espacio montel

Espacio en cañón donde los subconjuntos cerrados y acotados son compactos

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Montel , llamado así en honor a Paul Montel , es cualquier espacio vectorial topológico (TVS) en el que se cumple un análogo del teorema de Montel . Específicamente, un espacio de Montel es un espacio vectorial topológico en forma de barril en el que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto .

Definición

Un espacio vectorial topológico (TVS) tiene laPropiedad de Heine-Borel si todosubconjuntocerradoyescompacto. AEl espacio Montel es unespacio vectorial topológicoen forma de barrilDe manera equivalente, es unespacio semi-Montelinfrabarrilespacio vectorial topológico localmente convexode Hausdorff se llamaespacio semi-Montel operfecto si cadasubconjunto acotadoesrelativamente compacto.^{[nota 1]} Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si escompletoytotalmente acotado. AEl espacio Fréchet-Montel es unespacio Fréchetque también es un espacio Montel.

Caracterizaciones

Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y sólo si cada secuencia convergente débil-* en su dual continuo es fuertemente convergente . ^[1]

Un espacio de Fréchet es un espacio de Montel si y sólo si toda función continua acotada envía subconjuntos cerrados acotados absolutamente convexos de a subconjuntos relativamente compactos de Además, si denota el espacio vectorial de todas las funciones continuas acotadas en un espacio de Fréchet entonces es Montel si y sólo si cada secuencia que converge a cero en la topología compacta-abierta también converge uniformemente a cero en todos los subconjuntos absolutamente convexos acotados cerrados de ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to c_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle C^{b}(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{b}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

Condiciones suficientes

Espacios semimontel

Un subespacio vectorial cerrado de un espacio semi-Montel es nuevamente un espacio semi-Montel. La suma directa localmente convexa de cualquier familia de espacios semi-Montel es nuevamente un espacio semi-Montel. El límite inverso de un sistema inverso que consta de espacios semi-Montel es nuevamente un espacio semi-Montel. El producto cartesiano de cualquier familia de espacios semi-Montel (respectivamente espacios Montel) es nuevamente un espacio semi-Montel (respectivamente un espacio Montel).

espacios montel

El dual fuerte de un espacio Montel es Montel. Un espacio nuclear cuasi completo con cañón es un espacio de Montel. ^[1] Todo producto y suma directa localmente convexa de una familia de espacios de Montel es un espacio de Montel. ^{[1] El} límite inductivo estricto de una secuencia de espacios de Montel es un espacio de Montel. ^[1] Por el contrario, los subespacios cerrados y los cocientes separados de los espacios de Montel en general ni siquiera son reflexivos . ^[1] Todo espacio de Fréchet Schwartz es un espacio de Montel. ^[3]

Propiedades

Los espacios de Montel son paracompactos y normales . ^[4] Los espacios Semi-Montel son cuasi completos y semi-reflexivos, mientras que los espacios Montel son reflexivos .

Ningún espacio de Banach de dimensión infinita es un espacio de Montel. Esto se debe a que un espacio de Banach no puede satisfacer la propiedad de Heine-Borel : la bola unitaria cerrada está cerrada y acotada, pero no compacta. Los espacios de Fréchet Montel son separables y tienen un dual bornológico fuerte. Un espacio Montel metrizable es separable . ^[1]

Los espacios Fréchet-Montel son espacios distinguidos .

Ejemplos

En el análisis complejo clásico , el teorema de Montel afirma que el espacio de funciones holomorfas en un subconjunto abierto y conectado de números complejos tiene esta propiedad. ^{[ cita necesaria ]}

Muchos espacios Montel de interés contemporáneo surgen como espacios de funciones de prueba para un espacio de distribuciones . El espacio de funciones suaves en un conjunto abierto es un espacio de Montel equipado con la topología inducida por la familia de seminormas ^[5] ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \|f\|_{K,n}=\sup _{|\alpha |\leq n}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|}$$

índice múltiplecon soporte compactotopología finalSchwartz ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \scriptstyle {C_{0}^{\infty }(K)\subset C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega .}$

Contraejemplos

Todo espacio normado de dimensión infinita es un espacio en forma de barril que no es un espacio de Montel. ^{[6] En particular, cada} espacio de Banach de dimensión infinita no es un espacio de Montel. ^[6] Existen espacios de Montel que no son separables y existen espacios de Montel que no están completos . ^[6] Existen espacios de Montel que tienen subespacios vectoriales cerrados que no son espacios de Montel. ^[7]

Ver también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Teorema de Heine-Borel  : el subconjunto del espacio euclidiano es compacto si y sólo si es cerrado y acotado
• espacio LB
• Espacio LF  - Espacio vectorial topológico
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert

Notas

1. Un subconjunto de un espacio topológico se llama relativamente compacto si su cierre es compacto . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 194-195.
2. Lindström 1990, págs. 191-196.
3. Khaleelulla 1982, págs. 32–63.
4. "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
5. Hogbe-Nlend y Moscatelli 1981, pág. 235
6. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.
7. Khaleelulla 1982, págs. 103-110.

Bibliografía

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• "Espacio Montel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]