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Topologías de operadores

En el campo matemático del análisis funcional existen varias topologías estándar que se dan al álgebra B( X ) de operadores lineales acotados en un espacio de Banach X .

Introducción

Sea una secuencia de operadores lineales en el espacio de Banach X . Consideremos la afirmación de que converge a algún operador T en X . Esto podría tener varios significados diferentes:

Lista de topologías en B(yo)

Diagrama de relaciones entre topologías en el espacio B( X ) de operadores acotados

Existen muchas topologías que pueden definirse en B( X ) además de las utilizadas anteriormente; la mayoría se definen inicialmente solo cuando X = H es un espacio de Hilbert, aunque en muchos casos existen generalizaciones apropiadas. Las topologías que se enumeran a continuación son todas localmente convexas, lo que implica que están definidas por una familia de seminormas .

En análisis, una topología se denomina fuerte si tiene muchos conjuntos abiertos y débil si tiene pocos conjuntos abiertos, de modo que los modos de convergencia correspondientes son, respectivamente, fuerte y débil. (En topología propiamente dicha, estos términos pueden sugerir el significado opuesto, por lo que fuerte y débil se reemplazan por, respectivamente, fino y grueso.) El diagrama de la derecha es un resumen de las relaciones, con las flechas apuntando de fuerte a débil.

Si H es un espacio de Hilbert, el espacio lineal de operadores de espacio de Hilbert B( X ) tiene un predual (único) , que consiste en los operadores de la clase traza, cuyo dual es B( X ) . La seminorma p w ( x ) para w positivo en el predual se define como B( w , x * x ) 1/2 .

Si B es un espacio vectorial de mapas lineales en el espacio vectorial A , entonces σ( A , B ) se define como la topología más débil en A tal que todos los elementos de B son continuos.

Relaciones entre las topologías

Los funcionales lineales continuos en B( H ) para las topologías débil, fuerte y fuerte * (operador) son los mismos, y son las combinaciones lineales finitas de los funcionales lineales (x h 1 , h 2 ) para h 1 , h 2H . Los funcionales lineales continuos en B( H ) para las topologías ultradébil, ultrafuerte, ultrafuerte * y Arens-Mackey son los mismos, y son los elementos del predual B( H ) * .

Por definición, los funcionales lineales continuos en la topología de la norma son los mismos que los de la topología del espacio de Banach débil. Este dual es un espacio bastante grande con muchos elementos patológicos.

En conjuntos acotados por normas de B( H ) , las topologías débil (operador) y ultradébil coinciden. Esto se puede ver, por ejemplo, a través del teorema de Banach-Alaoglu . Básicamente, por la misma razón, la topología ultrafuerte es la misma que la topología fuerte en cualquier subconjunto acotado por normas de B( H ) . Lo mismo es cierto para la topología de Arens-Mackey, la topología ultrafuerte * y la topología fuerte * .

En espacios localmente convexos, el cierre de conjuntos convexos se puede caracterizar por los funcionales lineales continuos. Por lo tanto, para un subconjunto convexo K de B( H ) , las condiciones para que K sea cerrado en las topologías ultrafuerte * , ultrafuerte y ultradébil son todas equivalentes y también son equivalentes a las condiciones para que para todo r > 0 , K tenga intersección cerrada con la bola cerrada de radio r en las topologías fuerte * , fuerte o débil (operador).

La topología de la norma es metrizable y las otras no; de hecho, no son numerables en primer lugar . Sin embargo, cuando H es separable, todas las topologías anteriores son metrizables cuando se limitan a la bola unitaria (o a cualquier subconjunto acotado por la norma).

Topología a utilizar

Las topologías más utilizadas son la topología de operador débil, la topología de operador fuerte y la topología de norma. La topología de operador débil es útil para argumentos de compacidad, porque la bola unitaria es compacta según el teorema de Banach-Alaoglu . La topología de norma es fundamental porque convierte a B( H ) en un espacio de Banach, pero es demasiado fuerte para muchos propósitos; por ejemplo, B( H ) no es separable en esta topología. La topología de operador fuerte podría ser la más utilizada.

Las topologías ultradébiles y ultrafuertes se comportan mejor que las topologías de operadores débiles y fuertes, pero sus definiciones son más complicadas, por lo que no suelen utilizarse a menos que sus mejores propiedades sean realmente necesarias. Por ejemplo, el espacio dual de B( H ) en la topología de operadores débiles o fuertes es demasiado pequeño para tener mucho contenido analítico.

El mapa adjunto no es continuo en las topologías de operador fuerte y ultrafuerte, mientras que las topologías fuerte* y ultrafuerte* son modificaciones para que el adjunto se vuelva continuo. No se utilizan muy a menudo.

La topología de Arens-Mackey y la topología del espacio de Banach débil se utilizan relativamente raramente.

En resumen, las tres topologías esenciales en B( H ) son la topología normal, la topología ultrafuerte y la topología ultradébil. Las topologías de operador débil y fuerte se utilizan ampliamente como aproximaciones convenientes a las topologías ultradébil y ultrafuerte. Las otras topologías son relativamente oscuras.

Véase también

Referencias