Topologías de operadores

En el campo matemático del análisis funcional existen varias topologías estándar que se dan al álgebra $B(X)$ de operadores lineales acotados en un espacio de Banach $X$ .

Introducción

Sea una secuencia de operadores lineales en el espacio de Banach $X$ . Consideremos la afirmación de que converge a algún operador $T$ en $X$ . Esto podría tener varios significados diferentes: $(T_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ $(T_{n})_{n\in \mathbb {N}}$

Si , es decir, la norma del operador de (el supremo de , donde $x$ varía sobre la bola unitaria en $X$ ) converge a 0, decimos que en la topología de operador uniforme . $\|T_{n}-T\|\a 0$ $Estilo de visualización T_{n}-T$ $\|T_{n}x-Tx\|_{X}$ $T_{n}\to T$
Si para todos , entonces decimos en la topología de operadores fuertes . $T_{n}x\to Tx$ $x\en X$ $T_{n}\to T$
Finalmente, supongamos que para todo $x \in X$ tenemos en la topología débil de $X$ . Esto significa que para todos los funcionales lineales continuos $F$ en $X$ . En este caso decimos que en la topología de operadores débiles . $T_{n}x\to Tx$ $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ $T_{n}\to T$

Lista de topologías en B(yo)

Diagrama de relaciones entre topologías en el espacio $B(X)$ de operadores acotados

Existen muchas topologías que pueden definirse en $B(X)$ además de las utilizadas anteriormente; la mayoría se definen inicialmente solo cuando $X = H$ es un espacio de Hilbert, aunque en muchos casos existen generalizaciones apropiadas. Las topologías que se enumeran a continuación son todas localmente convexas, lo que implica que están definidas por una familia de seminormas .

En análisis, una topología se denomina fuerte si tiene muchos conjuntos abiertos y débil si tiene pocos conjuntos abiertos, de modo que los modos de convergencia correspondientes son, respectivamente, fuerte y débil. (En topología propiamente dicha, estos términos pueden sugerir el significado opuesto, por lo que fuerte y débil se reemplazan por, respectivamente, fino y grueso.) El diagrama de la derecha es un resumen de las relaciones, con las flechas apuntando de fuerte a débil.

Si $H$ es un espacio de Hilbert, el espacio lineal de operadores de espacio de Hilbert $B(X)$ tiene un predual (único) , que consiste en los operadores de la clase traza, cuyo dual es $B($ $X$ $)$ . La seminorma $p$ $w$ $($ $x$ $)$ para w positivo en el predual se define como $B($ $w$ $,$ $x$ $*$ $x$ $)$ $1/2$ . $Estilo de visualización B(H)_{*}}$

Si $B$ es un espacio vectorial de mapas lineales en el espacio vectorial $A$ , entonces $σ(A, B)$ se define como la topología más débil en $A$ tal que todos los elementos de $B$ son continuos.

La topología normal o topología uniforme o topología de operador uniforme se define por la norma habitual || x || en $B(H)$ . Es más fuerte que todas las demás topologías que se indican a continuación.
La topología débil (espacio de Banach) es $σ(B(H), B(H) *)$ , en otras palabras, la topología más débil tal que todos los elementos del dual $B(H) *$ son continuos. Es la topología débil en el espacio de Banach $B(H)$ . Es más fuerte que las topologías ultradébil y de operador débil. (Advertencia: la topología del espacio de Banach débil, la topología de operador débil y la topología ultradébil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).
La topología Mackey o topología Arens-Mackey es la topología localmente convexa más fuerte en $B(H)$ tal que el dual es $B(H) *$ , y también es la topología de convergencia uniforme en $Bσ(B(H) *$ , $B(H)$ -subconjuntos convexos compactos de $B(H) *$ . Es más fuerte que todas las topologías siguientes.
La topología σ-fuerte- ^* o topología ultrafuerte- ^* es la topología más débil, más fuerte que la topología ultrafuerte, de modo que la función adjunta es continua. Se define por la familia de seminormas $p w (x)$ y $p w (x *)$ para elementos positivos $w$ de $B(H) *$ . Es más fuerte que todas las topologías que se indican a continuación.
La topología σ-fuerte o topología ultrafuerte o topología más fuerte o topología del operador más fuerte se define por la familia de seminormas $p w (x)$ para elementos positivos $w$ de $B(H) *$ . Es más fuerte que todas las topologías siguientes, excepto la topología fuerte ^* . Advertencia: a pesar del nombre "topología más fuerte", es más débil que la topología normal.)
La topología σ-débil o topología ultradébil o topología de operador débil ^* o topología débil * o topología débil o topología $σ(B(H), B(H) *$ ) se define por la familia de seminormas |( w , x )| para los elementos w de $B(H) *$ . Es más fuerte que la topología de operador débil. (Advertencia: la topología de espacio de Banach débil, la topología de operador débil y la topología ultradébil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).
La topología del operador fuerte-* o topología fuerte- ^* se define por las seminormas || x ( h )|| y || x ^* ( h )|| para $h \in H$ . Es más fuerte que las topologías de operador fuerte y débil.
La topología de operador fuerte (SOT) o topología fuerte se define por las seminormas || x ( h )|| para $h \in H$ . Es más fuerte que la topología de operador débil.
La topología de operador débil (WOT) o topología débil se define por las seminormas |( x ( h ₁ ), h ₂ )| para $h 1, h 2 \in H$ . (Advertencia: la topología de espacio de Banach débil, la topología de operador débil y la topología ultradébil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).

Relaciones entre las topologías

Los funcionales lineales continuos en $B(H)$ para las topologías débil, fuerte y fuerte ^{* (operador) son los mismos, y son las combinaciones lineales finitas de los funcionales lineales (x}h ₁ , h ₂ ) para $h 1, h 2 \in H$ . Los funcionales lineales continuos en $B(H)$ para las topologías ultradébil, ultrafuerte, ultrafuerte ^* y Arens-Mackey son los mismos, y son los elementos del predual $B(H) *$ .

Por definición, los funcionales lineales continuos en la topología de la norma son los mismos que los de la topología del espacio de Banach débil. Este dual es un espacio bastante grande con muchos elementos patológicos.

En conjuntos acotados por normas de $B(H)$ , las topologías débil (operador) y ultradébil coinciden. Esto se puede ver, por ejemplo, a través del teorema de Banach-Alaoglu . Básicamente, por la misma razón, la topología ultrafuerte es la misma que la topología fuerte en cualquier subconjunto acotado por normas de $B(H)$ . Lo mismo es cierto para la topología de Arens-Mackey, la topología ultrafuerte ^* y la topología fuerte ^{* .}

En espacios localmente convexos, el cierre de conjuntos convexos se puede caracterizar por los funcionales lineales continuos. Por lo tanto, para un subconjunto convexo $K$ de $B(H)$ , las condiciones para que $K$ sea cerrado en las topologías ultrafuerte ^* , ultrafuerte y ultradébil son todas equivalentes y también son equivalentes a las condiciones para que para todo $r > 0$ , $K$ tenga intersección cerrada con la bola cerrada de radio $r$ en las topologías fuerte ^* , fuerte o débil (operador).

La topología normal es metrizable y las demás no; de hecho, no son numerables en primer lugar . Sin embargo, cuando $H$ es separable, todas las topologías anteriores son metrizables cuando se limitan a la bola unitaria (o a cualquier subconjunto acotado por la norma).

Topología a utilizar

Las topologías más utilizadas son la topología de operador débil, la topología de operador fuerte y la topología de norma. La topología de operador débil es útil para argumentos de compacidad, porque la bola unitaria es compacta según el teorema de Banach-Alaoglu . La topología de norma es fundamental porque convierte $a B(H)$ en un espacio de Banach, pero es demasiado fuerte para muchos propósitos; por ejemplo, $B(H)$ no es separable en esta topología. La topología de operador fuerte podría ser la más utilizada.

Las topologías ultradébiles y ultrafuertes se comportan mejor que las topologías de operadores débiles y fuertes, pero sus definiciones son más complicadas, por lo que no suelen utilizarse a menos que sus mejores propiedades sean realmente necesarias. Por ejemplo, el espacio dual de $B(H)$ en la topología de operadores débiles o fuertes es demasiado pequeño para tener mucho contenido analítico.

El mapa adjunto no es continuo en las topologías de operador fuerte y ultrafuerte, mientras que las topologías fuerte* y ultrafuerte* son modificaciones para que el adjunto se vuelva continuo. No se utilizan muy a menudo.

La topología de Arens-Mackey y la topología del espacio de Banach débil se utilizan relativamente raramente.

En resumen, las tres topologías esenciales en $B(H)$ son la norma, la ultrafuerte y la ultradébil. Las topologías de operador débil y fuerte se utilizan ampliamente como aproximaciones convenientes a las topologías ultradébil y ultrafuerte. Las otras topologías son relativamente oscuras.

Véase también

Operador acotado : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos
Operador lineal continuo
Espacio de Hilbert : tipo de espacio vectorial topológico
Lista de topologías – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
Modos de convergencia – Propiedad de una secuencia o serie
Norma (matemáticas) – Longitud en un espacio vectorial
Topologías sobre espacios de aplicaciones lineales
Topología vaga
Convergencia débil (espacio de Hilbert) – Tipo de convergencia en los espacios de Hilbert

Referencias

Análisis funcional , de Reed y Simon, ISBN 0-12-585050-6
Teoría de álgebras de operadores I , de M. Takesaki (especialmente el capítulo II.2) ISBN 3-540-42248-X