radon-Riesz , es decir, si es una secuencia en un espacio de Banach uniformemente convexo que converge débilmente a y satisface entonces converge fuertemente a , es decir, . ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|,}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}$
• Un espacio de Banach es uniformemente convexo si y sólo si su dual es uniformemente suave . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$
• Todo espacio uniformemente convexo es estrictamente convexo . Intuitivamente, la convexidad estricta implica una desigualdad triangular más fuerte siempre que sean linealmente independientes, mientras que la convexidad uniforme requiere que esta desigualdad sea verdadera de manera uniforme. ${\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$ ${\displaystyle x,y}$

Ejemplos

• Todo espacio de producto interno es uniformemente convexo. ^[1]
• Todo subespacio cerrado de un espacio de Banach uniformemente convexo es uniformemente convexo.
• Las desigualdades de Clarkson implican que los espacios L p son uniformemente convexos. ${\displaystyle (1<p<\infty )}$
• Por el contrario, no es uniformemente convexo. ${\displaystyle L^{\infty }}$

Véase también

• Módulo y característica de convexidad
• Función uniformemente convexa
• Espacio uniformemente liso

Referencias

Citas

1. Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos (2.ª ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. p. 524, Ejemplo 16.2.3. ISBN 978-1-58488-866-6.

Referencias generales

• Clarkson, JA (1936). "Espacios uniformemente convexos". Trans. Amer. Math. Soc . 40 (3). American Mathematical Society: 396–414. doi : 10.2307/1989630 . JSTOR  1989630..
• Hanner, O. (1956). "Sobre la convexidad uniforme de L p {\displaystyle L^{p}} y l p {\displaystyle l^{p}}". Ark. Mat . 3 : 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 ..
• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introducción a los espacios de Banach y su geometría (segunda edición revisada). Holanda Septentrional. ISBN 0-444-86416-4.
• Per Enflo (1972). "Espacios de Banach a los que se les puede dar una norma uniformemente convexa equivalente". Revista israelí de matemáticas . 13 (3–4): 281–288. doi :10.1007/BF02762802.
• Lindenstrauss, Joram y Benyamini, Yoav. Análisis funcional no lineal geométrico . Publicaciones del coloquio, 48. American Mathematical Society.