Topología débil

Término matemático

En matemáticas , la topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales , a menudo en espacios vectoriales topológicos o espacios de operadores lineales , por ejemplo en un espacio de Hilbert . El término se utiliza más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normado ) con respecto a su dual continuo . El resto de este artículo se ocupará de este caso, que es uno de los conceptos del análisis funcional .

Se puede decir que los subconjuntos de un espacio vectorial topológico son débilmente cerrados (respectivamente, débilmente compactos , etc.) si son cerrados (respectivamente, compactos , etc.) con respecto a la topología débil. Asimismo, a las funciones a veces se las dice débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables , débilmente analíticas , etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables , analíticas , etc.) con respecto a la topología débil.

Historia

A principios del siglo XX, David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un uso extensivo de la convergencia débil. Los primeros pioneros del análisis funcional no elevaron la convergencia normativa por encima de la convergencia débil y, a menudo, consideraron que la convergencia débil era preferible. ^[1] En 1929, Banach introdujo la convergencia débil para espacios normados y también introdujo la convergencia débil-* análoga . ^[1] La topología débil se denomina topologie faible en francés y schwache Topologie en alemán.

Las topologías débiles y fuertes

Sea un cuerpo topológico , es decir, un cuerpo con una topología tal que la suma, la multiplicación y la división son continuas . En la mayoría de las aplicaciones, será el cuerpo de los números complejos o el cuerpo de los números reales con las topologías conocidas. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Topología débil con respecto a un emparejamiento

Tanto la topología débil como la topología débil* son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos , que describimos a continuación. El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado que se demuestre para ella se aplica tanto a la topología débil como a la topología débil*, lo que hace redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones. Esta es también la razón por la que la topología débil* también se conoce con frecuencia como "topología débil"; porque es solo una instancia de la topología débil en el contexto de esta construcción más general.

Supongamos que ( X , Y , b ) es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre un campo topológico (es decir, X e Y son espacios vectoriales sobre y b  : X × Y → es una función bilineal ). ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Notación. Para todo x ∈ X , sea b ( x , •) : Y → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ el funcional lineal sobre Y definido por y ↦ b ( x , y ) . De manera similar, para todo y ∈ Y , sea b (•, y ) : X → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ definido por x ↦ b ( x , y ) .

Definición. La topología débil en X inducida por Y (y b ) es la topología más débil en X , denotada por 𝜎( X , Y , b ) o simplemente 𝜎( X , Y ) , lo que hace que todas las funciones b (•, y ) : X → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ sean continuas, ya que y se extiende sobre Y . ^[1]

La topología débil en Y ahora se define automáticamente como se describe en el artículo Sistema dual . Sin embargo, para mayor claridad, lo repetimos ahora.

Definición. La topología débil en Y inducida por X (y b ) es la topología más débil en Y , denotada por 𝜎( Y , X , b ) o simplemente 𝜎( Y , X ) , lo que hace que todas las funciones b ( x , •) : Y → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ sean continuas, ya que x se extiende sobre X . ^[1]

Si el campo tiene un valor absoluto | ⋅ | , entonces la topología débil 𝜎( X , Y , b ) en X es inducida por la familia de seminormas , p _y  : X → , definida por ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

p _y ( x ) := | b ( x , y ) |

para todos y ∈ Y y x ∈ X. Esto demuestra que las topologías débiles son localmente convexas .

Suposición. De ahora en adelante supondremos que se trata de números reales o de números complejos . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Dualidad canónica

Ahora consideramos el caso especial donde Y es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de X (es decir, un espacio vectorial de funcionales lineales en X ).

Existe un emparejamiento, denotado por o , llamado emparejamiento canónico cuyo mapa bilineal es el mapa de evaluación canónica , definido por para todos y . Nótese en particular que es solo otra forma de denotar ie . ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x'\in Y}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle }$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )}$

Suposición. Si Y es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de X, entonces asumiremos que están asociados con el emparejamiento canónico ⟨ X , Y ⟩ .

En este caso, la topología débil en X (resp. la topología débil en Y ), denotada por 𝜎( X , Y ) (resp. por 𝜎( Y , X ) ) es la topología débil en X (resp. en Y ) con respecto al emparejamiento canónico ⟨ X , Y ⟩ .

La topología σ( X , Y ) es la topología inicial de X con respecto a Y .

Si Y es un espacio vectorial de funcionales lineales en X , entonces el dual continuo de X con respecto a la topología σ( X , Y ) es precisamente igual a Y . ^[1] (Rudin 1991, Teorema 3.10)

Las topologías débiles y débiles*

Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) sobre , es decir, X es un espacio vectorial equipado con una topología tal que la adición de vectores y la multiplicación escalar son continuas. Llamamos a la topología que X comienza con la original , topología de partida o dada (se advierte al lector que no utilice los términos " topología inicial " y " topología fuerte " para referirse a la topología original, ya que estos ya tienen significados bien conocidos, por lo que su uso puede causar confusión). Podemos definir una topología posiblemente diferente en X utilizando el espacio dual topológico o continuo , que consta de todos los funcionales lineales desde X hasta el cuerpo base que son continuos con respecto a la topología dada. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Recordemos que es el mapa de evaluación canónico definido por para todos y , donde en particular, . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x'\in X^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )=x'}$

Definición. La topología débil en X es la topología débil en X con respecto al emparejamiento canónico . Es decir, es la topología más débil en X , lo que hace que todas las funciones sean continuas, ya que los rangos sobre . ^[1] ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$ ${\displaystyle x'=\langle \cdot ,x'\rangle :X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Definición : La topología débil en ${\displaystyle X^{*}}$ es la topología débil en con respecto al emparejamiento canónico . Es decir, es la topología más débil en haciendo que todas las funciones sean continuas, ya que x varía en X. ^[1] Esta topología también se denomina topología débil* . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle x,\cdot \rangle :X^{*}\to \mathbb {K} }$

A continuación damos definiciones alternativas.

Topología débil inducida por el espacio dual continuo

Alternativamente, la topología débil en un TVS X es la topología inicial con respecto a la familia . En otras palabras, es la topología más burda en X tal que cada elemento de sigue siendo una función continua . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Una subbase para la topología débil es la colección de conjuntos de la forma donde y U es un subconjunto abierto del cuerpo base . En otras palabras, un subconjunto de X es abierto en la topología débil si y solo si puede escribirse como una unión de conjuntos (posiblemente infinitos), cada uno de los cuales es una intersección de un número finito de conjuntos de la forma . ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \phi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$

Desde este punto de vista, la topología débil es la topología polar más burda .

Convergencia débil

La topología débil se caracteriza por la siguiente condición: una red en X converge en la topología débil al elemento x de X si y sólo si converge a en o para todo . ${\displaystyle (x_{\lambda })}$ ${\displaystyle \phi (x_{\lambda })}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi \in X^{*}}$

En particular, si es una secuencia en X , entonces converge débilmente a x si ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \varphi (x_{n})\to \varphi (x)}$

como n → ∞ para todo . En este caso, se acostumbra escribir ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$

${\displaystyle x_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\longrightarrow }}x}$

o, a veces,

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x.}$

Otras propiedades

Si X está equipado con la topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas y X es un espacio vectorial topológico localmente convexo .

Si X es un espacio normado, entonces el espacio dual es en sí mismo un espacio vectorial normado al utilizar la norma ${\displaystyle X^{*}}$

${\displaystyle \|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|.}$

Esta norma da lugar a una topología, llamada topología fuerte , en . Esta es la topología de convergencia uniforme . Las topologías uniforme y fuerte son generalmente diferentes para otros espacios de aplicaciones lineales; véase más abajo. ${\displaystyle X^{*}}$

Topología débil-*

La topología débil* es un ejemplo importante de topología polar .

Un espacio X puede ser incrustado en su doble dual X** mediante

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}T_{x}:X^{*}\to \mathbb {K} \\T_{x}(\phi )=\phi (x)\end{cases}}}$

Por lo tanto, se trata de una aplicación lineal inyectiva , aunque no necesariamente sobreyectiva (los espacios para los que esta incrustación canónica es sobreyectiva se denominan reflexivos ). La topología débil-* en es la topología débil inducida por la imagen de . En otras palabras, es la topología más burda tal que las aplicaciones T _x , definidas por desde al cuerpo base o permanecen continuas. ${\displaystyle T:X\to X^{**}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle T:T(X)\subset X^{**}}$ ${\displaystyle T_{x}(\phi )=\phi (x)}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Convergencia débil*

Una red en es convergente a en la topología débil-* si converge puntualmente: ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{\lambda }(x)\to \phi (x)}$

para todos . En particular, una secuencia de converge a siempre que ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{n}\in X^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{n}(x)\to \phi (x)}$

para todo x ∈ X . En este caso, se escribe

${\displaystyle \phi _{n}{\overset {w^{*}}{\to }}\phi }$

como n → ∞ .

La convergencia débil* se denomina a veces convergencia simple o convergencia puntual . De hecho, coincide con la convergencia puntual de los funcionales lineales.

Propiedades

Si X es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y H es un subconjunto acotado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado de la topología débil* (subespacio) es un espacio topológico metrizable . ^[1] Sin embargo, para espacios de dimensión infinita, la métrica no puede ser invariante a la traducción. ^[2] Si X es un espacio localmente convexo metrizable separable , entonces la topología débil* en el espacio dual continuo de X es separable. ^[1]

Propiedades de los espacios normados

Por definición, la topología débil* es más débil que la topología débil en . Un hecho importante sobre la topología débil* es el teorema de Banach–Alaoglu : si X está normalizado, entonces la bola unitaria cerrada en es débil* -compacta (de manera más general, la polar en de un entorno de 0 en X es débil*-compacta). Además, la bola unitaria cerrada en un espacio normalizado X es compacta en la topología débil si y solo si X es reflexiva . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

En términos más generales, sea F un cuerpo de valor localmente compacto (por ejemplo, los números reales, los números complejos o cualquiera de los sistemas numéricos p-ádicos). Sea X un espacio vectorial topológico normado sobre F , compatible con el valor absoluto en F . Entonces en , el espacio topológico dual X de funcionales lineales continuos de valor F sobre X , todas las bolas cerradas por norma son compactas en la topología débil*. ${\displaystyle X^{*}}$

Si X es un espacio normado, se cumple una versión del teorema de Heine-Borel . En particular, un subconjunto del dual continuo es débilmente compacto* si y solo si es débilmente cerrado* y acotado por norma. ^[1] Esto implica, en particular, que cuando X es un espacio normado de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada en el origen en el espacio dual de X no contiene ningún entorno débil* de 0 (ya que cualquier entorno de ese tipo no está acotado por norma). ^[1] Por lo tanto, aunque las bolas cerradas por norma sean compactas, X* no es débilmente compacto localmente .

Si X es un espacio normado, entonces X es separable si y solo si la topología débil* en la bola unitaria cerrada de es metrizable, ^[1] en cuyo caso la topología débil* es metrizable en subconjuntos acotados por norma de . Si un espacio normado X tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología de norma dual), entonces X es necesariamente separable. ^[1] Si X es un espacio de Banach , la topología débil* no es metrizable en todos los de a menos que X sea de dimensión finita. ^[3] ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Ejemplos

Espacios de Hilbert

Consideremos, por ejemplo, la diferencia entre convergencia fuerte y convergencia débil de funciones en el espacio de Hilbert L ² ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . La convergencia fuerte de una secuencia a un elemento ψ significa que ${\displaystyle \psi _{k}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\psi _{k}-\psi |^{2}\,{\rm {d}}\mu \,\to 0}$

como k → ∞ . Aquí la noción de convergencia corresponde a la norma en L ² .

Por el contrario, la convergencia débil sólo exige que

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\,\mathrm {d} \mu \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}f\,\mathrm {d} \mu }$

para todas las funciones f ∈ L ² (o, más típicamente, todas las f en un subconjunto denso de L ² tal como un espacio de funciones de prueba , si la secuencia { ψ _k } está acotada). Para funciones de prueba dadas, la noción relevante de convergencia solo corresponde a la topología utilizada en . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Por ejemplo, en el espacio de Hilbert L ² (0,π) , la secuencia de funciones

${\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {2/\pi }}\sin(kx)}$

forman una base ortonormal . En particular, el límite (fuerte) de cuando k → ∞ no existe. Por otra parte, por el lema de Riemann-Lebesgue , el límite débil existe y es cero. ${\displaystyle \psi _{k}}$

Distribuciones

Normalmente, se obtienen espacios de distribuciones formando el dual fuerte de un espacio de funciones de prueba (como las funciones suaves con soporte compacto en ). En una construcción alternativa de tales espacios, se puede tomar el dual débil de un espacio de funciones de prueba dentro de un espacio de Hilbert como L ² . De este modo, se llega a considerar la idea de un espacio de Hilbert manipulado . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Topología débil inducida por el dual algebraico

Supóngase que X es un espacio vectorial y X ^# es el espacio dual algebraico de X (es decir, el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en X ). Si X está dotado de la topología débil inducida por X ^# entonces el espacio dual continuo de X es X ^# , cada subconjunto acotado de X está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita de X , cada subespacio vectorial de X es cerrado y tiene un complemento topológico . ^[4]

Topologías de operadores

Si X e Y son espacios vectoriales topológicos, el espacio L ( X , Y ) de operadores lineales continuos f  : X  →  Y puede tener una variedad de diferentes topologías posibles. La denominación de tales topologías depende del tipo de topología que se esté usando en el espacio objetivo Y para definir la convergencia del operador (Yosida 1980, IV.7 Topologías de aplicaciones lineales). En general, hay una amplia gama de posibles topologías de operadores en L ( X , Y ) , cuya denominación no es completamente intuitiva.

Por ejemplo, la topología de operadores fuertes en L ( X , Y ) es la topología de convergencia puntual . Por ejemplo, si Y es un espacio normado, entonces esta topología está definida por las seminormas indexadas por x ∈ X :

${\displaystyle f\mapsto \|f(x)\|_{Y}.}$

De manera más general, si una familia de seminormas Q define la topología en Y , entonces las seminormas p _{q , x} en L ( X , Y ) que definen la topología fuerte están dadas por

${\displaystyle p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),}$

indexado por q ∈ Q y x ∈ X .

En particular, consulte la topología del operador débil y la topología del operador débil* .

Véase también

• Eberlein compactum , un conjunto compacto en la topología débil
• Convergencia débil (espacio de Hilbert)
• Topología de operador de estrella débil
• Débil convergencia de medidas
• Topologías sobre espacios de aplicaciones lineales
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Topología vaga

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225-273.
2. Folland 1999, págs. 170.
3. Proposición 2.6.12, p. 226 en Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Graduate Texts in Mathematics, vol. 183, Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+596, ISBN 0-387-98431-3.
4. Trèves 2006, págs. 36, 201.

Bibliografía

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• Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Pedersen, Gert (1989), Análisis ahora , Springer, ISBN 0-387-96788-5
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Willard, Stephen (febrero de 2004). Topología general . Courier Dover Publications. ISBN 9780486434797.
• Yosida, Kosaku (1980), Análisis funcional (6ª ed.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8