Teorema de James

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , el teorema de James , llamado así por Robert C. James , establece que un espacio de Banach es reflexivo si y solo si la norma de cada funcional lineal continuo en alcanza su supremo en la bola unitaria cerrada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una versión más fuerte del teorema establece que un subconjunto débilmente cerrado de un espacio de Banach es débilmente compacto si y solo si la norma dual de cada funcional lineal continuo alcanza un máximo en ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

La hipótesis de completitud del teorema no puede abandonarse. ^[1]

Declaraciones

El espacio considerado puede ser un espacio de Banach real o complejo. Su espacio dual continuo se denota por El dual topológico del espacio de Banach deducido de por cualquier escalar de restricción se denotará (Solo es de interés si es un espacio complejo porque si es un -espacio entonces ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.}$

Criterio de compacidad de James  —  Sea un espacio de Banach y un subconjunto no vacío débilmente cerrado de Las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle A}$es débilmente compacto.
• Para cada existe un elemento tal que ${\displaystyle f\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle \left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.}$
• Para cualquier existe un elemento tal que ${\displaystyle f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}|f(a)|.}$
• Para cualquier existe un elemento tal que ${\displaystyle f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}f(a).}$

Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si su bola unitaria cerrada es débilmente compacta, y de esto se deduce que, dado que la norma de una forma lineal continua es el límite superior de su módulo en esta bola:

Teorema de James  :  Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si para todo existe un elemento de norma tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle \|a\|\leq 1}$ ${\displaystyle f(a)=\|f\|.}$

Historia

Históricamente, estas proposiciones se demostraron en orden inverso. En 1957, James había demostrado el criterio de reflexividad para espacios de Banach separables ^[2] y en 1964 para espacios de Banach generales ^[3] . Dado que la reflexividad es equivalente a la compacidad débil de la esfera unitaria, Victor L. Klee reformuló esto como criterio de compacidad para la esfera unitaria en 1962 y supone que este criterio caracteriza a cualquier cantidad débilmente compacta ^[4] . Esto fue demostrado por James en 1964 ^[5].

Véase también

• Teorema de Banach-Alaoglu  – Teorema en análisis funcional
• Teorema de Bishop-Phelps
• Norma dual  : medición en un espacio vectorial normalizado
• Teorema de Eberlein-Šmulian  : relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach
• Teorema de Goldstine
• Lema de Mazur  – Sobre combinaciones fuertemente convergentes de una secuencia débilmente convergente en un espacio de Banach
• Norma del operador  : medida del "tamaño" de los operadores lineales

Notas

1. James (1971)
2. James (1957)
3. James (1964)
4. Klee (1962)
5. James (1964)

Referencias

• James, Robert C. (1957), "Reflexividad y el supremo de los funcionales lineales", Annals of Mathematics , 66 (1): 159–169, doi :10.2307/1970122, JSTOR  1970122, MR  0090019
• Klee, Victor (1962), "Una conjetura sobre la compacidad débil", Transactions of the American Mathematical Society , 104 (3): 398–402, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0139918-7 , MR  0139918.
• James, Robert C. (1964), "Conjuntos débilmente compactos", Transactions of the American Mathematical Society , 113 (1): 129–140, doi : 10.2307/1994094 , JSTOR  1994094, MR  0165344.
• James, Robert C. (1971), "Un contraejemplo para un teorema sup en un espacio normado", Israel Journal of Mathematics , 9 (4): 511–512, doi : 10.1007/BF02771466 , MR  0279565.
• James, Robert C. (1972), "Reflexividad y la sup de funcionales lineales", Israel Journal of Mathematics , 13 (3–4): 289–300, doi : 10.1007/BF02762803 , MR  0338742.
• Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 183, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98431-3