Propiedad de Radon-Riesz

La propiedad de Radon-Riesz es una propiedad matemática para espacios normados que ayuda a garantizar la convergencia en la norma. Dadas dos suposiciones (esencialmente, convergencia débil y continuidad de la norma), nos gustaría garantizar la convergencia en la topología de la norma .

Definición

Supongamos que ( X , ||·||) es un espacio normado. Decimos que X tiene la propiedad de Radon–Riesz (o que X es un espacio de Radon–Riesz ) si siempre que es una sucesión en el espacio y es un miembro de X tal que converge débilmente a y , entonces converge a en norma; es decir, . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert =\Vert x\Vert }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Vert x_{n}-x\Vert =0}$

Otros nombres

Aunque parece que Johann Radon fue uno de los primeros en hacer un uso significativo de esta propiedad en 1913, MI Kadets y VL Klee también usaron versiones de la propiedad de Radon-Riesz para hacer avances en la teoría del espacio de Banach a fines de la década de 1920. Es común que la propiedad de Radon-Riesz también se denomine propiedad de Kadets-Klee o propiedad (H) . Según Robert Megginson , la letra H no significa nada. Simplemente se la mencionaba como propiedad (H) en una lista de propiedades para espacios normados que comienza con (A) y termina con (H). Esta lista fue dada por K. Fan e I. Glicksberg (Obsérvese que la definición de (H) dada por Fan y Glicksberg incluye adicionalmente la redondez de la norma, por lo que no coincide con la propiedad de Radon-Riesz en sí). La parte "Riesz" del nombre se refiere a Frigyes Riesz . También hizo algún uso de esta propiedad en la década de 1920.

Es importante saber que el nombre "propiedad de Kadets-Klee" se utiliza a veces para hablar de la coincidencia de las topologías débiles y las topologías normativas en la esfera unitaria del espacio normado.

Ejemplos

1. Todo espacio real de Hilbert es un espacio de Radon-Riesz. De hecho, supongamos que H es un espacio real de Hilbert y que es una sucesión en H que converge débilmente a un miembro de H . Utilizando los dos supuestos sobre la sucesión y el hecho de que ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \langle x_{n}-x,x_{n}-x\rangle =\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle +\langle x,x\rangle ,}$

y dejando n tender a infinito, vemos que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\langle x_{n}-x,x_{n}-x\rangle }=0.}$

Por lo tanto H es un espacio de Radon-Riesz.

2. Todo espacio de Banach uniformemente convexo es un espacio de Radon-Riesz. Véase la sección 3.7 del análisis funcional de Haim Brezis .

Véase también

• Johann Radon
• Frigyes Riesz
• Teoría del espacio de Hilbert o del espacio de Banach
• Topología débil
• Espacio normado
• Análisis funcional
• La propiedad de Schur

Referencias

• Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Nueva York, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98431-3